數(shù)列的極限講解課件

第二章§2.2§2.3§2.1數(shù)列的極限第

二

章

極

限連

續(xù)§2 .4函

數(shù)

的

極

限無

窮

小

量

●

無

窮

大

量函

數(shù)

的

連

續(xù)

性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章§

2

.

1數(shù)列的極限2.1.1

問題的引入2.1.2

數(shù)列概念2.1.3

數(shù)列極限的概念2.1.4

數(shù)列極限的四則運(yùn)算2.1.5

數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.1

問題的引入引例.如圖所示,可得：解：分別表示圓內(nèi)接正n邊形的周長與面積,的變化特征如何？劉徽：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！痹噯枺寒?dāng)n無限增大時(shí),設(shè)有一半徑為

r的圓

,

試求其周長

l與面積

A

?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.2

數(shù)

列

的

概

念按自然數(shù)的順序排列的一串實(shí)數(shù):or由函數(shù)的概念，數(shù)列可視為自變量取自然數(shù)的或整序變量。還可理解為數(shù)軸上不斷運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)列，隨著時(shí)刻的推移在數(shù)軸上依次取 各點(diǎn)。從幾何上看，函數(shù)（即定義域?yàn)镹

的函數(shù)），故數(shù)列也常被稱為整標(biāo)函數(shù)稱為（實(shí)）數(shù)列。記作：記作：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：0●1●●●●

●

●●-1●●

● ●

●●●●●●●●●

●0●●

●

●

●1-1又如：再如：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：●0●●●

●

● ●

●●●● ●

●

●

●

●再如：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的變化趨勢。也就是說，當(dāng)n無限增大時(shí)，是如何變化的？是否與某個(gè)常數(shù)無限的接近？假若如此，這個(gè)常數(shù)該是多少？我們?cè)鯓硬拍苷业竭@個(gè)常數(shù)？后者是一個(gè)方法問題，而前者則是一個(gè)理論問題。這就提出了以下急待解決的問題：Ⅰ)

如何度量兩個(gè)數(shù)的接近程度？Ⅱ）如何刻畫無限接近？對(duì)于用數(shù)列所描述的實(shí)際問題而言，其取值反映了所關(guān)心的量在各個(gè)時(shí)刻所處的狀態(tài)，這對(duì)于研究問題無疑是有益的，但這還不夠，我們不僅關(guān)心這個(gè)量在固定時(shí)刻的取值，更關(guān)注重它機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束如對(duì)于數(shù)列：由于反映了與

“1”

的接近程度，

顯然，隨著

n

“越大”，要使故只要與數(shù)1的距離均小于也就是說：與

1

就

“

越接近”

，例如：只須 即可，就能保證從100項(xiàng)之后的各項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束只須即可，也就是說：完全類似地，要使只須取當(dāng)時(shí)，即：有一般地，對(duì)于任意地機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束要使2.1.3

數(shù)列極限的定義定義設(shè)總存在著自然數(shù)

N，當(dāng)

n>N

時(shí)或則稱數(shù)列是收斂（于a）的；常數(shù)a稱為數(shù)列或或如果數(shù)列不收斂，就稱之是發(fā)散的。(當(dāng)n趨于無窮時(shí))的極限。記作：是一數(shù)列，若常數(shù)

a

滿足

：對(duì)于任意給定的正數(shù)的一切

都有：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,趨勢不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

設(shè)的極限為C。證:對(duì)任一自然數(shù)，都有：因此

,

取則當(dāng)時(shí),就有C為常數(shù)，驗(yàn)證數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

設(shè)驗(yàn)證：證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取不一定取最小的N.說明:

N與

ε

有關(guān),

但不唯一也可由取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束驗(yàn)證等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)

n>N

時(shí),就有故例3.

設(shè)的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.驗(yàn)證：證:欲使只要即即因此,取則當(dāng)

n>N

時(shí),就有故令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則幾何解釋:但對(duì)于某個(gè)特定的若有無限多項(xiàng)，

x注 明：ε

取值的任意性與相對(duì)(尋求N時(shí))的確定性；N與ε

的關(guān)聯(lián)性以及N選取的多樣性；改變數(shù)列 有限項(xiàng)之值，其斂散性不受影響，若收斂，其極限值也不變；是數(shù)列極限的一種邏輯法則，并非求極限的方法；機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.證明數(shù)列是發(fā)散的。證:

用反證法假設(shè)數(shù)列收斂

,

則有唯一極限

a存在

。取但因交替取值1與－1,而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長度為1的開區(qū)間則存在

N,

使當(dāng)

n>N

時(shí)

,有內(nèi),

因此該數(shù)列發(fā)散

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.4

收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（有界與唯一性）收斂數(shù)列必是有界的且極限是唯一的。證:

先證有界性：從而有取則有時(shí),則

當(dāng)

有收斂于a

，即設(shè)

取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束及且取因故存在N1同理,因故存在

N2

,使當(dāng)

n>N2

時(shí)

,

有,

使當(dāng)

n>

N1

時(shí)

,

有再證唯一性：

用反證法：假設(shè)則當(dāng)n>N時(shí),不妨設(shè)且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束這與矛盾。定理2（保序性）證:

設(shè)?即：ⅱ）用反證法，設(shè)均收斂，?。┤簪ⅲ┤?ⅰ）取由極限的唯一性證明知，存在著

N

，當(dāng)

n>N

時(shí)，有若即由ⅰ）得這與題給條件矛盾。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)收斂，a,b均為常數(shù)，且?推論1?。┤簪ⅲ┤?只要在保序性定理中，分別取再分別與作比較即得驗(yàn)證。說明:在?。┲杏玫氖菄?yán)格的不等號(hào)；在ⅱ）中用的是非嚴(yán)格的不等號(hào)，即使把ⅱ）條件改為嚴(yán)格的不等號(hào)，其結(jié)論也未必是嚴(yán)格的不等號(hào)，如：顯然：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論2（保號(hào)性）設(shè)顯然，只須在推論1中，分別令a,b等于0即可。ⅰ）若ⅱ）若與c同號(hào);機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理（四則運(yùn)算法則）

設(shè)均收斂，則?。ⅲ＃┰O(shè)為常數(shù)，且收斂，則推論ⅰ）ⅱ）ⅲ）ⅳ）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.5

數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則證:

由條件

(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),

有由條件(1)即故1.

夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)

(

P30定理4)

設(shè)數(shù)列滿足：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且例6.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則

.

由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束綜上討論得：例7.計(jì)算解：當(dāng)a=1時(shí)，顯然有極限為1；當(dāng)

a

>

1為一定值且

n>

[a]時(shí)，有由夾擠原理得：3）當(dāng)時(shí)，有由2）得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.

單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（準(zhǔn)則Ⅱ）

(P30定理5)(證明略)設(shè)數(shù)列滿足：ⅰ）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束ⅱ）例8.

設(shè)證明數(shù)列收斂.(P30例11)證:

利用不等式（n個(gè)正數(shù)的幾何平均小于其算術(shù)平均），有由此可見數(shù)列是單調(diào)增的；n+1項(xiàng)相乘機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束n+1項(xiàng)相加根據(jù)準(zhǔn)則Ⅱ可知數(shù)列e為無理數(shù),其值為：即收斂.記此極限記為e,原題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束又內(nèi)容小結(jié)數(shù)列極限的“ε

–N”定義及應(yīng)用收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性

;

有界性

;

保號(hào)性;極限收斂準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則

;

單調(diào)有界準(zhǔn)則

;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.已知

,求時(shí),下述作法是否正確?

說明理由.設(shè) 由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!

此處機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P30 3

(2),

(3)

,

4

,

6P56 4

(