安徽省蕪湖一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

安徽省蕪湖一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.2．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切C.外切 D.外離3．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.4．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，下列結(jié)論不正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.點(diǎn)P到兩漸近線的距離的乘積為D.若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為325．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素，現(xiàn)從，兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數(shù)為 D.品種的中位數(shù)為6．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A. B.C. D.7．正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點(diǎn)，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.9．為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為（）A.60 B.120C.150 D.24010．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．若圓的半徑為，則實(shí)數(shù)（）A. B.-1C.1 D.12．我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個(gè)表面積為的玻璃球，則球面上的點(diǎn)到杯底的最小距離為______cm；②在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)14．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切15．已知拋物線，則的準(zhǔn)線方程為______.16．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切且，，三點(diǎn)共線，求線段的長(zhǎng)18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于軸（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)：是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）已知函數(shù)，且在處取得極值.（1）求的值；（2）當(dāng)，求的最小值.21．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.22．（10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因?yàn)?，所以，，故選：D2、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離，即，解得或,因?yàn)?所以,圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓心距，兩圓內(nèi)切，故選：B3、D【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D4、D【解析】根據(jù)雙曲線的離心率、漸近線、點(diǎn)到直線距離公式、三角形的面積等知識(shí)來(lái)確定正確答案.【詳解】由題意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故離心率e，故A正確；由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線線的漸近線方程為y＝±x，故B正確；設(shè)P（x，y），則P到兩漸近線的距離之積為，故C正確；若PF1⊥PF2，則△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D錯(cuò)誤.故選：D5、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數(shù)為與，故C錯(cuò)誤；品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故D正確.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)據(jù)的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，較為基礎(chǔ)6、B【解析】由題意求出蒙日?qǐng)A方程，再由兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，故選：B8、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進(jìn)而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由橢圓的對(duì)稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是求解基本量，，.9、C【解析】結(jié)合排列組合的知識(shí)，分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時(shí)，有種，當(dāng)分組為1人，2人，2人時(shí)有種，所以共有種排法.故選：C10、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A11、B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)題意，，進(jìn)而得，，故最小距離為；進(jìn)而建立坐標(biāo)系，得拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時(shí)設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進(jìn)而只需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)楸诜乓粋€(gè)表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因?yàn)楸趯抍m，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因?yàn)楸?cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.14、(答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足，)【解析】首先設(shè)圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當(dāng)時(shí)，，，所以其中一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足，)15、##【解析】根據(jù)拋物線的方程求出的值即得解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，所以，所以的準(zhǔn)線方程為.故答案為：16、【解析】由題意結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準(zhǔn)線方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準(zhǔn)線方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程即可.（2）由（1）知曲線為，討論直線的存在性，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，則，又，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，又，，三點(diǎn)共線，可設(shè)直線，即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立，得，則，，∴.18、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.【小問(wèn)2詳解】解：，所以，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，且最小值為.19、（1）（2）為定值，該定值為2【解析】（1）先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)和半焦距為3易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，分別表示出直線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可表示出，即可求得答案【小問(wèn)1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓：，焦距為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為所以，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由橢圓的方程可知，因?yàn)椋瑒t直線，由已知得，直線斜率均存在，則直線，令得，直線，令得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，，則，又因?yàn)椋?，所以所以為定值，該定值?.20、（1）；（2）.【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而建立方程組解出a,b，然后討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證，最后確定答案；（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極值點(diǎn).于是.【小問(wèn)2詳解】結(jié)合（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，所以.因?yàn)?，所?綜上：的最小值為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三