北京市西城區(qū)北京市第四中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京市西城區(qū)北京市第四中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，則和的值分別為（）A.、 B.、C.、 D.、2．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.23．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.44．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A.168 B.210C.672 D.10507．已知是等差數(shù)列，，，則公差為（）A.6 B.C. D.28．設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.10．已知，，若，則xy的最小值是（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)，，直線：與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.12．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將數(shù)列{n}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個(gè)數(shù)是_________14．在報(bào)名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數(shù)為_(kāi)_________.(結(jié)果用數(shù)值表示)15．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，則雙曲線C的方程為_(kāi)_____16．已知數(shù)列滿(mǎn)足，記，則______；數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線l過(guò)點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值18．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，______，求m的值從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：條件①：；條件②：圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為；條件③：20．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)21．（12分）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為8.在中每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它們與原數(shù)列的項(xiàng)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，，，是從中抽取的若干項(xiàng)按原來(lái)的順序排列組成的一個(gè)等比數(shù)列，，，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求得，即可求得、的值.【詳解】，則，則，故，.故選：D.2、C【解析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案【詳解】解：∵數(shù)列滿(mǎn)足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔3、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過(guò)A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，因?yàn)椋?，解得?因?yàn)樵趻佄锞€上，則.所以，即，解得：.故選：D4、B【解析】由條件可得，即可得到答案.【詳解】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線所以，即故選：B5、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿(mǎn)足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C7、C【解析】設(shè)的首項(xiàng)為，把已知的兩式相減即得解.【詳解】解：設(shè)的首項(xiàng)為，根據(jù)題意得，兩式相減得.故選：C8、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.9、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂?，所?故選：D.10、C【解析】對(duì)使用基本不等式，這樣得到關(guān)于的不等式，解出xy的最小值【詳解】因?yàn)椋?，由基本不等式得：，所以，解得：，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立故選：C11、A【解析】由可求出直線過(guò)定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過(guò)定點(diǎn)，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A.12、C【解析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿(mǎn)足的條件，然后根據(jù)“小推大”的原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知，第組中最后一個(gè)數(shù)即為前組數(shù)的個(gè)數(shù)和，由此可求得第21組的最后一個(gè)數(shù)，從而就可得第22組的第一個(gè)數(shù).【詳解】由條件可知，第21組的最后一個(gè)數(shù)為，所以第22組的第1個(gè)數(shù)為.故答案為：14、18【解析】由題設(shè)，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應(yīng)用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.15、①.##1.5②.【解析】求得焦點(diǎn)到漸近線的距離可得，計(jì)算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.16、①.②..【解析】結(jié)合遞推公式計(jì)算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或（2）4【解析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或法二：設(shè)直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問(wèn)2詳解】法一：∵，∴，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線法二：∵，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線18、（1）證明見(jiàn)解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可求得.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，則，且，則，，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)圓心在過(guò)點(diǎn)，的線段的中垂線上，同時(shí)圓心圓心在直線上，可求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，最后求出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）選①利用用垂徑定理可求得答案，選②根據(jù)圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為可求得答案，選③先利用向量的數(shù)量積可求得，解法就和選①時(shí)相同.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，圓心在點(diǎn)的中垂線上，該中垂線的方程為，于是，由，解得圓心，圓C的半徑所以，圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】①，因?yàn)?，，所以圓心C到直線l的距離，則，解得，②，圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為，可知圓心C到直線l的距離則，解得，③，因?yàn)椋裕?，又，所以圓心C到直線l的距離，則，解得20、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用21、（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項(xiàng)法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，所以.22、（1）；（2）【解析】（1）由題意在中每相鄰兩項(xiàng)之間插