函數(shù)的表示法

《函數(shù)的表達(dá)法》教學(xué)設(shè)計(jì)寧夏銀川市第九中學(xué)高曉萍一．教學(xué)目的1．明確函數(shù)的三種表達(dá)辦法（圖象法、列表法、解析法），通過(guò)具體的實(shí)例，理解簡(jiǎn)樸的分段函數(shù)及其應(yīng)用。2．通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，在實(shí)際情境中能根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)霓k法表達(dá)函數(shù)，發(fā)展學(xué)生思維能力。3．通過(guò)某些實(shí)際生活應(yīng)用，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)表達(dá)的必要性；通過(guò)函數(shù)的解析式與圖象的結(jié)合滲入數(shù)形結(jié)合思想。二．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的實(shí)際情境需要選擇恰當(dāng)?shù)霓k法表達(dá)函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的表達(dá)。三．教學(xué)準(zhǔn)備教具：直尺、多媒體設(shè)備。四．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）回想舊知，復(fù)習(xí)引入1．復(fù)習(xí)函數(shù)的概念。2．函數(shù)的三種表達(dá)法。（二）實(shí)例引入，理解新知回想上節(jié)課中的三個(gè)實(shí)例：（1）炮彈發(fā)射：（解析法）（2）南極臭氧層的空洞：（圖象法）tts0（3）恩格爾系數(shù)：（列表法）時(shí)（年）199119921993199419951996199719981999恩格爾系（%）53．852．950．149．949．949．646．444．541．939．237．2問(wèn)題：（1）比較三種函數(shù)的表達(dá)法，它們各自有哪些優(yōu)、缺點(diǎn)？（2）全部的函數(shù)都能用解析法表達(dá)嗎？舉出一種函數(shù)，并分別用三種表達(dá)法表達(dá)。學(xué)生交流討論并回答。解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)要、精確地概括了變量間的關(guān)系；二是能夠通過(guò)解析式求出任意一種自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．中學(xué)階段所研究的重要是能夠用解析式表達(dá)的函數(shù)．圖象法的優(yōu)點(diǎn)：直觀形象地表達(dá)自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢(shì)，有助于我們通過(guò)圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)．圖象法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用，如公司生產(chǎn)圖，股票指數(shù)走勢(shì)圖等．列表法的優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算就能夠直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，簡(jiǎn)潔明了．列表法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應(yīng)用．如成績(jī)表、銀行的利率表等．在研究函數(shù)時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，往往需要同時(shí)借助幾個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)法研究函數(shù)，猶如時(shí)采用解析法和圖象法表達(dá)函數(shù)，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，這是研究函數(shù)的慣用辦法．（三）例題精析、深化理解1．用三種表達(dá)法表達(dá)同一種函數(shù)。例1．某種筆記本的單價(jià)是5元，買個(gè)筆記本需要元，試用三種表達(dá)法表達(dá)函數(shù)．分析：注意本例的設(shè)問(wèn)，此處“”有三種含義，它能夠是解析體現(xiàn)式，能夠是圖象，也能夠是對(duì)應(yīng)值表?；顒?dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，教師個(gè)別輔導(dǎo)解：這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集。用解析法可將函數(shù)表達(dá)為用列表法可將函數(shù)表達(dá)為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)表達(dá)為注意：（1）函數(shù)圖象既能夠是持續(xù)的曲線，也能夠是直線、折線、離散的點(diǎn)等等；（2）解析法：必須注明函數(shù)的定義域；否則使函數(shù)解析式故意義的自變量的取值范疇是函數(shù)的定義域；（3）圖象法：根據(jù)函數(shù)定義域來(lái)決定與否連線；（4）列表法：選用的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特性．練習(xí)1：下列給出的四個(gè)圖形中，是函數(shù)圖象的是（）A①B①③C①②③D③④xxy0xy0xy0xy0①②③④思考：判斷一種圖形與否是函數(shù)圖象的根據(jù)是什么？答：平行于y軸的直線（或y軸）與圖形至多一種交點(diǎn)。2．選擇適宜辦法表達(dá)函數(shù)，方便分析其特點(diǎn)。例2：下表是我國(guó)三名射擊運(yùn)動(dòng)員參加射擊世界杯男子10米汽手槍比賽成績(jī)及全部參賽運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)。請(qǐng)你對(duì)三位運(yùn)動(dòng)員在本次比賽的成績(jī)做一種分析。表格能否直觀地分析出三位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)高低？如何才干更加好的比較三個(gè)人的成績(jī)高低？成績(jī)次數(shù)平均成績(jī)1010.39.310.5101010.29.610.39成績(jī)次數(shù)平均成績(jī)1010.39.310.5101010.29.610.3910.29.810.410.589.99.69.710.47109.89.79.99.710.2運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)9.49.59.49.299.3劉天佑10.19.89.710.29.810.5王濤10.41010.110.310.210.8朱啟南654321分析：學(xué)生思考做成績(jī)分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？活動(dòng)：學(xué)生討論并回答。解：從表中能夠懂得每位運(yùn)動(dòng)員在每次射擊中的成績(jī)，但不太容易分析每位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)變化狀況．如果將“成績(jī)”與“測(cè)試序號(hào)”之間的關(guān)系用函數(shù)圖象表達(dá)出來(lái)，如圖，就能比較直觀地看到成績(jī)變化狀況．這對(duì)我們進(jìn)行分析學(xué)習(xí)狀況是有利的．把“成績(jī)”y當(dāng)作“測(cè)試序號(hào)”x的函數(shù)，用圖象法表達(dá)函數(shù)，如圖所示。33125461098791011朱啟南王濤劉天佑平均成績(jī)yx0從圖中能夠看出，朱啟南成績(jī)始終高于參賽運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)，成績(jī)較穩(wěn)定，并且優(yōu)秀；王濤的成績(jī)不穩(wěn)定，總在參賽運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)上下波動(dòng)，并且波動(dòng)較大；劉天佑成績(jī)雖低于平均成績(jī)，但呈上升趨勢(shì)。表明他的成績(jī)穩(wěn)步提高，是一名很有潛力的運(yùn)動(dòng)員。注意：圖中的虛線不是函數(shù)圖象的構(gòu)成部分，之因此用虛線連接散點(diǎn)，重要是為了分辨這三個(gè)函數(shù)，直觀感受三個(gè)函數(shù)的圖象含有整體性，也便于分析成績(jī)狀況，加以比較。3．分段函數(shù)及其表達(dá)例3：銀川市出租車資費(fèi)規(guī)定以下：（1）3公里以內(nèi)（含3公里）5元；（2）3公里以上，每增加1公里，資費(fèi)增加1.2元（局限性1公里按1公里計(jì)算）．某線路總里程為6公里，請(qǐng)根據(jù)題意寫出資費(fèi)與里程之間函數(shù)的解析體現(xiàn)式，并畫出函數(shù)的圖象?；顒?dòng)：學(xué)生討論交流題目的條件，搞清題意。教師用幾何畫板模擬演示。解：設(shè)資費(fèi)為y元，里程為x公里．由題意，自變量x的取值范疇是（0，6）．根據(jù)解析式畫出的圖象如圖所示．xyxy52134656.27.48.60列表法里程x票價(jià)y56.27.48.6注意：1．所謂的分段函數(shù)，就是在函數(shù)的同一種定義域的不同子集上對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)；2.分段函數(shù)的解析式應(yīng)寫成函數(shù)值幾個(gè)不同的體現(xiàn)式并用一種大括號(hào)括起來(lái)；3．本例含有實(shí)際背景，因此解題時(shí)應(yīng)考慮其實(shí)際意義。4．課堂練習(xí)教科書第23頁(yè)，練習(xí)，1，2，3．四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)1.學(xué)習(xí)小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的重要收獲有哪些？函數(shù)的表達(dá)辦法有三種，各有優(yōu)、缺點(diǎn)；應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同的問(wèn)題、不同的規(guī)定選擇恰當(dāng)?shù)霓k法表達(dá)它，方便研究函數(shù)某些性質(zhì)．還學(xué)習(xí)了什么樣的函數(shù)是分段函數(shù)．用到了數(shù)形結(jié)合的思想辦法。2．作業(yè)布置：習(xí)題1.2A組7,8,9補(bǔ)充練習(xí)網(wǎng)郵貨品：從北京到銀川圓通公司收費(fèi)原則以下1公斤以內(nèi)（含1公斤）收費(fèi)6元，后來(lái)每超出1公斤加價(jià)3元（局限性1公斤的按1公斤計(jì)算）現(xiàn)郵5公斤貨品，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出重量與收費(fèi)之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象?！逗瘮?shù)的表達(dá)法》教學(xué)設(shè)計(jì)闡明寧夏銀川市第九中學(xué)高曉萍一、教材內(nèi)容分析函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的表達(dá)法是“函數(shù)及其表達(dá)”這一節(jié)的重要內(nèi)容之一。學(xué)習(xí)函數(shù)的表達(dá)法，不僅是研究函數(shù)本身和應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題所必須涉及的問(wèn)題，也是加深對(duì)函數(shù)概念理解所必須的。同時(shí)，基于高中階段所接觸的許多函數(shù)均可用幾個(gè)不同的方式表達(dá)，因而學(xué)習(xí)函數(shù)的表達(dá)也是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想辦法（如數(shù)形結(jié)合、化歸等）、學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題需要選擇表達(dá)辦法的重要過(guò)程。學(xué)生在學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)之前，比較習(xí)慣于用解析式表達(dá)函數(shù)，但這是對(duì)函數(shù)很不全方面的認(rèn)識(shí)。在本節(jié)中，從引進(jìn)函數(shù)概念開始，就比較重視函數(shù)的不同表達(dá)辦法：解析法、圖象法、列表法。函數(shù)的不同表達(dá)法能豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，協(xié)助理解抽象的函數(shù)概念。特別是在信息技術(shù)環(huán)境下，能夠使函數(shù)在數(shù)形結(jié)合上得到更充足的體現(xiàn)，使學(xué)生更加好地體會(huì)這一重要的數(shù)學(xué)思想辦法。因此，在研究函數(shù)時(shí)，應(yīng)充足發(fā)揮圖象直觀的作用；在研究圖象時(shí)要注意代數(shù)刻畫，以求思考和表述的精確性。二、教學(xué)目的分析根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程原則》（實(shí)驗(yàn)）和新課改的理念，我從知識(shí)、能力和情感三個(gè)方面制訂教學(xué)目的。1．明確函數(shù)的三種表達(dá)辦法（圖象法、列表法、解析法），通過(guò)具體的實(shí)例，理解簡(jiǎn)樸的分段函數(shù)及其應(yīng)用。2．通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，在實(shí)際情境中能根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)霓k法表達(dá)函數(shù)，發(fā)展學(xué)生思維能力。3．通過(guò)某些實(shí)際生活應(yīng)用，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)表達(dá)的必要性；通過(guò)函數(shù)的解析式與圖象的結(jié)合滲入數(shù)形結(jié)合思想。三、教學(xué)問(wèn)題診療分析（1）初中已經(jīng)接觸過(guò)函數(shù)的三種表達(dá)法：解析法、列表法和圖象法．高中階段重點(diǎn)是讓學(xué)生在理解三種表達(dá)法各自優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際情境的需要選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)辦法。因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多給出某些具體問(wèn)題，讓學(xué)生在比較、選擇函數(shù)模型表達(dá)方式的過(guò)程中，加深對(duì)函數(shù)概念的整體理解，而不再誤覺(jué)得函數(shù)都是能夠?qū)懗鼋馕鍪降?。?）分段函數(shù)大量存在，但比較繁瑣。首先，要加強(qiáng)用分段函數(shù)模型刻畫實(shí)際問(wèn)題的實(shí)踐，另首先，還能夠通過(guò)動(dòng)畫模擬，讓學(xué)生體驗(yàn)到，分段函數(shù)的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)分段解決，然后再綜合。這也為下一步研究分段函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)打下伏筆。四、本節(jié)課的教法特點(diǎn)以及預(yù)期效果分析（一）．本節(jié)課的教法特點(diǎn)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的具體狀況，我采用了學(xué)生自主探究和教師啟發(fā)引導(dǎo)相結(jié)合的教學(xué)方式。在整個(gè)的教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生盡量地動(dòng)手、動(dòng)腦，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)性，充足地參加學(xué)習(xí)的全過(guò)程。倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參加、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，逐步培養(yǎng)學(xué)生能夠運(yùn)用函數(shù)來(lái)解決信息的能力。（二）．本節(jié)課預(yù)期效果1．通過(guò)具體的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)三種表達(dá)法的優(yōu)、缺點(diǎn)。發(fā)明問(wèn)題情景這種情景的創(chuàng)設(shè)以具體事例出發(fā)，印象深刻。因此在引入時(shí)先從函數(shù)的三要素入手，強(qiáng)調(diào)要素之一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后給出三個(gè)具體實(shí)例：（1）炮彈發(fā)射時(shí)，距離地面的高度隨時(shí)間變化的狀況；（2）用圖表的形式給出臭氧層空洞的面積與時(shí)間的關(guān)系；（3）恩格爾系數(shù)的變化狀況。指出每種對(duì)應(yīng)分別以如何的形式呈現(xiàn)。引出函數(shù)的表達(dá)辦法這一課題。由于我們這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)辦法。會(huì)選擇的前提是理解，這些完全靠學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)各自的優(yōu)劣。這為第一道例題打下基礎(chǔ)。例1通過(guò)具體例子，讓學(xué)生用三種不同的表達(dá)辦法來(lái)表達(dá)的同一種函數(shù)，進(jìn)一步理解函數(shù)概念。把問(wèn)題交給學(xué)生，學(xué)生獨(dú)立完畢，并自己檢查發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)三種表達(dá)法的深刻理解。學(xué)生思考函數(shù)表達(dá)法的規(guī)定。注意本例的設(shè)問(wèn)，此處“”有三種含義，它能夠是解析體現(xiàn)式，能夠是圖象，也能夠是對(duì)應(yīng)值表。由于這個(gè)函數(shù)的圖象由某些離散的點(diǎn)構(gòu)成，與以前學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象是持續(xù)的曲線不同。通過(guò)本例，進(jìn)一步讓學(xué)生感受到，函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是一種整體．函數(shù)y＝5x不同于函數(shù)y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的圖象是（持續(xù)的）直線，而后者是5個(gè)離散的點(diǎn)。由此認(rèn)識(shí)到：“函數(shù)圖象既能夠是持續(xù)的曲線，也能夠是直線、折線、離散的點(diǎn)，等等。”并明確：如何判斷一種圖形與否是函數(shù)圖象辦法？2.讓學(xué)生會(huì)根據(jù)不同的實(shí)例選擇恰當(dāng)?shù)霓k法表達(dá)函數(shù)例2用表格法表達(dá)了函數(shù)。要“對(duì)這三位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)做一種分析”不太方便，因此需要變化函數(shù)表達(dá)的辦法，選擇圖象法比較恰當(dāng)。教學(xué)中，先不必直接把圖象法告訴學(xué)生，能夠讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己是如何分析的，選擇了什么樣的辦法來(lái)表達(dá)這三個(gè)函數(shù)．通過(guò)比較多個(gè)不同的表達(dá)辦法，達(dá)成共識(shí)：用圖象法比較好。培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表達(dá)法的能力。學(xué)生通過(guò)觀察、思考獲得結(jié)論．例如總體水平（朱啟南成績(jī)好）、變化趨勢(shì)（劉天佑的成績(jī)?cè)谥鸩教岣撸?、與運(yùn)動(dòng)員的平均分的比較，等等。培養(yǎng)學(xué)生的