遼寧省丹東市第十九中學2023-2024學年九年級上學期10月月考數學試題

2023-2024學年遼寧省丹東十九中九年級（上）月考數學試卷（10月份）一.選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題2分，共18分）1．（2分）下列各式是一元二次方程的是（）A．3﹣5x2＝x B．+x2﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．4x﹣1＝02．（2分）已知a：b：c＝2：3：4，則的值（）A． B．1 C．﹣1 D．或﹣13．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則EC＝（）A． B． C． D．4．（2分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，根據下列表格中的對應值：x…3.093.103.113.12…ax2+bx+c…﹣0.17﹣0.08﹣0.010.11…可判斷方程的一個解x的范圍是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10 C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.125．（2分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（）A．當∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形 B．當AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形 C．當AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形 D．當AC⊥BD，平行四邊形ABCD是正方形6．（2分）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），則下列結論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．7．（2分）某建筑工程隊在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米．為了方便取物，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門．若設AB＝x米，則可列方程（）A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝4408．（2分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOB＝120°，DE∥AC，若AD＝2（）A．4 B．8 C．10 D．129．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中E為AB的中點，F為AD上一點，FH＝3cm，EH＝6cm，則HC的長為（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm二、填空題（每題2分，共18分）10．（2分）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，d＝6cm，則c＝．11．（2分）如果關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數根，那么m的取值范圍為．12．（2分）在一個不透明的盒子里，裝有5個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外都相同，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復，其中20次摸到紅球，請估計盒子中所有球的個數是．13．（2分）若一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個根是x1，x2，則的值是．14．（2分）邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則菱形的面積是cm2．15．（2分）現要在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示2，那么小道的寬度應是m．16．（2分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC△BDE：S△CDE＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為．17．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，BC中點，連接DE，則△AGE面積為．18．（2分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，有下列結論：①∠EBC＝45°；②2S△BFG＝5S△FGB；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是.（填寫所有正確結論的序號）三、解答題（19題8分，20題6分，21題6分，共20分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣8＝0（用公式法）．（2）（x﹣2）2＝2x﹣4（用因式分解法）．20．（6分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，在網格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）設點P（a，b）為△ABC內一點，則依上述兩次變換后點P在△A2B2C2內的對應點P2的坐標是．21．（6分）某學校開展“垃圾分類，從我做起”的宣講活動，該活動的宣講員從甲、乙、丙、丁四名學生中隨機抽選．（1）若只抽選一名學生，乙被選中的概率為，（2）若隨機抽選兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求乙被選中的概率．四、（每小題8分，共24分）22．（8分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，3月的銷售量達到576個，設2（1）求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月起，在3月銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經調查發(fā)現，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．這種臺燈售價定為多少時23．（8分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AB于點E交AC于點P（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的長．24．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，交AB于點G．（1）求證：△BEG∽△FEB；（2）當BF＝1，BC＝3時，求EG的長．五、（本題滿分10分）25．（10分）已知點C為△ABC和△CDE的公共頂點，將△CDE繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜360°），連接BD，請完成如下問題：（1）如圖1，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，線段BD與線段AE的數量關系是；類比探究：（2）如圖2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，請寫出線段BD與線段AE的數量關系，并說明理由；（3）拓展應用：如圖3，D是△ABC內一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，AB＝4，，直接寫出AD的長．六、（本題滿分10分）26．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+4交坐標軸于點C，D，以OA和OC為鄰邊作矩形OABC，點E是直線AB上一動點．（1）寫出點B的坐標；（2）連接DE，若DE平分∠ADC，求出點E的坐標；（3）若點F是縱軸（y軸）左側任意一點，是否存在以C，D，E，若存在，直接寫出點F坐標，請說明理由．

2023-2024學年遼寧省丹東十九中九年級（上）月考數學試卷（10月份）參考答案與試題解析一.選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題2分，共18分）1．（2分）下列各式是一元二次方程的是（）A．3﹣5x2＝x B．+x2﹣1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．4x﹣1＝0【答案】A【分析】本題根據一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定義；B、不是整式方程；C、方程二次項系數可能為0；D、方程未知數為1次；故選：A．2．（2分）已知a：b：c＝2：3：4，則的值（）A． B．1 C．﹣1 D．或﹣1【答案】B【分析】根據比例性質，可用a表示b，用a表示c，根據分式的性質，可得答案．【解答】解：由a：b：c＝2：3：3，得b＝，c＝4a．＝＝＝1，故選：B．3．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．4．（2分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，根據下列表格中的對應值：x…3.093.103.113.12…ax2+bx+c…﹣0.17﹣0.08﹣0.010.11…可判斷方程的一個解x的范圍是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10 C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.12【答案】D【分析】觀察表格可知，隨x的值逐漸增大，ax2+bx+c的值在3.11～3.12之間由負到正，故可判斷ax2+bx+c＝0時，對應的x的值在3.11～3.12之間．【解答】解：根據表格可知，ax2+bx+c＝0時，對應的x的值在2.11～3.12之間．故選：D．5．（2分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中錯誤的是（）A．當∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形 B．當AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形 C．當AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形 D．當AC⊥BD，平行四邊形ABCD是正方形【答案】D【分析】根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可以判斷A；根據對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷B；根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以判斷C；根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以判斷D．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，不符合題意；當AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形，不符合題意；當AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；當AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形，故選項D錯誤；故選：D．6．（2分）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），則下列結論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．【答案】D【分析】由黃金分割的定義得AP2＝BP?BA，＝＝，即可求解．【解答】解：∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），∴AP2＝BP?BA，＝＝，故選項A、B，選項D符合題意，故選：D．7．（2分）某建筑工程隊在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米．為了方便取物，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門．若設AB＝x米，則可列方程（）A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440【答案】D【分析】設倉庫的寬為x米（AB＝x米），由鐵柵欄的長度結合圖形，可求出倉庫的長為（84﹣4x）米，再根據矩形的面積公式即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設倉庫的寬為x米（AB＝x米），則倉庫的長為（84﹣4x）米，根據題意得：x（84﹣4x）＝440．故選：D．8．（2分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠AOB＝120°，DE∥AC，若AD＝2（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，易得OC＝OD＝2，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC，DO＝BO，∴OD＝OA，∵∠AOB＝120°，∴∠DOA＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴DO＝AO＝AD＝OC＝2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形，∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長為：4OC＝8×2＝8，故選：B．9．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中E為AB的中點，F為AD上一點，FH＝3cm，EH＝6cm，則HC的長為（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm【答案】C【分析】延長FE交CB的延長線于點G．證明△AFE≌△BGE，得出EG＝EF，求出EG＝9cm，根據平行線分線段成比例定理，得出＝，代入求出結果即可．【解答】解：延長FE交CB的延長線于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠BGE，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，∴△AFE≌△BGE，∴EG＝EF，∵EF＝EH+FH＝3+6＝6（cm），∴EG＝9cm，∴GH＝GE+EH＝9+5＝15（cm），∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得：CH＝20cm，故C正確．故選：C．二、填空題（每題2分，共18分）10．（2分）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，d＝6cm，則c＝4cm．【答案】見試題解答內容【分析】根據比例線段的定義得到a：b＝c：d，然后把a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm代入進行計算即可．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴a：b＝c：d，而a＝2cm，b＝3cm，∴c＝＝＝5（cm）．故答案為4cm．11．（2分）如果關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實數根，那么m的取值范圍為m＜3且m≠2．【答案】見試題解答內容【分析】根據根的判別式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：Δ＝4﹣4（m﹣6）＞0，∴m＜3，由于m﹣3≠0，∴m≠2，故答案為：m＜7且m≠212．（2分）在一個不透明的盒子里，裝有5個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外都相同，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復，其中20次摸到紅球，請估計盒子中所有球的個數是20．【答案】見試題解答內容【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，設未知數列出方程求解．【解答】解：∵共試驗80次，其中有20次摸到紅球，∴紅球所占的比例為＝，設盒子中共有球x個，則＝，解得：x＝20．故答案為：20．13．（2分）若一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個根是x1，x2，則的值是﹣．【答案】﹣．【分析】由根與系數的關系得出兩根之和，兩根之積，然后把要求的式子變形，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的兩個根是x1，x4，∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣8，∴＝＝＝﹣．故答案為：﹣．14．（2分）邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則菱形的面積是24cm2．【答案】見試題解答內容【分析】根據菱形對角線垂直且互相平分，即可得出菱形的另一條對角線的長，再利用菱形的面積公式求出即可．【解答】解：如圖所示：設BD＝6cm，AD＝5cm，∴BO＝DO＝7cm，∴AO＝CO＝＝4（cm），∴AC＝8cm，∴菱形的面積是：×7×8＝24（cm2）．故答案為：24．15．（2分）現要在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示2，那么小道的寬度應是2m．【答案】見試題解答內容【分析】設小道進出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為864m2列出方程求解即可．【解答】解：設小道進出口的寬度為x米，依題意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理，得x2﹣46x+88＝2．解得，x1＝2，x4＝44．∵44＞40（不合題意，舍去），∴x＝2．答：小道進出口的寬度應為2米．故答案為：2．16．（2分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC△BDE：S△CDE＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為．【答案】．【分析】證明BE：EC＝1：3，得出BE：BC＝1：4；證明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到＝，由相似三角形的性質即可解決問題．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝5：3；∴BE：BC＝1：5；∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴＝，∴S△DOE：S△AOC＝（）5＝；故答案為：．17．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，BC中點，連接DE，則△AGE面積為．【答案】．【分析】根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質得出∠AEG+∠EAG＝90°，進而利用相似三角形的判定和性質解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠B＝∠EAD＝90°，∵E，F分別為邊AB，∴AE＝ABBC，∴AE＝BF＝2，∴AF＝，在△ABF與△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴，∴，∴△AGE面積＝，故答案為：．18．（2分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，有下列結論：①∠EBC＝45°；②2S△BFG＝5S△FGB；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是①②④.（填寫所有正確結論的序號）【答案】①②④．【分析】①根據折疊、矩形的性質進行推理即可；②根據等高三角形的面積比等于底邊的比計算分析即可；③由矩形的性質、勾股定理及相似三角形的判定定理計算分析即可；④由矩形的性質可得CD的長，根據CE＝CD﹣ED求得CE的值，則可求得答案．【解答】解：①由折疊的性質可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABC＝45°．故①正確；②由折疊的性質可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝，∴2S△BFG＝8S△FGH；故②正確；③∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝，設GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF3，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝7，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝2，＝，∴≠，∴△ABG與△DEF不相似，故③錯誤；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴，∴4CE＝5ED．故④正確．故答案為：①②④．三、解答題（19題8分，20題6分，21題6分，共20分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣8＝0（用公式法）．（2）（x﹣2）2＝2x﹣4（用因式分解法）．【答案】（1）x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）x1＝2，x2＝4．【分析】（1）先計算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先移項，再利用因式分解法把方程轉化為x﹣2＝0或x﹣4＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝1，b＝﹣7，∴Δ＝（﹣4）2﹣8×1×（﹣8）＝48＞3，∴x＝＝6，所以x3＝2+2，x2＝2﹣3；（2）（x﹣2）5＝2x﹣4，（x﹣3）2﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝6，所以x1＝2，x3＝4．20．（6分）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點O為位似中心，在網格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）設點P（a，b）為△ABC內一點，則依上述兩次變換后點P在△A2B2C2內的對應點P2的坐標是（2a，﹣2b）．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用關于x軸對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；（2）利用關于原點為位似中心的對應點的坐標之間的關系，把點A1、B1、C1的橫縱坐標都乘以2得到A2、B2、C2的坐標，然后描點即可；（3）利用（2）中的坐標變換規(guī)律求解．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C6為所作；（2）如圖，△A2B2C7為所作；（3）點P的對應點P2的坐標是（2a，﹣3b）．故答案為（2a，﹣2b）．21．（6分）某學校開展“垃圾分類，從我做起”的宣講活動，該活動的宣講員從甲、乙、丙、丁四名學生中隨機抽選．（1）若只抽選一名學生，乙被選中的概率為，（2）若隨機抽選兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求乙被選中的概率．【答案】見試題解答內容【分析】（1）直接利用概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示12種等可能的結果數，再找出乙被選中的結果數，然后根據概率公式計算．【解答】解：（1）若只抽選一名學生，乙被選中的概率＝；故答案為；（2）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中乙被選中的結果數為6，所以乙被選中的概率＝＝．四、（每小題8分，共24分）22．（8分）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，3月的銷售量達到576個，設2（1）求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月起，在3月銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經調查發(fā)現，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．這種臺燈售價定為多少時【答案】（1）20%；（2）38元．【分析】（1）設2，3兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為x，利用三月份的銷售量＝一月份的銷售量×（1+月均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）解法一：設每臺降價y元，則每臺的銷售利潤為（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）臺，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×四月份的銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；解法二：設每臺售價定為y元，則每臺的銷售利潤為（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]臺，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×四月份的銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：（1）設2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，依題意，得：400（3+x）2＝576，解得：x1＝7.2＝20%，x2＝﹣7.2（不符合題意，舍去）．答：2，5兩個月的銷售量月平均增長率為20%．（2）解法一：設這種臺燈每個降價y元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，整理，得：y2+38y﹣80＝0，解得y2＝2，y2＝﹣40（不符合題意，舍去），當y＝6時，40﹣y＝38．答：該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元．解法二：設這種臺燈售價定為y元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，整理，得y2﹣118y+3040＝0，解得y7＝38，y2＝80（不符合題意，舍去）．答：該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元．23．（8分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AB于點E交AC于點P（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的長．【答案】（1）四邊形DEBF是矩形，理由見解析；（2）．【分析】（1）根據菱形的性質和矩形的判定解答即可；（2）根據菱形的性質和矩形的性質得出DE＝BF，進而利用勾股定理解答即可．【解答】（1）解：四邊形DEBF是矩形，理由如下：∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEB＝∠BFD＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DEB+∠EDF＝180°，∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，∴四邊形DEBF是矩形；（2）解：連接PB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由（1）知，四邊形DEBF是矩形，∴DE＝FB＝6，設PD＝BP＝x，則PE＝6﹣x，在Rt△PEB中，由勾股定理得：（3﹣x）2+34＝x2，解得：x＝，∴PD＝．24．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，交AB于點G．（1）求證：△BEG∽△FEB；（2）當BF＝1，BC＝3時，求EG的長．【答案】（1）證明見解答過程；（2）．【分析】（1）根據正方形的性質推出AD∥BC，AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，利用SAS證明△ADE≌△ABE，根據全等三角形的性質得出∠ADE＝∠ABE，根據平行線的性質得出∠ADE＝∠F，結合∠BEG＝∠FEB，即可判定△BEG∽△FEB；（2）結合正方形的性質、勾股定理求出AB∥CD，∠DCB＝90°，AD＝DC＝BC＝3，DF＝5，根據平行線的性質推出＝，△ADE∽△CFE，結合相似三角形的性質求出FG＝，EF＝，根據線段的和差求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝AB，∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE（SAS），∴∠ADE＝∠ABE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，又∠BEG＝∠FEB，∴△BEG∽△FEB；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠DCB＝90°，∴CF＝BC+BF＝3+1＝4，∴DF＝＝4，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴FG＝，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∠DAE＝∠FCE，∴△ADE∽△CFE，∴＝，∴＝，∴EF＝，∴EG＝EF﹣FG＝﹣＝．五、（本題滿分10分）25．（10分）已知點C為△ABC和△CDE的公共頂點，將△CDE繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜360°），連接BD，請完成如下問題：（1）如圖1，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，線段BD與線段AE的數量關系是BD＝AE；類比探究：（2）如圖2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，請寫出線段BD與線段AE的數量關系，并說明理由；（3）拓展應用：如圖3，D是△ABC內一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，AB＝4，，直接寫出AD的長．【答案】（1）結論：BD＝AE．理由見解析部分；（2）結論：．理由見解析部分；（3）．【分析】（1）結論：BD＝AE．證明△BCD≌△ACE（SAS），可得結論；（2）結論：．延長AE交BD的延長線于點F，AC交BF于點O．證明△BCD∽△ACE，推出，可得結論；（3）如圖2，過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，證明△BDM∽△CDA，推出，可得結論．【解答】解：（1）結論：BD＝AE．理由：∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）結論：．理由：延長AE交BD的延長線于點F，AC交BF于點O．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠DEC＝30°，∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴，∠BCD＝∠ECA，∴△BCD∽△ACE，∴，∴；（3）如圖5，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點M，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵，∴，∴，∴．六、（本題滿分10分）26．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+4交坐標軸于點C，D，以OA和OC為鄰邊作矩形OABC，點E是直