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河南省五岳在線考試2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.“”是“直線和直線垂直”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知數(shù)列中,,則()A.2 B.C. D.3.將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn),得到新直線的斜率是()A. B.C. D.4.設(shè)異面直線、的方向向量分別為,,則異面直線與所成角的大小為()A. B.C. D.5.在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,,則的形狀為()A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形6.在數(shù)列中抽取部分項(按原來的順序)構(gòu)成一個新數(shù)列,記為,再在數(shù)列插入適當(dāng)?shù)捻棧顾鼈円黄鹉軜?gòu)成一個首項為1,公比為3的等比數(shù)列.若,則數(shù)列中第項前(不含)插入的項的和最小為()A.30 B.91C.273 D.8207.已知橢圓的左、右焦點分別為、,點在橢圓上,若,則的面積為()A. B.C. D.8.若是雙曲線的左右焦點,是坐標(biāo)原點.過作的一條漸近線的垂線,垂足為,若,則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.9.①直線在軸上的截距為;②直線的傾斜角為;③直線必過定點;④兩條平行直線與間的距離為.以上四個命題中正確的命題個數(shù)為()A. B.C. D.10.已知等差數(shù)列滿足,,則()A. B.C. D.11.為了了解某地區(qū)的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,打算從中抽取一個容量為的樣本,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法,需從總體中剔除個個體,在整個過程中,每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為()A. B.C. D.12.某汽車制造廠分別從A,B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試,下面列出了每一個輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程(單位:)A類輪胎:94,96,99,99,105,107B類輪胎:95,95,98,99,104,109根據(jù)以上數(shù)據(jù),下列說法正確的是()A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點M(π,0)處的切線方程為________14.已知直線l是拋物線()的準(zhǔn)線,半徑為的圓過拋物線的頂點O和焦點F,且與l相切,則拋物線C的方程為___________;若A為C上一點,l與C的對稱軸交于點B,在中,,則的值為___________.15.點在以,為焦點的橢圓上運動,則的重心的軌跡方程是___________.16.已知直線與圓交于A,B兩點,過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=4,則|CD|=_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在如圖三角形數(shù)陣中第n行有n個數(shù),表示第i行第j個數(shù),例如,表示第4行第3個數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知.(1)求m及;(2)記,求.18.(12分)已知橢圓:的離心率為,且經(jīng)過點.(1)求的方程;(2)設(shè)的右焦點為F,過F作兩條互相垂直的直線AB和DE,其中A,B,D,E都在橢圓上,求的取值范圍.19.(12分)如圖,在正四棱柱中,是上的點,滿足為等邊三角形.(1)求證:平面;(2)求點到平面的距離.20.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知.(1)求角C;(2)若,,求的周長.21.(12分)已知等差數(shù)列的前項和為,,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:數(shù)列的前項和.22.(10分)已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,首項,且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項和
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】因為直線和直線垂直,所以或,再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因為“直線和直線垂直,所以或.當(dāng)時,直線和直線垂直;當(dāng)直線和直線垂直時,不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件,故選:A2、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是,所以.故選:A.3、B【解析】由題意知直線的斜率為,設(shè)其傾斜角為,將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn),得到新直線的斜率為,化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為,設(shè)其傾斜角為,則,將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn),則故新直線的斜率是.故選:B.4、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】,,,.由異面直線所成角的范圍為,故異面直線與所成的角為.故選:C5、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡求得,即可判定三角形形狀.【詳解】解:由題,得,即,由正弦定理可得:,所以,所以三角形中,所以,又,所以,即三角形為直角三角形.故選:C.6、C【解析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到,列出數(shù)列的前6項,將其中是數(shù)列的項的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列,所以,則由,得,即數(shù)列中前6項分別為:1、3、9、27、81、243,其中1、9、81是數(shù)列的項,3、27、243不是數(shù)列的項,且,所以數(shù)列中第7項前(不含)插入的項的和最小為.故選:C.7、B【解析】求出,可知為等腰三角形,取的中點,可得出,利用勾股定理求得,利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中,,,則,所以,,由橢圓的定義可得,取的中點,因為,則,由勾股定理可得,所以,.故選:B.8、D【解析】根據(jù)已知條件,找出,的齊次關(guān)系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得,,,在中,,因,故,在,由余弦定理得,即,計算得,故.故選:D.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)9、B【解析】由直線方程的性質(zhì)依次判斷各命題即可得出結(jié)果.【詳解】對于①,直線,令,則,直線在軸上的截距為-,則①錯誤;對于②,直線的斜率為,傾斜角為,則②正確;對于③直線,由點斜式方程可知直線必過定點,則③正確;對于④,兩條平行直線與間的距離為,則④錯誤.故選:B.10、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差,再結(jié)合即可得的值.【詳解】因為是等差數(shù)列,設(shè)公差為,所以,即,所以,所以,故選:D.11、D【解析】根據(jù)每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的,分別由剔除的個數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知:每個個體被抽取的概率都是相等的,每個個體被剔除的概率也都是相等的,所以每個個體被剔除的概率為,每個個體被抽取的概率為,故選:D.12、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計算公式即可求解.【詳解】解:對A:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95,選項A錯誤;對B:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14,選項B錯誤對C:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為,選項C錯誤對D:A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為,B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為,故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定,選項D正確故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意可得,據(jù)此可得切線的斜率,結(jié)合切點坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得:,所求切線的斜率為:,由于切點坐標(biāo)為,故切線方程為:.【點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號,防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì),直線與曲線只有一個公共點,直線不一定是曲線的切線,同樣,直線是曲線的切線,則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.14、①.②.【解析】(1)由題意得:圓的圓心橫坐標(biāo)為,半徑為,列方程,即可得到答案;(2)由正弦定理得,從而求得直線的方程,求出點的坐標(biāo),即可得到答案;【詳解】由題意得:圓的圓心橫坐標(biāo)為,半徑為,,拋物線C的方程為;設(shè)到準(zhǔn)線的距離為,,,,,代入,解得:,,,故答案為:;15、【解析】設(shè)出點和三角形的重心,利用重心坐標(biāo)公式得到點和三角形的重心坐標(biāo)的關(guān)系,,代入橢圓方程即可求得軌跡方程,再利用,,三點不共線得到.【詳解】設(shè),,由,得,即,,因為為的重心,所以,,即,,代入,得,即,因為,,三點不共線,所以,則的重心的軌跡方程是.故答案:.16、【解析】先求出圓心和半徑,由于半徑為2,弦|AB|=4,所以可知直線過圓心,從而得,求出,得到直線方程且傾斜角為135°,進而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線過圓心(1,2),∴,∴,∴直線,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,∴.故答案為:4【點睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查兩直線的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)【解析】(1)根據(jù)題意以m表示出,由即可求出,進而求出;(2)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式求出,再利用錯位相減法即可求出.【詳解】(1)由已知得,,,,,即,又,,,;(2)由(1)得,當(dāng)時,,又,,滿足,,,兩式相減得,.【點睛】方法點睛:數(shù)列求和的常用方法:(1)對于等差等比數(shù)列,利用公式法可直接求解;(2)對于結(jié)構(gòu),其中是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,用錯位相減法求和;(3)對于結(jié)構(gòu),利用分組求和法;(4)對于結(jié)構(gòu),其中是等差數(shù)列,公差為,則,利用裂項相消法求和.18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率為,及經(jīng)過點建立等式可求解;(2)分斜率存在與不存在兩種情況進行討論,當(dāng)斜率存在時,計算與后再求范圍即可.【小問1詳解】由題意知的離心率為,整理得,又因為經(jīng)過點,所以,解得,所以,因此,的方程為.小問2詳解】由已知可得,當(dāng)直線AB或DE有一條的斜率不存在時,可得,或,,此時有或.當(dāng)AB和DE的斜率都存在時且不為0時,設(shè)直線:,直線:,,,,由得,所以,,所以,用替換可得.所以,綜上所述,的取值范圍為.19、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)根據(jù)題意證明,,然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題;(2)結(jié)合(1),進而利用等體積法求得答案.【小問1詳解】由題意,,為等邊三角形,,∵平面ABCD,∴,則,即為中點.連接,∵平面,平面,∴,易得,則,又,于是,即,同理,即,又平面.【小問2詳解】設(shè)M到平面的距離為d,,∴.易得,取BD的中點N,連接,則,所以,,所以,,.即M到平面的距離為1.20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)正弦定理把化成,利用和角公式可得從而求得角;(2)根據(jù)三角形的面積和角的值求得,由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析:(1)由已知可得(2)又,周長為考點:正余弦定理解三角形.21、(1)(2)證明見解析.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個量的
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