2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)燕山中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）(含解析)VIP

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市歷下區(qū)燕山中學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題1．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm2．已知＝（a≠0，b≠0），下列變形錯(cuò)誤的是（）A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b3．如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，DE＝4，則EF的長是（）A． B． C．1 D．64．如圖，夏季的一天，身高為1.6m的小玲想測量一下屋前大樹的高度，她沿著樹影BA由B到A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出樹的高度為（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：26．現(xiàn)將正面分別寫有“道路自信”“理論自信”“制度自信”和“文化自信”的四張卡片（除卡片正面的內(nèi)容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均勻后從中隨機(jī)一次抽取兩張卡片，則恰好抽到寫有“文化自信”和“理論自信”的卡片的概率是（）A． B． C． D．7．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（）A．不存在 B．4 C．0 D．0或48．如圖，在正方形網(wǎng)格中：△ABC、△EDF的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，△ABC∽△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．晚上，小亮走在大街上時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)他站在大街兩邊的兩盞路燈之間，并且自己被兩邊路燈照在地上的兩個(gè)影子成一直線時(shí)，自己右邊的影子長為3m，左邊的影子長為1.5m，又知自己身高1.80m，兩盞路燈的高相同，兩盞路燈之間的距離為12m，則路燈的高為（）A．6.6m B．6.7m C．6.8m D．6.9m10．如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點(diǎn)O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接BD，BF，若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④二、填空11．若＝＝＝2，且b+d+f＝4，則a+c+e＝．12．在一個(gè)不透明的布袋中裝有40個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.30左右，則布袋中黃球可能有個(gè)．13．如圖，校園里一片小小的樹葉，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），如果AB的長度為10cm，那么AP的長度為cm．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝3，BD＝1，則AC的長是．15．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s．如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過秒時(shí)△QBP與△ABC相似．16．如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個(gè)小正方形后形成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，其中兩頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，則放入的四個(gè)小正方形的面積之和為．三、解答17．解方程：（1）x2+2x﹣8＝0；（2）x（x﹣2）＝x﹣2．18．如圖，?ABCD中，E是CB延長線上一點(diǎn)，DE交AB于F．求證：AD?AB＝AF?CE．19．“雙減”意見下，我區(qū)教體局對(duì)課后作業(yè)作了更明確的要求，為了解某學(xué)校七年級(jí)學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長情況，某部門針對(duì)某校七年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分四類顯示：A表示“40分鐘以內(nèi)完成”，B表示“40﹣70分鐘以內(nèi)完成”，C表示“70﹣90分鐘以內(nèi)完成”，D表示“90分鐘以上完成”．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問題．（1）這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B類扇形的圓心角是°；C類扇形所占的百分比是．（2）在D類學(xué)生中，有2名男生和2名女生，再需從這4名學(xué)生中抽取2名學(xué)生作進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法，求所抽2名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的概率．20．如圖，綜合實(shí)踐活動(dòng)課中小明同學(xué)用自制的直角三角形模具DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，讓斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求樹高AB．21．在△ABC中，，∠B＝45°，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且∠EFD＝45°，（1）求證△ABD∽△DFE；（2）若，求CD的長．22．材料：對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求該多項(xiàng)式的取值范圍外，愛思考的小寧同學(xué)還想到了利用根的判別式的方法，例：求x2+2x+5的最小值；解：令x2+2x+5＝y(tǒng)，∴x2+2x+（5﹣y）＝0，∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0，∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值為4．請(qǐng)利用上述方法解決下列問題：如圖，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．（1）若EF＝2EQ，求矩形EFPQ的面積；（2）設(shè)EQ＝x求矩形EFPQ的面積最大值．23．如圖1，已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，∠C＝∠AED＝90°．（1）觀察猜想：如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD、CE，BD的延長線交CE于點(diǎn)F．當(dāng)BD的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)，①的值為；②∠BFC的度數(shù)為度；（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△ADE，點(diǎn)F與點(diǎn)E不重合時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展延伸：若AE＝DE＝，AC＝BC＝，當(dāng)CE所在的直線垂直于AD時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段BD的長．

參考答案一、選擇題1．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．2．已知＝（a≠0，b≠0），下列變形錯(cuò)誤的是（）A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．解：由＝得，3a＝2b，A、由等式性質(zhì)可得：3a＝2b，正確；B、由等式性質(zhì)可得2a＝3b，錯(cuò)誤；C、由等式性質(zhì)可得：3a＝2b，正確；D、由等式性質(zhì)可得：3a＝2b，正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．3．如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，DE＝4，則EF的長是（）A． B． C．1 D．6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答即可．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，∵DE＝4，∴＝，∴EF＝6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．4．如圖，夏季的一天，身高為1.6m的小玲想測量一下屋前大樹的高度，她沿著樹影BA由B到A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出樹的高度為（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【分析】求出AB的長度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可．解：如圖，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲與大樹都與地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判斷出相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF＝4：25，則DE：EC＝（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：AB的值，由AB＝CD即可得出結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF＝4：25，∴DE：AB＝2：5，∵AB＝CD，∴DE：EC＝2：3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)的邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．6．現(xiàn)將正面分別寫有“道路自信”“理論自信”“制度自信”和“文化自信”的四張卡片（除卡片正面的內(nèi)容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均勻后從中隨機(jī)一次抽取兩張卡片，則恰好抽到寫有“文化自信”和“理論自信”的卡片的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求得相應(yīng)的概率．解：設(shè)“道路自信”為A，“理論自信”為B，“制度自信”為C，“文化自信”為D，樹狀圖如圖所示，一共有12種等可能性，其中恰好抽到寫有“文化自信”和“理論自信”的卡片有2種可能性，∴恰好抽到寫有“文化自信”和“理論自信”的卡片概率為＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概率．7．關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（）A．不存在 B．4 C．0 D．0或4【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值．解：∵方程x2+mx+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝m2﹣4m＝0，解得：m＝0或m＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根找出關(guān)于m的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中：△ABC、△EDF的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，△ABC∽△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】利用相似三角形的性質(zhì)，證明∠BAC＝135°，可得結(jié)論．解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是證明∠BAC＝135°．9．晚上，小亮走在大街上時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)他站在大街兩邊的兩盞路燈之間，并且自己被兩邊路燈照在地上的兩個(gè)影子成一直線時(shí)，自己右邊的影子長為3m，左邊的影子長為1.5m，又知自己身高1.80m，兩盞路燈的高相同，兩盞路燈之間的距離為12m，則路燈的高為（）A．6.6m B．6.7m C．6.8m D．6.9m【分析】首先根據(jù)已知條件求證出△FHG∽△FCE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得兩個(gè)相似三角形的相似比，進(jìn)而求出路燈CE的高度．解：設(shè)小亮離右邊的路燈為xm，則離左邊的路燈為（12﹣x）m，再設(shè)路燈的高為hm，∵AB⊥BC，GH⊥BC，EC⊥BC，∴△FHG∽△FCE，△KHG∽△KBA，∴＝，＝，∴＝，∴＝解得x＝4米，h＝6.6米，即路燈高6.6米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．10．如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點(diǎn)O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接BD，BF，若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【分析】首先證明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再證明∠DBE＝90°，可得②③正確，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷④正確．解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴＝，∴＝，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正確，∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正確，在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝5，∵△ABC∽△ADE，∴＝＝，∵BF＝DE，∴＝，∴BF＝AE，故④正確，∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴無法判斷△AOD∽△FOB，故①錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．二、填空11．若＝＝＝2，且b+d+f＝4，則a+c+e＝8．【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，可得答案．解：＝＝＝2，由等比性質(zhì)，得，a+c+e＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例等性質(zhì)，利用了等比性質(zhì)．12．在一個(gè)不透明的布袋中裝有40個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.30左右，則布袋中黃球可能有12個(gè)．【分析】利用頻率估計(jì)概率得到摸到黃球的概率為0.3，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．解：設(shè)布袋中黃球有x個(gè)，根據(jù)題意，得：＝0.30，解得：x＝12，即布袋中黃球可能有12個(gè)，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．13．如圖，校園里一片小小的樹葉，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），如果AB的長度為10cm，那么AP的長度為（5﹣5）cm．【分析】直接利用黃金分割的定義計(jì)算出AP的長即可．解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案為：（5﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝3，BD＝1，則AC的長是3．【分析】直接利用射影定理進(jìn)行計(jì)算即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠B＝∠ACD，∠BDC＝∠CDA＝90°，∴△BCD∽△CAD，∴，∴CD2＝BD?AD，∴AD＝＝＝9，∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，∴△BCD∽△BAC，∴，∵AC2＝AB?AD＝（BD+AD）?AD＝（1+9）×9＝90，∴AC＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了射影定理，熟練掌握射影定理是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s．如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過2或0.8秒時(shí)△QBP與△ABC相似．【分析】設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，△QBP與△ABC相似，則AP＝2tcm，BP＝（8﹣2t）cm，BQ＝4tcm，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類討論，由相似三角形的性質(zhì)列出方程可求解．解：設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，△QBP與△ABC相似，則AP＝2tcm，BP＝（8﹣2t）cm，BQ＝4tcm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2；當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BCA，即，解得t＝0.8；即經(jīng)過2秒或0.8秒時(shí)，△QBP與△ABC相似．故答案為：2或0.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．利用時(shí)間表示相應(yīng)線段長和利用相似比列方程是解決此題的關(guān)鍵．16．如圖，在邊長為7的正方形ABCD中放入四個(gè)小正方形后形成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，其中兩頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，則放入的四個(gè)小正方形的面積之和為22．【分析】作GH⊥BC，證明△GHE∽△EMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH＝2EM，HE＝2MN，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程求出MN，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計(jì)算，得到答案．解：如圖，過G作GH⊥BC于H，則∠HGE+∠HEG＝∠HEG+∠MEN＝90°，∴∠HGE＝∠MEN，∵∠GHE＝∠EMN＝90°，∴△GHE∽△EMN，∴，∴GH＝2EM，HE＝2MN，設(shè)MN＝x，則HE＝2x，∴EM＝7﹣4x，∴GH＝2EM＝2（7﹣4x），∴2（7﹣4x）+x＝7，解得：x＝1，∴EM＝7﹣4x＝3，∴EN＝＝，∴GE＝2EN＝，∴四個(gè)小正方形的面積之和＝2×12+×＝22，故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、中心對(duì)稱圖形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答17．解方程：（1）x2+2x﹣8＝0；（2）x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．解：（1）x2+2x﹣8＝0，（x+4）（x﹣2）＝0，x+4＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2；（2）x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝2，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18．如圖，?ABCD中，E是CB延長線上一點(diǎn)，DE交AB于F．求證：AD?AB＝AF?CE．【分析】根據(jù)已知條件很容易就可推出△ECD∽△DAF，求出對(duì)應(yīng)邊的比例式，根據(jù)CD＝AB，進(jìn)行相關(guān)線段的等量代換即可．【解答】證明：在?ABCD中，因?yàn)锳B∥DC，所以∠CDE＝∠BFE＝∠AFD，又因?yàn)椤螦＝∠C，所以△ECD∽△DAF，所以＝，又CD＝AB，所以＝，故AD?AB＝AF?CE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是證明△ECD和△DAF相似，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找到相等關(guān)系，進(jìn)行等量代換．19．“雙減”意見下，我區(qū)教體局對(duì)課后作業(yè)作了更明確的要求，為了解某學(xué)校七年級(jí)學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長情況，某部門針對(duì)某校七年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分四類顯示：A表示“40分鐘以內(nèi)完成”，B表示“40﹣70分鐘以內(nèi)完成”，C表示“70﹣90分鐘以內(nèi)完成”，D表示“90分鐘以上完成”．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制成兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，回答下列問題．（1）這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是40人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B類扇形的圓心角是108°；C類扇形所占的百分比是45%．（2）在D類學(xué)生中，有2名男生和2名女生，再需從這4名學(xué)生中抽取2名學(xué)生作進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法，求所抽2名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）用A類學(xué)生人數(shù)除以所占百分比可得這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)；用B類學(xué)生人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360°，即可得B類扇形的圓心角；先求出C類學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而可得C類扇形所占的百分比．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和所抽取的2名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．解：（1）這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為6÷15%＝40（人），扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B類扇形的圓心角為＝108°，C類的學(xué)生人數(shù)為40﹣6﹣12﹣4＝18（人），∴C類扇形所占的百分比為×100%＝45%．故答案為：40；108；45%．（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中所抽取的2名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有8種，∴所抽取的2名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．20．如圖，綜合實(shí)踐活動(dòng)課中小明同學(xué)用自制的直角三角形模具DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，讓斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，測得邊DF離地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求樹高AB．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的長，加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴＝，∵EF＝0.3，DE＝0.4，DC＝8，∴，∴BC＝6m，∴AB＝AC+BC＝1.7+6＝7.7（m），答：樹高AB為7.7m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證得△DEF∽△DCB．21．在△ABC中，，∠B＝45°，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且∠EFD＝45°，（1）求證△ABD∽△DFE；（2）若，求CD的長．【分析】（1）利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似可證明出結(jié)論；（2）利用△ABD∽△DFE，求出DF＝4，再證△EFC∽△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【解答】（1）證明：∵∠EFD＝45°，∠B＝45°，∴∠B＝∠EFD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE＝45°，∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠EDF，∴△ABD∽△DFE；（2）解：由（1）知△ABD∽△DFE，∴，∵△ADE是等腰直角三角形，∴，∴，∵AB＝，∴DF＝4，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠AED＝45°，∵∠EFD＝45°，∴∠DEC＝∠EFC＝180°﹣45°＝135°，又∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△EFC，∴DC：EC＝EC：CF，即EC2＝FC?（4+FC），∵EC＝，∴5＝FC（4+FC），∴FC＝1（負(fù)的已舍），∴CD＝FC+FD＝1+4＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判斷方法是解題的關(guān)鍵．22．材料：對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求該多項(xiàng)式的取值范圍外，愛思考的小寧同學(xué)還想到了利用根的判別式的方法，例：求x2+2x+5的最小值；解：令x2+2x+5＝y(tǒng)，∴x2+2x+（5﹣y）＝0，∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0，∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值為4．請(qǐng)利用上述方法解決下列問題：如圖，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．（1）若EF＝2EQ，求矩形EFPQ的面積；（2）設(shè)EQ＝x求矩形EFPQ的面積最大值．【分析】（1）可證△AEF∽△ABC．從而得出，同時(shí)EF＝2EQ，從而可求出EQ，進(jìn)而求出矩形EFPQ的面積；（2）易得四邊形EQDH為矩形，則HD＝EQ＝x，所以AH＝AD﹣HD＝8﹣x，由（1）△AEF∽△ABC，利用相似比得到EF＝﹣x+10，設(shè)矩形EFPQ的面積為S，根據(jù)矩形的面積公式得到S＝x?（﹣x+10），把它整理為關(guān)于x的方程得到5x2﹣40x+4S＝0，然后利用判別式得到S的范圍，從而得到矩形EFPQ的面積最大值．解：（1）∵AD為高，∴AD⊥BC，∵四邊形EFPQ為矩形，∴EF∥PQ，∠FEQ＝∠EQP＝90°，∴四邊形EQDH為矩形，∴HD＝EQ，∵BC＝10，AD＝8，∴AH＝AD﹣HD＝8﹣EQ，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∵EF＝2EQ，∴∴EQ＝，∴矩形EFPQ的面積＝EF?EQ＝2EQ2＝2×＝；（2）由題意和（1）知：BC＝10，AD＝8，EQ