梯度、散度和旋度

-.z.梯度、散度和旋度(2011-09-1220:36:08)▼標(biāo)簽：

旋度

散度

梯度

矢量場

拉普拉斯算子

波動方程分類：

電子技術(shù)梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析〞，因?yàn)槿呤侨N偏導(dǎo)數(shù)計算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號分別記作如下：從符號中可以獲得這樣的信息：①求梯度是針對一個標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個矢量函數(shù)。這里φ稱為勢函數(shù)；②求散度則是針對一個矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個標(biāo)量函數(shù)，跟求梯度是反一下的；③求旋度是針對一個矢量函數(shù)，得到的還是一個矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度〞、“散度的梯度〞、“梯度的旋度〞、“旋度的散度〞和“旋度的旋度〞，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動方程具有如下的形式(1)其中a為一實(shí)數(shù)，于是可以設(shè)想，對于一個矢量函數(shù)來說，要求得它的波動方程，只有求它的“旋度的旋度〞才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計算式：(2)(3)(4)旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個“*度的*度〞。I.梯度的散度：根據(jù)麥克斯韋方程有：而(5)則電勢的梯度的散度為這是一個三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作(6)稱為泊松方程，而算符▽2稱為拉普拉斯算符。事實(shí)上因?yàn)槎x所以有當(dāng)然，這只是一種記憶方式。當(dāng)空間無電荷分布時，即ρ=0，則稱為拉普拉斯方程當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時，比方電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間〔不包含極板〕的電場，我們知道該電場只有一個指向，場強(qiáng)處處相等，于是該電場滿足一維拉普拉斯方程，即這就是說如果那邊平行板電容器的負(fù)極板接地，則板間一點(diǎn)處的電壓與該點(diǎn)距負(fù)極板的距離呈線性關(guān)系。II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結(jié)果會比擬復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因?yàn)閺柠溈怂鬼f方程可以看出空間*點(diǎn)處電場的散度是該點(diǎn)處的電荷密度，則再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴(kuò)散，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會導(dǎo)致擴(kuò)散電流。散度的梯度這個概念其實(shí)不常用，因?yàn)橛嬎銖?fù)雜，但在后面講用它來推導(dǎo)一個矢量恒等式。III.梯度的旋度：對于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢函數(shù)在空間一點(diǎn)的領(lǐng)域往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比方一個人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機(jī)上去，重力對他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無關(guān)，這樣的場稱為保守場，而保守場是無旋場。再比方繪有等高線的地圖，如果*點(diǎn)只有一個一根等高線穿過，則該點(diǎn)有一個確定的相對高度。如果該點(diǎn)有兩條或以上的等高線穿過，則這個點(diǎn)處在懸崖邊上，這個點(diǎn)處是不可微，也就沒有求梯度的意義。IV.旋度的散度：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。假設(shè)令(7)則從而將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說旋度的散度為零，這就意味著一個散度場任意疊加上一個有旋場不會改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個矢量，這是因?yàn)橛行龍隹梢辕B加上這么一個矢量場而不改變其旋度，而這個矢量場是一個標(biāo)量函數(shù)的梯度。V.旋度的旋度：旋度的旋度將是本文的重點(diǎn)。假設(shè)所研究的空間圍是無源的，即ρ=0，J=0，則根據(jù)麥克斯韋方程有：(8)(9)(10)(11)對(9)式兩端取旋度(12)再將(8)式代入(12)式有(13)看到這里容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程為一維波動方程，則跟(13)式有什么聯(lián)系呢？棘手的問題是算旋度已經(jīng)夠復(fù)雜了，算旋度的旋度豈不是更費(fèi)周折？幸好有矢量恒等式可以利用來幫助簡化計算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有：(14)這里拉普拉斯算子作用于一個矢量函數(shù)時，意義變得不明確了，它和前面的幾個“*度的*度〞都不一樣，實(shí)際上它有這樣的定義：(15)為了驗(yàn)證式(14)還是要對計算“旋度的旋度〞，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令則于是(16)而令(17)兩式相減有(18)類似地有由于所關(guān)心的空間是無源的，所以式(13)變成(19)這個方程很重要，稱為三維波動方程，這也從理論上提醒了電磁波的存在。它的各分量展開后比擬復(fù)雜，實(shí)際上我們無法繪制出一個向四面八方傳播的波的振動圖像，但好在可以畫出一維和二維的波，從而了解波的性質(zhì)。有些事物我們無法在現(xiàn)實(shí)世界中呈現(xiàn)，或繪制出圖形，但是數(shù)學(xué)上卻可以計算且有確切的物理意義，比方高于三維的空間，不得不感慨?dāng)?shù)學(xué)的神奇，感慨我們生活的世界的神奇。VI.幾個矢量恒等式：前面已經(jīng)介紹了一個矢量恒等式，還有其他幾個重要的恒等式。由于三種“度〞是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把▽當(dāng)做一個普通的矢量來處理，但并不總是正確的，這一點(diǎn)需要引起注意。①②這里“×〞乘的優(yōu)先級高于“·〞乘對于普通三個不共面的矢量A、B、C則有A·B×C=C·A×B=B·C×A。得到的結(jié)果是令三個矢量共起點(diǎn)，以三個矢量的模為棱構(gòu)成的六面體的體積或它的負(fù)值。但是對于▽算子，則一般但是一般有實(shí)際上上面的矢量恒等式就是上式的擴(kuò)展上兩式相減有記憶上式的方法是記住下標(biāo)的順序是*yz，yz*和z*y。③這個等式相對容易證明，但前提是要在直角坐標(biāo)下。旋度為了反映*一點(diǎn)處是否存在渦旋源以及渦旋面的方向和渦旋源的強(qiáng)度，定義了旋度。下面給出旋度的計算公式，希望對你有所幫助。方法/步驟旋度計算公式：注：圖片格式，請耐心加載度量系數(shù)h及其滿足關(guān)系：3旋度的性質(zhì)1〕矢量場的旋度師一個矢量場。2〕旋度的量綱師環(huán)量面密度，表示渦旋面單位面積上的環(huán)量3〕rot〔A〕=0表示該場為無旋場，也稱為保守場梯度，散度，旋度的形象解釋梯度:運(yùn)算的對像是純量,運(yùn)算出來的結(jié)果會是向量在一個純量場中,梯度的計算結(jié)果會是"在每個位置都算出一個向量,而這個向量的方向會是在任何一點(diǎn)上從其周圍(極接近的周圍,學(xué)過微積分該知道甚么叫極限吧")純量值最小處指向周圍純量值最大處.而這個向量的大小會是上面所說的那個最小與最大的差距程度"舉例子來講會比擬簡單,如果現(xiàn)在的純量場用一座山來表示,純量值越大的地方越高,反之則越低.經(jīng)過梯度這個運(yùn)操作數(shù)的運(yùn)算以后,會在這座山的每一個點(diǎn)上都算出一個向量,這個向量會指向每個點(diǎn)最陡的那個方向,而向量的大小則代表了這個最陡的方向到底有多陡.散度:運(yùn)算的對像是向量,運(yùn)算出來的結(jié)果會是純量散度的作用對像是向量場,如果現(xiàn)在我們考慮任何一個點(diǎn)(或者說這個點(diǎn)的周圍極小的一塊區(qū)域),在這個點(diǎn)上,向量場的發(fā)散程度,如果是正的,代表這些向量場是往外散出的.如果是負(fù)的,代表這些向量場是往集中的.一樣,舉例子:因?yàn)樯⒍鹊淖饔脤ο袷窍蛄繄?所以就不能用上面所講的山來想象,這次要想象一個大廣場里擠了很多人,如果每個人都在到處走動,是不是可以把每個人的行動都看成是一個向量,假設(shè)現(xiàn)在*人放了一個屁,周圍的人(可能包含他自己)都想要趕快閃遠(yuǎn)一點(diǎn),就會發(fā)現(xiàn),在這塊區(qū)域的人都往這小塊區(qū)域以外的方向移動.對啦..這就是散度(你也可以想說是閃遠(yuǎn)一點(diǎn)的閃度....冷....),大家如果散得越快,散得人越多,這個散度算出來就就越大.旋度:運(yùn)算的對像是向量,運(yùn)算出來的結(jié)果會是向量旋度的作用對象也是向量場,這次直接用上面的例子來講:如果現(xiàn)在散開的眾人都是直直的往那個屁的反方向散開,這時候你看到這些人的動線是不是就是一個標(biāo)準(zhǔn)的幅射狀""不過事實(shí)上,每個人在聞到屁的時候是不會確切的知道屁到底是來自哪個方向的.而可能會走錯方向,試過之后才發(fā)現(xiàn)不對勁,越找越臭.這時候你看到眾人的走向不見得就是一個幅射狀(大家都徑向移動),而可能有一些切向移動的成份在(以屁發(fā)點(diǎn)為中心來看)旋度對應(yīng)的就是這些切向移動的情況,相對來講,散度對應(yīng)的其實(shí)就是徑向移動的情況.而一個屁,雖然可能會像上述的造成一些切向的移動,但理論上來講,并不會使散開的眾人較趨向于順時鐘轉(zhuǎn),或逆時鐘轉(zhuǎn).在這種情況,順時鐘轉(zhuǎn)的情況可以看作與逆時鐘轉(zhuǎn)的情況抵消,因此,在這情況下,旋度仍然是零.也就是說,一個屁能造成散度,而不會造成旋度....而甚么時候是有旋度的呢""如果這時候音樂一放,大家開場圍著中間的營火手拉手跳起土風(fēng)舞(當(dāng)然是要繞著營火轉(zhuǎn)的那種