2023-2024學(xué)年廣東省佛山市南海九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省佛山市南海九年級第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x+＝0 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝12．在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點為100℃ B．杭州亞運會上射擊運動員射擊一次，命中10環(huán) C．佛山10月17日的最高溫度為35℃ D．用長為10cm，10cm，20cm三根木棒做成一個三角形3．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行 B．對邊相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直4．廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25 C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝255．如圖，過圓心且互相垂直的兩條直線將兩個同心圓分成了若干部分，在該圖形區(qū)域內(nèi)任取一點（）A． B． C． D．6．已知m是方程x2+x+1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣3m2﹣3m+2023的值為（）A．2026 B．2023 C．2020 D．20177．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．2或5 D．9或128．滿洲窗，作為嶺南建筑的一個獨特符號，彰顯著嶺南文化的兼收并蓄．工人師傅在制作矩形滿洲窗的窗框時（1）如圖1，先截出兩對符合規(guī)格的木條，使AB＝CD；（2）擺成如圖2所示的四邊形；（3）____，矩形窗框制作完成．下列方法中不能作為制作工序的第（3）個步驟的是（）A．將直角尺緊靠窗框一個角，調(diào)整窗框的邊框使得直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙 B．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線長度相等 C．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線互相垂直 D．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線與CD邊的夾角相等9．黑龍江仙洞山梅花鹿保護(hù)區(qū)是以梅花鹿為代表的許多珍貴野生動植物的棲息地，經(jīng)過10多年的努力，取得了顯著效果，先捕捉了m只梅花鹿給它們做上標(biāo)記，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，發(fā)現(xiàn)其中k只有標(biāo)記（）只．A． B． C． D．10．如圖，將正方形ABCD沿EF折疊，使B落在CD上點H處，連接BP、BH，則下列結(jié)論一定成立的是（）①AE+CH＝FH；②BP＝BH；③AP+CH＝PH；④PE+PG+EG＝HD．A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．請寫出一個有兩個相等的實數(shù)根的一元二次方程是．12．在一個不透明的口袋中有紅色、黃色和綠色球共60個，它們除顏色外，其余完全相同．在不倒出球的情況下，發(fā)現(xiàn)摸到紅球和綠球的頻率分別穩(wěn)定在20%和40%．由此推測口袋中黃球的個數(shù)是個．13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OE＝5，則菱形的周長為．14．若關(guān)于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0與n（x﹣a）2+b＝0，則稱其為“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0與6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代數(shù)式ax2+bx+2023能取得最大值是．15．已知△ABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，∠ABC的平分線與線段AC交于點D．若△ABC的一條邊長為6，則點D到直線AB的距離為．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16小題10分，第17、18小題每小題10分，共24分.16．解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．17．“天宮課堂”第三課開講，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲相互配合進(jìn)行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識的熱情．在學(xué)校組織的航天知識競賽中，學(xué)校決定通過兩人做游戲的方式，從中選取一名游戲獲勝的同學(xué)作為代表分享獲獎心得．游戲規(guī)則如下：甲口袋（不透明），2，3的三個小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四個小球，每個口袋中的小球除編號外其他都相同．小明先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個球，若兩球編號之和為偶數(shù)，則小明獲勝，則小雪獲勝．（1）小明摸到小球的編號為2的概率為；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC（1）尺規(guī)作圖：作線段AC的垂直平分線EF，分別交AC，AB（不寫作法，2B鉛筆作圖，保留清晰、規(guī)范的作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求證：BE＝DF．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.19．黨的二十大報告再次將勞動教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的重要性；為落實勞動教育，并設(shè)置了四個勞動項目：A．為家人做早飯，B．洗碗，D．洗衣服．要求每個學(xué)生必須選擇一個自己最擅長的勞動項目，并要堅持整個暑假．為了解全校參加各項目的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，解答下列問題：（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人；（2）請將上述兩個統(tǒng)計圖中缺失的部分補(bǔ)充完整；（3）該校參加活動的學(xué)生共2600人，請估計該校參加A項目的學(xué)生有人；（4）小雯同學(xué)在暑假中養(yǎng)成了很好的勞動習(xí)慣，媽媽決定獎勵帶她去看兩場電影，已知新上映的四部電影《志愿軍》《汪汪隊》《孤注一擲》《我是哪吒2》（依次記為a，b，c，d），很難做出決定，于是將寫有這四個編號的卡片（除序號和內(nèi)容外，其余完全相同），洗勻放好，從中隨機(jī)抽取兩張卡片．請用列表或畫樹狀圖的方法20．為慶祝中華人民共和國七十四周年華誕，南海商店進(jìn)行了促銷活動．商店將進(jìn)貨價50元的籃球以100元售出，平均每天能售出40個，一天可以多售出10個．（1）售價為85元時，當(dāng)天的銷售量是個；（2）如果每天的利潤要比原來多400元，并使顧客得到更大的優(yōu)惠，問每個籃球售價為多少元？（3）若商店投入資金不少于2500元又不多于2600元，共有多少種購買方案？求最高盈利多少錢？21．動手操作：在數(shù)學(xué)實踐課上，老師引導(dǎo)同學(xué)們對如圖的△ABC紙片進(jìn)行以下操作，并探究其中的問題：將△ABC紙片沿過邊AC中點D的直線ED折疊，點C的對應(yīng)點C′恰好落在邊AB的中點處，折痕DE交BC于點E（1）探究一：判斷四邊形CDC′E的形狀，并說明理由；（2）探究二：若BC＝10，四邊形CDC′E的對角線之和為14，求四邊形CDC′E的面積．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.22．已知實數(shù)a，b，c，其中b，c滿足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一個相同的實數(shù)根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一個相同的實數(shù)根x2．（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一個相同的實數(shù)根x1；（2）求證：x2是方程2x2+ax+2＝0的實數(shù)根；（3）求實數(shù)a，b，c的值．23．綜合運用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E（1）當(dāng)BE＝BF時，旋轉(zhuǎn)角∠COF為度；（2）若點C（﹣2，4），求點B坐標(biāo)與BF的長；（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，將△OCN與△OAN的面積分別記為S1與S2．設(shè)S＝S1﹣S2，CO＝m，CF＝n，請猜想S、m與n的數(shù)量關(guān)系

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x+＝0 B．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝1【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2次的整式方程叫一元二次方程）判斷即可．解：A、一元二次方程首先必須是整式方程；B、是二元二次方程；C、當(dāng)a＝0時，故本選項不符合題意；D、去括號得：x2+x﹣8＝1，是一元二次方程；故選：D．【點評】本題考查了對一元二次方程的定義的理解和運用，解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程滿足條件：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2．2．在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點為100℃ B．杭州亞運會上射擊運動員射擊一次，命中10環(huán) C．佛山10月17日的最高溫度為35℃ D．用長為10cm，10cm，20cm三根木棒做成一個三角形【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可得出答案．解：A、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，是必然事件；B、杭州亞運會上射擊運動員射擊一次，是隨機(jī)事件；C、佛山10月17日的最高溫度為35℃，不符合題意；D、用長為10cm，20cm三根木棒做成一個三角形，符合題意．故選：D．【點評】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間．3．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行 B．對邊相等 C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)逐項進(jìn)行判斷即可．解：A．對邊平行是菱形和一般平行四邊形都具有的性質(zhì)；B．對邊相等是菱形和一般平行四邊形都具有的性質(zhì)；C．對角線互相平分是菱形和一般平行四邊形都具有的性質(zhì)；D．對角線互相垂直是菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)；故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25 C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）＝25即可．解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得1+x+x（1+x）＝25，即（5+x）2＝25，故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，人數(shù)應(yīng)該累加，這個問題和細(xì)胞分裂是不同的．5．如圖，過圓心且互相垂直的兩條直線將兩個同心圓分成了若干部分，在該圖形區(qū)域內(nèi)任取一點（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)概率公式求解即可．解：觀察圖形可知，陰影部分是大圓面積的一半．故選：D．【點評】本題主要考查概率公式，求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計算方法是長度比，面積比，體積比等．6．已知m是方程x2+x+1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣3m2﹣3m+2023的值為（）A．2026 B．2023 C．2020 D．2017【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案．解：∵x＝m是x2+x+1＝6的一個根，∴m2+m＝﹣1，∴﹣6m2﹣3m+2023＝﹣4（m2+m）+2023＝﹣3×（﹣8）+2023＝2026，故選：A．【點評】本題考查一元二次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運用整體的思想，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．2或5 D．9或12【答案】B【分析】用因式分解法求出方程的兩個根分別是2和5，有三角形的三邊關(guān)系，2為底，5為腰，可以求出三角形的周長．解：x2﹣7x+10＝7，（x﹣2）（x﹣5）＝2∴x1＝2，x4＝5．∵三角形是等腰三角形，必須滿足三角形三邊的關(guān)系，∴腰長是5，底邊是5，周長為：5+5+5＝12．故選：B．【點評】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個根，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，確定三角形的周長．8．滿洲窗，作為嶺南建筑的一個獨特符號，彰顯著嶺南文化的兼收并蓄．工人師傅在制作矩形滿洲窗的窗框時（1）如圖1，先截出兩對符合規(guī)格的木條，使AB＝CD；（2）擺成如圖2所示的四邊形；（3）____，矩形窗框制作完成．下列方法中不能作為制作工序的第（3）個步驟的是（）A．將直角尺緊靠窗框一個角，調(diào)整窗框的邊框使得直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙 B．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線長度相等 C．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線互相垂直 D．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線與CD邊的夾角相等【答案】C【分析】根據(jù)矩形的判定定理分析判斷即可．解：∵AB＝CD，EF＝GH，∴四邊形ABCD是平行四邊形．A．將直角尺緊靠窗框一個角，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知四邊形ABCD是矩形；B．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線長度相等，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可知四邊形ABCD是矩形；C．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線互相垂直，此時無法判定四邊形是矩形，符合題意；D．調(diào)整窗框的邊框使得兩條對角線與CD邊的夾角相等，此時可以證明對角線相等，可知四邊形ABCD是矩形．故選：C．【點評】本題考查矩形的判定，熟練運用矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．黑龍江仙洞山梅花鹿保護(hù)區(qū)是以梅花鹿為代表的許多珍貴野生動植物的棲息地，經(jīng)過10多年的努力，取得了顯著效果，先捕捉了m只梅花鹿給它們做上標(biāo)記，然后放走，第二次捕捉n只梅花鹿，發(fā)現(xiàn)其中k只有標(biāo)記（）只．A． B． C． D．【答案】C【分析】n只梅花鹿，發(fā)現(xiàn)其中k只有標(biāo)記，說明在樣本中有標(biāo)記的占到，而在整體中有標(biāo)記的共有m只，根據(jù)所占比例即可解答．解：根據(jù)題意得：m÷＝（只）．即估計這個地區(qū)的梅花鹿的數(shù)量約有只．故選：C．【點評】本題考查的是通過樣本去估計總體，解題的關(guān)鍵是算出n只梅花鹿有標(biāo)記的占的百分比．10．如圖，將正方形ABCD沿EF折疊，使B落在CD上點H處，連接BP、BH，則下列結(jié)論一定成立的是（）①AE+CH＝FH；②BP＝BH；③AP+CH＝PH；④PE+PG+EG＝HD．A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】作EM⊥BC于點M，證明△MEF≌△CBH（ASA），推出MF＝CH，可證明①正確；CH與AP不一定相等，則BP與BH不一定相等，故證明②不一定成立；作BI⊥PH于點Ⅰ，證明△IHB≌△CHB（AAS），推出IB＝CB，IH＝CH，再證明Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），推出AP＝IP，可證明③正確；推出PE+PG+EG＝GI，證明GI＝DH，可證明④正確．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC，如圖1，作EM⊥BC于點M，∴EM＝AB＝BC，AE＝BM，由折疊的性質(zhì)得BH⊥EF，BF＝FH，∴∠MEF＝90°﹣∠MFE＝∠CBH，∴△MEF≌△CBH（ASA），∵M(jìn)F＝CH，∴AE+CH＝BM+FM＝BF＝FH；故①正確；∵AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴BP與BH不一定相等，故②不一定成立；如圖2，作BI⊥PH于點I， 由折疊的性質(zhì)得FH⊥PH，∴BI∥FH，∴∠FHB＝∠HBI＝∠HBF，BH＝BH，∴△IHB≌△CHB（AAS），∴IB＝CB，IH＝CH，∵AB＝BC，∴IB＝AB，∴∠A＝∠BIP＝90°，BP＝BP，∴Rt△BPA≌Rt△BPI（HL），∵AP＝IP，∴AP+CH＝IP+IH＝PH，故③正確；由折疊的性質(zhì)得GH＝AB，AE＝EG，∵PI＝PA＝PE+AE＝PE+EG，∴PE+PG+EG＝GI，∵IH＝CH，GH＝AB，∴PE+PG+EG＝HD，故④正確；綜上，①③④正確，故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．請寫出一個有兩個相等的實數(shù)根的一元二次方程是x2﹣2x+1＝0．【答案】x2﹣2x+1＝0．【分析】寫出一個一元二次方程，使它的判別式等于0即可．解：x2﹣2x+4＝0有兩個相等的實數(shù)解．故答案為x2﹣7x+1＝0．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．12．在一個不透明的口袋中有紅色、黃色和綠色球共60個，它們除顏色外，其余完全相同．在不倒出球的情況下，發(fā)現(xiàn)摸到紅球和綠球的頻率分別穩(wěn)定在20%和40%．由此推測口袋中黃球的個數(shù)是24個．【答案】24．【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，用頻率估計概率可知黃色球的數(shù)量為總數(shù)乘以其所占百分比．解：根據(jù)題意得：60×（1﹣20%﹣40%）＝24（個），答：此推測口袋中黃球的個數(shù)是24個．故答案為：24．【點評】本題主要考查頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OE＝5，則菱形的周長為40．【答案】40．【分析】解法一：根據(jù)OE是△BCA的中位線，即可得到BC的長，然后根據(jù)菱形的周長公式計算即可得解．解法二：根據(jù)OE是Rt△AOB斜邊上的中線，即可得到CD的長，然后根據(jù)菱形的周長公式計算即可得解．【解答】解法一：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，又∵點E是AB的中點，∴OE是△BCA的中位線，∴BC＝2OE＝2×2＝10，∴菱形ABCD的周長＝4×10＝40．解法二：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，又∵點E是CD的中點，∴OE是Rt△COD斜邊上的中線，∴CD＝2OE＝6×5＝10，∴菱形ABCD的周長＝4×10＝40．故答案為：40．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理的運用，本題解法多樣，關(guān)鍵是掌握：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直平分．14．若關(guān)于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0與n（x﹣a）2+b＝0，則稱其為“同族二次方程”．如2（x﹣1）2+3＝0與6（x﹣1）2+3＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同族二次方程”．那么代數(shù)式ax2+bx+2023能取得最大值是2024．【答案】2024．【分析】根據(jù)“同族二次方程”的定義列出二元一次方程組，解方程組求出a、b，利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．解：由“同族二次方程”的定義可知：（a+6）x2﹣（b+6）x+6＝（a+6）（x﹣4）2+1＝3，∵（a+6）（x﹣1）8+1＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+6+1，∴，解得：，則ax2+bx+2023＝﹣x2+2x+2023＝﹣（x8﹣2x+1）+3+2023＝﹣（x﹣1）2+2024，∴代數(shù)式ax6+bx+2023能取得最大值是2024，故答案為：2024．【點評】本題考查的是配方法的應(yīng)用、“同族二次方程”的定義，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．15．已知△ABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，∠ABC的平分線與線段AC交于點D．若△ABC的一條邊長為6，則點D到直線AB的距離為或3或6﹣6或6﹣3．【答案】或3或6﹣6或6﹣3．【分析】分兩種情況：①當(dāng)B為直角頂點時，過D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH，故DH＝BC，若AC＝6，則DH＝，即點D到直線AB的距離為；若AB＝BC＝6，則點D到直線AB的距離為3；②當(dāng)B不是直角頂點時，過D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，證明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，若AB＝AC＝6時，則此時點D到直線AB的距離為6﹣6；若BC＝6，則此時點D到直線AB的距離為6﹣3．解：①當(dāng)B為直角頂點時，過D作DH⊥AB于H∵△ABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，∠ABC的平分線與線段AC交于點D，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°AC，∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，∴AH＝DH＝BH，∴DH＝BC，若AC＝6，則BC＝AC?cos45°＝3，即點D到直線AB的距離為；若AB＝BC＝6，則DH＝，即點D到直線AB的距離為3；②當(dāng)B不是直角頂點時，過D作DH⊥BC于H∵△ABC的三個頂點都是同一個正方形的頂點，∠ABC的平分線與線段AC交于點D，∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，在△ABD和△HBD中，，∴△ABD≌△HBD（AAS），∴AB＝BH，若AB＝AC＝8時，BH＝6＝6，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣6，∴AD＝7﹣6﹣6；若BC＝6，則AB＝BC?cos45°＝8，∴BH＝3，∴CH＝6﹣3，∴AD＝6﹣3，即此時點D到直線AB的距離為6﹣3；綜上所述，點D到直線AB的距離為﹣6或4﹣3．故答案為：或3或6．【點評】本題考查正方形、等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及角平分線、勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確分類，畫出圖形．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16小題10分，第17、18小題每小題10分，共24分.16．解方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）x1＝2，x2＝4．【分析】（1）先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣5＝0或x+1＝0，然后解兩個一次方程即可；（2）先移項，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，然后解兩個一次方程即可．解：（1）x2﹣4x﹣2＝0，（x﹣5）（x+8）＝0，x﹣5＝4或x+1＝0，所以x7＝5，x2＝﹣2；（2）（x﹣2）2＝3x﹣4，（x﹣2）7﹣2（x﹣2）＝5，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣2＝8或x﹣2﹣2＝2，所以x1＝2，x3＝4．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．“天宮課堂”第三課開講，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲相互配合進(jìn)行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識的熱情．在學(xué)校組織的航天知識競賽中，學(xué)校決定通過兩人做游戲的方式，從中選取一名游戲獲勝的同學(xué)作為代表分享獲獎心得．游戲規(guī)則如下：甲口袋（不透明），2，3的三個小球，乙口袋（不透明），2，3，4的四個小球，每個口袋中的小球除編號外其他都相同．小明先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個球，若兩球編號之和為偶數(shù)，則小明獲勝，則小雪獲勝．（1）小明摸到小球的編號為2的概率為；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．【答案】（1）；（2）公平，理由見解答．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）先用列表法將所有可能發(fā)生的結(jié)果列出來，再分別求出小明獲勝和小雪獲勝的概率，進(jìn)行比較即可求解．解：（1）∵甲口袋（不透明）裝有編號為1，2，5的三個小球，∴小明摸到小球的編號為2的概率為；故答案為：；（2）根據(jù)題意列表如下：51221（1，8）（1，1）（4，2）（1，5）2（2，6）（2，1）（6，2）（2，6）3（3，6）（3，1）（4，2）（3，4）∴共有12種等可能的結(jié)果，其中兩球編號之和為偶數(shù)的有6種結(jié)果，則小明獲勝的概率是，小雪獲勝的概率是，∵＝，∴這個游戲?qū)﹄p方公平．【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC（1）尺規(guī)作圖：作線段AC的垂直平分線EF，分別交AC，AB（不寫作法，2B鉛筆作圖，保留清晰、規(guī)范的作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求證：BE＝DF．【答案】（1）（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）證明四邊形AECF是菱形即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO，∵OC＝OA，∠FOC＝∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，即DF＝BE．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.19．黨的二十大報告再次將勞動教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的重要性；為落實勞動教育，并設(shè)置了四個勞動項目：A．為家人做早飯，B．洗碗，D．洗衣服．要求每個學(xué)生必須選擇一個自己最擅長的勞動項目，并要堅持整個暑假．為了解全校參加各項目的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，解答下列問題：（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是120人；（2）請將上述兩個統(tǒng)計圖中缺失的部分補(bǔ)充完整；（3）該校參加活動的學(xué)生共2600人，請估計該校參加A項目的學(xué)生有390人；（4）小雯同學(xué)在暑假中養(yǎng)成了很好的勞動習(xí)慣，媽媽決定獎勵帶她去看兩場電影，已知新上映的四部電影《志愿軍》《汪汪隊》《孤注一擲》《我是哪吒2》（依次記為a，b，c，d），很難做出決定，于是將寫有這四個編號的卡片（除序號和內(nèi)容外，其余完全相同），洗勻放好，從中隨機(jī)抽取兩張卡片．請用列表或畫樹狀圖的方法【答案】（1）120．（2）見解答．（3）390．（4）．【分析】（1）用參加B項目的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)．（2）用本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)乘以參加C項目的人數(shù)所占的百分比，可求出參加C項目的學(xué)生人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；用參加A項目的人數(shù)除以本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)再乘以100%，可得參加A項目的人數(shù)所占的百分比，補(bǔ)全扇形統(tǒng)計圖即可．（3）根據(jù)用樣本估計總體，用2600乘以本次抽樣調(diào)查中參加A項目的學(xué)生人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．（4）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．解：（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是45÷37.5%＝120（人）．故答案為：120．（2）參加C項目的人數(shù)為120×25%＝30（人），參加A項目的人數(shù)所占的百分比為×100%＝15%．補(bǔ)全兩個統(tǒng)計圖如下．（3）估計該校參加A項目的學(xué)生有2600×15%＝390（人）．故答案為：390．（4）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》，∴抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，能夠理解條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關(guān)鍵．20．為慶祝中華人民共和國七十四周年華誕，南海商店進(jìn)行了促銷活動．商店將進(jìn)貨價50元的籃球以100元售出，平均每天能售出40個，一天可以多售出10個．（1）售價為85元時，當(dāng)天的銷售量是70個；（2）如果每天的利潤要比原來多400元，并使顧客得到更大的優(yōu)惠，問每個籃球售價為多少元？（3）若商店投入資金不少于2500元又不多于2600元，共有多少種購買方案？求最高盈利多少錢？【答案】（1）70；（2）每個籃球售價為80元；（3）商店有3種購買方案，最高盈利2600元．【分析】（1）每降低5元增加10件，可知每個售價85元，多售出（100﹣85）÷5×10個，進(jìn)而即可列出算式求解．（2）總利潤＝每個利潤×售出個數(shù)，列出方程求解即可．（3）根據(jù)投入資金不少于2500元又不多于2600元列不等式組解答即可．解：（1）40+（100﹣85）÷5×10＝70（個），答：售價為85元時，當(dāng)天的銷售量為70個；故答案為：70；（2）設(shè)每個籃球售價為x元，根據(jù)題意得：（x﹣50）×（40+×10）＝40×（100﹣50）+400，化簡得x4﹣170x+7200＝0，解得：x1＝80，x6＝90，∵使顧客得到盡可能大的實惠，∴x＝80，答：每個籃球售價為80元；（3）設(shè)商店可購買m個籃球，∵商店投入資金不少于2500元又不多于2600元，∴2500≤50m≤2600，解得50≤m≤52，∵m是整數(shù)，∴m可取50，51．∴商店有3種購買方案；∵（100﹣50）×52＝2600（元），∴最高盈利2600元．【點評】本題考查一元二次方程，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能用含x的代數(shù)式表示每天售出的籃球個數(shù)．21．動手操作：在數(shù)學(xué)實踐課上，老師引導(dǎo)同學(xué)們對如圖的△ABC紙片進(jìn)行以下操作，并探究其中的問題：將△ABC紙片沿過邊AC中點D的直線ED折疊，點C的對應(yīng)點C′恰好落在邊AB的中點處，折痕DE交BC于點E（1）探究一：判斷四邊形CDC′E的形狀，并說明理由；（2）探究二：若BC＝10，四邊形CDC′E的對角線之和為14，求四邊形CDC′E的面積．【答案】（1）四邊形CDC′E是菱形，理由見解答過程；（2）四邊形CDC′E的面積為24．【分析】（1）由D是AC中點，C'是AB中點，得C'D∥BC，知∠C'DE＝∠DEC，根據(jù)將△ABC紙片沿過邊AC中點D的直線ED折疊，得∠DEC＝∠DEC'，C'E＝CE，C'D＝CD，故∠C'DE＝∠DEC'，從而C'D＝C'E，即可得CE＝C'E＝C'D＝CD，故四邊形CDC′E是菱形；（2）連接CC'交DE于F，由四邊形CDC′E是菱形，可得C'E∥AC，CC'⊥DE，CF＝CC'，EF＝DE，得E是BC中點，CE＝BC＝5，由勾股定理有EF2+CF2＝CE2＝25①，而EF+CF＝（DE+CC'）＝7②，即得EF?CF＝12，S△CEF＝EF?CF＝6，可得S菱形CDC'E＝4S△CEF＝24．解：（1）四邊形CDC′E是菱形，理由如下：∵D是AC中點，C'是AB中點，∴C'D是△ABC的中位線，∴C'D∥BC，∴∠C'DE＝∠DEC，∵將△ABC紙片沿過邊AC中點D的直線ED折疊，∴∠DEC＝∠DEC'，C'E＝CE，∴∠C'DE＝∠DEC'，∴C'D＝C'E，∴CE＝C'E＝C'D＝CD，∴四邊形CDC′E是菱形；（2）連接CC'交DE于F，如圖：由（1）知四邊形CDC′E是菱形，∴C'E∥AC，CC'⊥DECC'DE，∵C'是AC中點，∴E是BC中點，∵BC＝10，∴CE＝BC＝5，∴EF2+CF6＝CE2＝25①，∵CC'+DE＝14，∴EF+CF＝（DE+CC'）＝7②，由①②可得EF?CF＝12，∴S△CEF＝EF?CF＝6，∴S菱形CDC'E＝4S△CEF＝24，∴四邊形CDC′E的面積為24．【點評】本題考查三角形中的翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)和菱形的判定定理．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.22．已知實數(shù)a，b，c，其中b，c滿足b﹣2c＝12+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0有一個相同的實數(shù)根x1，方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0有一個相同的實數(shù)根x2．（1）用含a，b，c的式子表示方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0的一個相同的實數(shù)根x1；（2）求證：x2是方程2x2+ax+2＝0的實數(shù)根；（3）求實數(shù)a，b，c的值．【答案】（1）（a≠b）；（2）答案見解答過程；（3）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝﹣1．【分析】（1）將x1代入方程2x2+ax+2＝0和2x2+bx+c＝0之中，得到一個關(guān)于x1的方程組，解方程組求出x1即可；（2）將x2代入方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0之中，得到一個關(guān)于x2的方程組，解方程組求出x2，再根據(jù)方程2x2+ax+2＝0的一個實數(shù)根為（a≠b），設(shè)另一個實數(shù)根為α，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出α，再和x2，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；（3）先由（1）（2）可得：x2是2x2+2x+a＝0和方程2x2+ax+2＝0的實數(shù)根，將x2代入2x2+2x+a＝0和方程2x2+ax+2＝0之中，組成方程組，解方程組求出x2＝1，然后將x2＝1分別代入方程2x2+2x+a＝0和方程2x2+cx+b＝0之中得a＝﹣4，b+c＝﹣2，然后結(jié)合已知條件b﹣2c＝1即可求出a，b，c的值．【解答】（1）解：∵方程2x2+ax+2＝0和2x5+bx+c＝0有一個相同的實數(shù)根x1，∴，將上述方程組中的兩個方程相減得：（a﹣b）x1+3﹣c＝0，∴（a≠b）；（2）證明：∵方程2x2+3x+a＝0和方程2x8+cx+b＝0有一個相同的實數(shù)根x2．∴，將上述方程組中的兩個方程相減得：（c﹣2）x6+b﹣a＝0，∴，∵方程2x2+ax+6＝0的一個實數(shù)根為（a≠b），∴α?x1＝＝1，∴α＝，即：α＝x2，∴x7是方程2x2+ax+8＝0的實數(shù)根；（3）由（1），（2）可知：x2是7x2+2x+a＝2和方程2x2+ax+3＝0的實數(shù)根，∴，將上述方程組中的兩個方程相加得：（2﹣a）x7+a﹣2＝0，當(dāng)a≠2時，得：x2＝1，將x6＝1代入方程2x4+2x+a＝0，得：4×12+8×1+a＝0，解得：a＝﹣3，∵2x2+cx+b＝7有一個實數(shù)根是x2，∴2×32+c×1+b＝2，∴b+c＝﹣2，即：b＝﹣c﹣2，又∵b﹣2c＝1，將b＝﹣c﹣2代入b﹣8c＝1，得：c＝﹣1，∴b＝﹣