合作對(duì)策模型

合作對(duì)策模型從事某一活動(dòng)的各方如能通力合作，常常可以獲得更大的總收益（或受到更小的總損失）。本節(jié)主要討論在這種合作中應(yīng)當(dāng)如何分配收益（或分?jǐn)倱p失），這一問(wèn)題如果處理不當(dāng)，合作顯然是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。先讓我們來(lái)分析一個(gè)具體實(shí)例例7

有三個(gè)位于某河流同旁的城鎮(zhèn)城1、城2、城3(如圖）三城鎮(zhèn)的污水必須經(jīng)過(guò)處理后方能排入河中，他們既可以單獨(dú)建立污水處理廠，也可以通過(guò)管道輸送聯(lián)合建廠。為了討論方便起見(jiàn)，我們?cè)偌僭O(shè)污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，單位為米3/秒，L表示管道長(zhǎng)度，單位為公里，則有經(jīng)驗(yàn)公式：建廠費(fèi)用C1=730Q0.712（萬(wàn)元）管道費(fèi)用C2=6.6Q0.51L(萬(wàn)元）已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為：Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒，問(wèn)：三城鎮(zhèn)應(yīng)怎樣處理污水方可使總開(kāi)支最少？每一城鎮(zhèn)負(fù)擔(dān)的費(fèi)用應(yīng)各為多少？

城一城二城三

38公里

20公里分析本問(wèn)題中三城鎮(zhèn)處理污水可以有五種方案：

(1)每城鎮(zhèn)各建一個(gè)處理廠（單干）。

(2)城1,城2合建一個(gè),城3單獨(dú)建一個(gè)(1、2城合作建于城2處)。

(3)城2,城3合建一個(gè),城1單獨(dú)建一個(gè)(2、3城合作建于城3處)。

(4)城3,城1合建一個(gè),城2單獨(dú)建一個(gè)(1、3城合作建于城3處)。

(5)三城合建一個(gè)污水處理廠（建于城3處）城一城二城三

38公里

20公里

容易計(jì)算：方案總投資(：萬(wàn)元)

1

6200

2

5800

3

5950

4

6230

5

5560以三城合作總投資為最少費(fèi)用怎么分?jǐn)偰?？建廠費(fèi)用按三城污水量之比5：3：5分?jǐn)?，管道是為?、城2建的，應(yīng)由兩城協(xié)商分?jǐn)偂?/p>

城一城二城三

38公里

20公里建廠處同意城3意見(jiàn)，由城2→城3的管道費(fèi)用可按污水量之比5：3：5分?jǐn)?，但?→城2的管道費(fèi)用應(yīng)由城1承擔(dān)。

分?jǐn)偡桨赣械览?，但得作一番“可行性論證”，

城1的“可行性論證”：聯(lián)合建廠費(fèi)：（萬(wàn)元）城1負(fù)擔(dān)：（萬(wàn)元）城1→城2管道費(fèi)：（萬(wàn)元）全部由城1負(fù)擔(dān)城2→城3管道費(fèi)：（萬(wàn)元）城1負(fù)擔(dān)：（萬(wàn)元）城1的總負(fù)擔(dān)：約為2457萬(wàn)元城1自己建廠費(fèi)用：2300萬(wàn)元合作后城1費(fèi)用增加！差點(diǎn)做了冤大頭！?。≡鯓诱页鲆粋€(gè)合理的分?jǐn)傇瓌t，以保證合作的實(shí)現(xiàn)呢？

N人合作對(duì)策模型設(shè)有一個(gè)n人的集合I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能參加者。

(1)對(duì)于每一子集SI，對(duì)應(yīng)地可以確定一個(gè)實(shí)數(shù)V(S)，此數(shù)的實(shí)際意義為如果S中的人參加此項(xiàng)合作，則此合作的總獲利數(shù)為V(S)，十分明顯，V(S)是定義于I的一切子集上的一個(gè)集合函數(shù)。根據(jù)本問(wèn)題的實(shí)際背景，還應(yīng)要求V(S)滿足以下性質(zhì):

=0（沒(méi)有人參加合作則合作獲利不能實(shí)現(xiàn)）對(duì)一切滿足的S1、S2成立具有這種性質(zhì)的集合函數(shù)V（S）稱(chēng)為I的特征函數(shù)。

(2)定義合作結(jié)果V（S）的分配為，其中表示第i人在這種合作下分配到的獲利。顯然，不同的合作應(yīng)有不同的分配，問(wèn)題歸結(jié)為找出一個(gè)合理的分配原則來(lái)，被稱(chēng)為合作對(duì)策1953年Shapley采用邏輯建模方法研究了這一問(wèn)題。首先，他歸納出了幾條合理分配原則應(yīng)當(dāng)滿足的基本性質(zhì)（用公理形式表示），進(jìn)而證明滿足這些基本性質(zhì)的合作對(duì)策是唯一存在的，從而妥善地解決了問(wèn)題。是否存在合理分配原則Shapley提出了以下公理：

設(shè)V是I上的特征函數(shù)，是合作對(duì)策，則有公理1合作獲利對(duì)每人的分配與此人的標(biāo)號(hào)無(wú)關(guān)。

公理2，即每人分配數(shù)的總和等于總獲利數(shù)。公理3若對(duì)所有包含的i的子集S有：V(S-{i})=V(S)，

=0。即若第i人在他參加的任一合作中均不作出任何貢獻(xiàn)，則他不應(yīng)從合作中獲利公理4若此n個(gè)人同時(shí)進(jìn)行兩項(xiàng)互不影響的合作，則兩項(xiàng)合作的分配也應(yīng)互不影響，每人的分配額即兩項(xiàng)合作單獨(dú)進(jìn)行時(shí)應(yīng)分配數(shù)的和。

利用上述公理可以證明滿足公理1~4的是唯一存在的(證明略)存在的公式嗎Shapley指出，可按下列公式給出：

(11.1)i=1,…,n

Si是I中包含i的一切子集所成的集合，

|S|表示集合S中的元素個(gè)數(shù)，而(11.2)

可視為i在合作S中所作的貢獻(xiàn)W(|S|)可看作這種貢獻(xiàn)的權(quán)因子合作的獲利真的不少于他單干時(shí)的獲利嗎對(duì)每一i∈I，有

求證:證明:|S|=K時(shí)，包含i的子集S共有個(gè)

即個(gè)

故

=1/n

從而

又根據(jù)性質(zhì)，有

故有

城1獲利=67+130=197（萬(wàn)元）承擔(dān)總費(fèi)用：2300-197=2103（萬(wàn)元）1300670W(|S|)[V(S)-V(S-{I})]1/31/61/61/3W(|S|)3221|S|39004000V(S)-V(S-{I})250000V(S-{I})64004000V(S){1，2，3}{1，3}{1，2}{1}S城一城二城三

38公里

20公里建廠處解決三城鎮(zhèn)污水處理問(wèn)題城1究竟應(yīng)當(dāng)承擔(dān)多少費(fèi)用首先不難看出：

S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}計(jì)算出與(11.1)式有關(guān)的數(shù)據(jù)并列成表總投資大于單干總投資，合作不可能實(shí)現(xiàn)，合作獲利為0

城2和城3應(yīng)該承擔(dān)的費(fèi)用可類(lèi)似算出我們應(yīng)該承擔(dān)的是2103萬(wàn)元！派別在團(tuán)體中的權(quán)重90人的團(tuán)體由3個(gè)派別組成，人數(shù)分別為40,30,20人。團(tuán)體表決時(shí)需過(guò)半數(shù)的贊成票方可通過(guò)。雖然3派人數(shù)相差很大若每個(gè)派別的成員同時(shí)投贊成票或反對(duì)票，用Shapley合作對(duì)策計(jì)算各派別在團(tuán)體中的權(quán)重。團(tuán)體I={1,2,3}，依次代表3個(gè)派別?íì=否則，的成員超過(guò)定義特征函數(shù)045,1)(ssv優(yōu)點(diǎn)：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。如n個(gè)單位治理污染,通常知道第i方單獨(dú)治理的投資yi

和n方共同治理的投資Y,及第i方不參加時(shí)其余n-1方的投資zi

(i=1,2,…n).確定共同治理時(shí)各方分擔(dān)的費(fèi)用。其它v(s)均不知道,無(wú)法用Shapley合作對(duì)策求解Shapley合作對(duì)策小結(jié)若定義特征函數(shù)為合作的獲利(節(jié)約的投資)，則有缺點(diǎn)：需要知道所有合作的獲利，即要定義I={1,2,…n}的所有子集(共2n-1個(gè))的特征函數(shù)，實(shí)際上常做不到。設(shè)只知道無(wú)i

參加時(shí)n-1方合作的獲利全體合作的獲利求解合作對(duì)策的其他方法例.甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。問(wèn)三人合作時(shí)如何分配獲利？（2）協(xié)商解11將剩余獲利平均分配模型以n-1方合作的獲利為下限求解~xi的下限（3）Nash解為現(xiàn)狀點(diǎn)（談判時(shí)的威懾點(diǎn)）在此基礎(chǔ)上“均勻地”分配全體合作的獲利B模型平均分配獲利B3）Nash解

2）協(xié)商解（4）最小距離解模型第i方的邊際效益若令4）最小距離解

2）協(xié)商解（5）滿意解di~現(xiàn)狀點(diǎn)(最低點(diǎn))ei~理想點(diǎn)(最高點(diǎn))模型5）基于滿意度的解

2）協(xié)商解（6）Raiffi

解與協(xié)商解x=(5,4,2)比較求解合作對(duì)策的6種方法（可分為三類(lèi)）Shapley合作對(duì)策A類(lèi)B類(lèi)協(xié)商解Nash解最小距離解滿意解di~現(xiàn)狀,e