安徽省蕪湖市城南實驗中學2024屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省蕪湖市城南實驗中學2024屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學名著九章算術中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半牛”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且2．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．某次數(shù)學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩位老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于或等于分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分.如圖所示，當，，時，則（）A. B.C.或 D.4．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.15．當實數(shù)，m變化時，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.66．等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.277．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（）A. B.2C. D.38．如圖，，是平面上兩點，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，A，B，C，D，E是圖中兩組同心圓的部分公共點.若點A在以，為焦點的橢圓M上，則（）A.點B和C都在橢圓M上 B.點C和D都在橢圓M上C.點D和E都在橢圓M上 D.點E和B都在橢圓M上9．下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入a=102，b=238，則輸出的a的值為（）A.17 B.34C.36 D.6810．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.11．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題：平面上一矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成角分別為，則，若把它推廣到空間長方體中，體對角線與平面，平面，平面所成的角分別為，則可以類比得到的結論為___________________.14．已知拋物線的焦點與的右焦點重合，則__________.15．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．甲組乙組16．已知數(shù)列的前4項依次為，，，，則的一個通項公式為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標系中，設點，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項公式18．（12分）如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.20．（12分）在數(shù)列中，，，且對任意的，都有.（1）數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式;（2）若不等式對恒成立,求實數(shù)m的取值范圍22．（10分）如圖甲，平面圖形中，，沿將折起，使點到點的位置，如圖乙，使.（1）求證：平面平面；（2）若點滿足，求點到直線的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和，即故答案為D.2、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結合圓的性質進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D3、B【解析】按照框圖考慮成立和不成立即可求解.【詳解】因為，，，所以輸入，當成立時，，即，解得，，滿足條件；當不成立時，，即，解得，，不滿足條件；故.故選：B.4、A【解析】構造函數(shù)，再用積的求導法則求導計算得解.【詳解】令，則，求導得：，所以.故選：A5、D【解析】根據(jù)點到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點到直線的距離，利用圓的性質結合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點到直線的距離，設，因直線，即表示恒過定點，根據(jù)圓的性質可得.故選：D.6、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和為具有的性質，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列的前n項和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.7、D【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達定理，求得，利用拋物線定義，將目標式轉化為關于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結果.【詳解】因為拋物線的焦點的坐標為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設直線的方程為聯(lián)立可得，其，設坐標為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當且僅當，即時取得最小值.故選：D.【點睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關系，以及拋物線的定義轉化目標式，是解決問題的關鍵.8、C【解析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可求解.【詳解】因為，所以橢圓M中，因為，,,,所以D，E在橢圓M上.故選：C9、B【解析】根據(jù)程序框圖所示代入運行即可.【詳解】初始輸入：；第一次運算：；第二次運算：；第三次運算：；第四次運算：；結束，輸出34.故選：B.10、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.11、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.12、A【解析】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由線面角的定義得到，再計算的值即可得到結論【詳解】在長方體中，連接，在長方體中，平面，所以對角線與平面所成的角為，對角線與平面所成的角為,對角線與平面所成的角為，顯然，，，所以,，故答案為：14、【解析】求出拋物線的焦點坐標即為的右焦點可得答案.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點坐標為，由題意知表示焦點在軸的橢圓，在橢圓中：，所以，因為，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結合莖葉圖進行計算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別；乙組名學生在一次英語聽力測試中的成績分別，因為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：16、（答案不唯一）【解析】觀察數(shù)列前幾項，找出規(guī)律即可寫出通項公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項，先不考慮正負，可知，再由奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，可得到一個通項公式，故答案為：（不唯一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2），【解析】（1）設出等比數(shù)列的首項和公比，根據(jù)已知條件列出關于的方程組，由此求解出的值，則通項公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關系，然后采用累加法求解出的通項公式.【詳解】（1）因為等比數(shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當時也滿足，所以，18、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）利用線面垂直的性質證明出；（2）利用等體積轉換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問1詳解】在矩形中，.因為平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小問2詳解】設AC與BD的交點為O,則C到平面AEF的距離為O到平面AEF的距離的2倍.因為菱形ABCD的邊長為4且，所以.因為矩形BDFE的面積為8，所以BE=2.,,則三棱錐的體積.在△AEF中,,所以.記O到平面AEF的距離為d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距離為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因為底面，底面，∴.因為，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則，，取，設平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】（1）由遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出通項公式，再由累加法求的通項公式；（2）由（1）可得，再應用裂項相消法求前項和【小問1詳解】由可得：，又，，∴，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴.∴.【小問2詳解】∵，∴∴.21、（1）（2）【解析】(1)移項,兩邊平方即可獲解;(2)利用絕對值不等式即可.【小問1詳解】即即,即即即或所以不等式的解集為【小問2詳解】由題知對恒成立因為.所以,解得即或,所以實數(shù)的取值范為22、（1）證明見解析（2）【解析】(1)利用給定條件可得平面，再證即可證得平面推理作答.(2)由(1)得EA，EB，EG