三角形的中位線

如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點P．求證：四邊形ABPE是平行四邊形．證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴正五邊形的每個內角的度數是AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四邊形ABPE是平行四邊形．ABCDEP第一頁第二頁，共22頁。情境引入學習目標1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.（重點）2.能利用三角形的中位線定理解決有關證明和計算問題.(重點）第二頁第三頁，共22頁。導入新課復習引入ABC

在三角形中，連接一個

和它的

的

叫做三角形的中線.頂點頂點D中點DE是三角形的什么呢？E中點

它就是我們這節(jié)課要學習的三角形的中位線.頂點對邊中點線段第三頁第四頁，共22頁。講授新課三角形的中位線定理一探究與思考1.你能給“三角形中位線”下個定義嗎？ABC中點D中點E2.一個三角形有幾條中位線？3.三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？答：三條.答：中位線是連接三角形兩邊中點的線段.

中線是連結一個頂點和它的對邊中點的線段.F定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.第四頁第五頁，共22頁。問題1：如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC有怎樣的關系？DE兩條線段的關系位置關系數量關系分析：DE與BC的關系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結論？并用文字表述這一結論．問題2：第五頁第六頁，共22頁。平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長短線分析1：DE猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．問題3：如何證明你的猜想？第六頁第七頁，共22頁。分析2：DE互相平分構造平行四邊形倍長DE第七頁第八頁，共22頁。證明：DE延長DE到F，使EF=DE．連接AF、CF、DC

．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴CF

AD．∴CF

BD．又，∴DF

BC．∴DE∥BC，．第八頁第九頁，共22頁。DE證明：延長DE到F，使EF=DE．F∴四邊形BCFD是平行四邊形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，證法2：，ADCF．∴BDCF．又，∴DF

BC．∴DE∥BC，．第九頁第十頁，共22頁。

三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．DE△ABC中，若D、E分別是邊AB、AC的中點，則DE∥BC，DE=BC．三角形中位線定理：符號語言：知識要點第十頁第十一頁，共22頁。典例精析

例1

如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，求AC的長解：∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123第十一頁第十二頁，共22頁。

如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC中點．（1）

若DE=5，則BC=

．（2）

若∠B=65°，則∠ADE=

°．（3）

若DE+BC=12，則BC=

．1065x2xx+2x=12x=48練一練第十二頁第十三頁，共22頁。例1如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．四邊形問題連接對角線三角形問題（三角形中位線定理）三角形的中位線的綜合運用二第十三頁第十四頁，共22頁。證明:連接AC.∵E,F,G,H分別為各邊的中點,∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四邊形EFGH是平行四邊形.

順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.歸納第十四頁第十五頁，共22頁。如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC，E,F分別是邊AB,CD的中點，G為對角線BD的中點.求證:△EFG是等腰三角形.DCBGAFE證明：在△ABD中∵E,G分別是邊AB,BD的中點，∴EG=AD，∴同理FG=BC；又∵AD=BC，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.做一做第十五頁第十六頁，共22頁。2.如圖，?ABCD的周長為36，對角線AC，BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，求△DOE的周長．解：∵?ABCD的周長為36，∴BC+CD=18．∵點E是CD的中點，∴OE是△BCD的中位線，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周長為OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15，即△DOE的周長為15．第十六頁第十七頁，共22頁。當堂練習1.已知：如圖，點D、E、F分別是△ABC的三邊

AB、BC、AC的中點.（1）若∠ADF=50°，則∠B=

°；（2）已知三邊AB、BC、AC分別為12、10、8，則△DEF的周長為

.5015ABCDFE第十七頁第十八頁，共22頁。2.如圖：如果AD=AC，AE=AB，DE=2cm，那么BC=

cm.ABDCE3.在△ABC中，E、F、G、H分別為AC、CD、BD、AB的中點，若AD=3，BC=8，則四邊形EFGH的周長是

.ABDCEFGHHG811第2題圖第3題圖第十八頁第十九頁，共22頁。4.如圖，A、B兩點被池塘隔開，在AB外選一點C，連接AC和BC，怎樣量出A、B兩點間的距離？根據是什么？分別畫出AC、BC中點M、N，量出M、N兩點間距離，則AB=2MN.NM根據是三角形中位線定理．第十九頁第二十頁，共22頁。5.如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是邊AB,CD,AC,BD的中點.求證:四邊形EGFH是平行四邊形.DCBGAFHE