D5-5定積分的幾何應用

第五節(jié)定積分幾何應用一、微元法二、平面圖形的面積三、體積四、平面曲線的弧長回顧曲邊梯形求面積的問題一、定積分的元素法abxyo面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值（4）求極限，得A的精確值abxyo提示面積元素微元法的一般步驟：這個方法通常叫做微元法．應用方向：平面圖形的面積，體積，弧長。二、平面圖形的面積如何用微元法分析？二、平面圖形的面積如何用元素法分析？二、平面圖形的面積如何用元素法分析？第二步：寫出面積表達式。二、平面圖形的面積如何用元素法分析？二、平面圖形的面積如何用元素法分析？二、平面圖形的面積如何用元素法分析？二、平面圖形的面積第二步：寫出面積表達式。如何用元素法分析？解兩曲線的交點★面積元素選為積分變量解1°兩曲線的交點2°選為積分變量于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問題：積分變量只能選嗎？xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量求其面積：考慮選擇x為積分變量，如何分析面積表達式？xyoxyo觀察下列圖形，選擇合適的積分變量：考慮選擇y為積分變量，如何分析面積表達式？解兩曲線的交點選為積分變量解橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．二、平行截面面積已知立體的體積設所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),特別,當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有例5.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標方程則(利用對稱性)方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當b=a

時,就得半徑為a的球體的體積例6.

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:

如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.思考:

可否選擇y

作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:解:垂直x

軸的截面是橢圓例7.

計算由曲面所圍立體(橢球體)它的面積為因此橢球體體積為特別當

a=b=c

時就是球體體積.的體積.三、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)則稱(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(3)曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗證)例10.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為例11.

求連續(xù)曲線段解:的弧長.例12.

計算擺線一拱的弧長.解:內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小3.已知平行截面面積函數(shù)A(x)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞

x

軸:繞

y

軸:(柱殼法)思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長s.提示:

交點為弧線段部分直線段部分以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.2.試用定積分求圓繞x

軸上半圓為下求體積:提示:方法1

利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積

V

及表面積S.方法2

用柱殼法說明:上式可變形為上半圓為下此式反映了環(huán)體元素的另一種取法(如圖所示).求側(cè)面積:利用對稱性上式也可寫成上半圓為下它也反映了環(huán)面元素的另一種取法:作業(yè)P2842(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30面積及弧長部分：

體積及表面積部分：P28613;14;15(1),(4);17;18補充題:

設有曲線過原點作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.第三節(jié)備用題解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其他.又故在區(qū)域分析曲線特點2.

解:與x

軸所圍面積由圖形的對稱性,也合于所求.

為何值才能使與x

軸圍成的面積等故3.求曲線圖形的公共部分的面積.