拉氏變換及其計(jì)算機(jī)公式

時(shí)域的函數(shù)可以通過線性變換的方法在變換域中表示，變換域的表示有時(shí)更為簡(jiǎn)捷、方便。例如控制理論中常用的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換，就是其中的一種。一、拉氏變換的定義已知時(shí)域函數(shù)了㈢，如果滿足相應(yīng)的收斂條件，可以定義其拉氏變換為外）=匚處）?/匾中 （2-45）式中，了（?稱為原函數(shù)，盧⑹稱為象函數(shù)，變量占為復(fù)變量，表示為2b+胛（2-46）因?yàn)楸R⑹是復(fù)自變量占的函數(shù)，所以『（矽是復(fù)變函數(shù)。有時(shí)，拉氏變換還經(jīng)常寫為（2-47）拉氏變換有其逆運(yùn)算，稱為拉氏反變換，表示為廠佃⑹〕=穴）=二『⑹苴膈洌* （2-48）上式為復(fù)變函數(shù)積分，積分圍線亡為由2b-衣到* 爬的閉曲線。二、常用信號(hào)的拉氏變換系統(tǒng)分析中常用的時(shí)域信號(hào)有脈沖信號(hào)、階躍信號(hào)、正弦信號(hào)等?，F(xiàn)復(fù)習(xí)一些基本時(shí)域信號(hào)拉氏變換的求取。(1)單位脈沖信號(hào)理想單位脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為*爽)擊=1l (2-50)所以赍㈤=E)uJ>c(f)(251)說明:單位脈沖函數(shù)可以通過極限方法得到。設(shè)單個(gè)方波脈沖如圖2-13所示，脈沖的1寬度為”，脈沖的高度為^，面積為1。當(dāng)保持面積不變，方波脈沖的寬度”趨2于無窮小時(shí)，高度匚趨于無窮大，單個(gè)方波脈沖演變成理想的單位脈沖函數(shù)。在坐標(biāo)圖上經(jīng)常將單位脈沖函數(shù)『⑥表示成單位高度的帶有箭頭的線段。由單位脈沖函數(shù)況幻的定義可知，其面積積分的上下限是從到的。因此在求它的拉氏變換時(shí)，拉氏變換的積分下限也必須是°-。由此，特別指明拉氏變換定義式中的積分下限是°-,是有實(shí)際意義的。所以，關(guān)于拉氏變換的積分下限根據(jù)應(yīng)用的實(shí)際情況有°-，°，°，三種情況。為不丟掉信號(hào)中位于f二°處可能存在的脈沖函數(shù)，積分下限應(yīng)該為°-。(2)單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為fu>0山)=［乃履(2—52)又經(jīng)常寫為由拉氏變換的定義式，求得拉氏變換為因?yàn)?[1做)]=W)階躍信號(hào)的導(dǎo)數(shù)在f二。處有脈沖函數(shù)存在，所以單位階躍信號(hào)的拉氏變換，其積分下限規(guī)定為°-。單位斜坡信號(hào)單位斜坡信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為2>o<0(2-55)圖2-15單位斜坡信號(hào)

另外，為了表示信號(hào)的起始時(shí)刻，有時(shí)也經(jīng)常寫為山)"1(f)(2-56)為了得到單位斜坡信號(hào)的拉氏變換，利用分部積分公式adv-uv-vdu￡[頃)]=(2-57)-I:(2-57)m5-16指玫信號(hào)指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為4^1=r-e-^dt=r5 =-^―拉氏變換為虹 虹 s-a(2-59)拉氏變換為正弦、余弦信號(hào)正弦、余弦信號(hào)的拉氏變換可以利用指數(shù)信號(hào)的拉氏變換求得。由指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，可以直接寫出復(fù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為M(2-60)因?yàn)? S+ 占+j?s 責(zé)目―脾一0+M)l>—抻「『十妒一L+責(zé)』L+履(2-61)由歐拉公式剝潸-cosi^剝潸-cosi^+Jsin猊(2-62)L次*=zfcosat+Jsin斑］= T+J v十拼『十履(2-63)分別取復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部變換與虛部變換，則有：正弦信號(hào)的拉氏變換為

Zjfsin勰］=「 7-￡+廿(2-64)同時(shí)，余弦信號(hào)的拉氏變換為i[cos就]== ve十拼(2-65)常見時(shí)間信號(hào)的拉氏變換可以參見表2-1。表2-1常見函數(shù)的拉普拉斯變換表敏函數(shù)BW序號(hào)兼函散FE原海故.「31__ ?(f)fi拓3 -CO皿 > 1Lif)Dc-flCSttlA4f3r10j+ct?h+抒京4“一】W—口！llL4'C-j-—orihw5'12L」l皿6H|_”-心二7%礦廠.U酣 (_i|■式〉L—3eT*fib^wr71--itrfiiLwr14 j1e必m—誨e'^clwf^2-1 常醐前敷的拉普拉斯業(yè)換最三、拉氏變換的一些基本定理

若函數(shù)M珈的拉氏變換分別為眼E，則血龍們+4玨)]*.而+卜風(fēng)⑴(2-66)延遲定理若函數(shù)J0)的拉氏變換為昨)，則￡[/0-劃*?叩)(2-67)圖￡-17信弓的時(shí)間建迅親戮囹信號(hào)了(f)與它在時(shí)間軸上的平移信號(hào)"L)的關(guān)系見圖2-18所示。該定理說明了時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有相對(duì)應(yīng)的衰減變換。應(yīng)用延遲定理，可以簡(jiǎn)化一些信號(hào)的拉氏變換的求取。圖2-Ifl雄齒波信號(hào)例2-9周期鋸齒波信號(hào)如圖2-18所示，試求該信號(hào)的拉氏變換。解：該信號(hào)為周期信號(hào)。因此，已知信號(hào)第一周期的拉氏變換為理值）時(shí)，應(yīng)用拉氏變換的延遲定理，得到周期信號(hào)的拉氏變換為=*（￡）+想5耳?+廠皿『1同+…鋸齒波信號(hào)第一周期的拉氏變換為所以，鋸齒波信號(hào)的拉氏變換為（3）衰減定理若函數(shù)了(f)的拉氏變換為尸⑴，則￡廣加"仙+司(2-68)該定理說明了時(shí)間信號(hào)了心在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標(biāo)平移。當(dāng)時(shí)間函數(shù)帶有指數(shù)項(xiàng)因子時(shí)，利用拉氏變換的衰減定理，可以簡(jiǎn)化其拉氏變換的求取計(jì)算。例2-10試求時(shí)間函數(shù)兀)=礦*泗成的拉氏變換。解：因?yàn)檎液瘮?shù)的拉氏變換為￡［泗湖二點(diǎn)所以，應(yīng)用拉氏變換的衰減定理可以直接寫出亳琶—杰血1勰=-—w—-仙十+護(hù)另外，衰減定理與延遲定理也表明了時(shí)間域與變換域的對(duì)偶關(guān)系。微分定理若函數(shù)兀)的拉氏變換為頁占)，且兀)的各階導(dǎo)數(shù)存在，則了們各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為￡土兀）=*（品-廊）(2-69)4令川］—昨）?川）?孔）3 」 （2-70）「號(hào)拘二即外蚪必-土"-產(chǎn)％)「號(hào)拘二即外蚪必-土"-產(chǎn)％)(2-71)當(dāng)所有的初值（各階導(dǎo)數(shù)的初值）均為零時(shí)，即/(o)=/(o)=.-/H-^o)=o則|￡手抱鼻」 (2-72)(2-73)(2-73)L%處）二打（2L就」 （2-74）證明：（在此只證明一階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換，其余請(qǐng)讀者自證）由拉氏變換的定義式利用分部積分公式:一Jvdzi占 & U*二頊Q(jìng)）+【￡[,（d]二義）ss\_d^ _所以證畢。若函數(shù)兀）的拉氏變換為玨），則M）亦!冊(cè)擴(kuò)（。）5）定理的證明同樣采用分部積分公式可以證得，請(qǐng)讀者自證。式中為函數(shù)了"）的在￡=0時(shí)刻的積分值。積分定理與微分定理互為逆定理。（6）初值定理若函數(shù)了"）的拉氏變換為研占），且在‘二°十處有初值N°*），則血）=略?四）（2-76）即時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。證明由微分定理令即可證得。注意，拉氏變換的初值定理是滿足拉氏變換的定義的，因此由初值定理所求得的時(shí)間信號(hào)的初值為抑，而不是/（°）或者?。例如階躍信號(hào)節(jié)），可以利用拉氏變換的初值定理求得其初值為/9+）=臨礦F（7）終值定理若函數(shù)40的拉氏變換為頁占），且了伽）存在，則川E*）（2-77）即時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。證明：由微分定理■s~5tdi=sF（s）-f^）或-廣頃=甌知）-了（0）］hm日7二1因?yàn)镮。 ，所以方程左邊

螞r4/W,/以T：=/W|c=/H-/to)Lvu LOu方程右邊帆［職（2-/（碩二蛉日畦）-/（°）所以證畢。（8）卷積定理若時(shí)域函數(shù)麗珈分別有拉氏變換*值）頊川），時(shí)域函數(shù)的卷積分為[ED"』"/又常表示為了"(2-79)則其拉氏變換為電以刷渤函）5這表明時(shí)域函數(shù)卷積分在變換域成為變換域函數(shù)的乘積。證明可參考其他教材。時(shí)域函數(shù)在變換域中表示有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化了函數(shù)，例如指數(shù)函數(shù)和正、余弦函數(shù)都是時(shí)域中的超越函數(shù)，在變換域中成為有理函數(shù)表示；另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化了運(yùn)算，如時(shí)域函數(shù)的卷積分在變換域中成為變換域函數(shù)的乘積。常用的拉氏變換基本定理可以參見表2-2。表2-2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表rp-g-1姓質(zhì)者即常St定理恒醒定理時(shí)間虬庵定理甄性定爆租分定現(xiàn)枷也是理檢毋定怦LIhLrp-g-1姓質(zhì)者即常St定理恒醒定理時(shí)間虬庵定理甄性定爆租分定現(xiàn)枷也是理檢毋定怦LIhL⑴+Of抓口=廿、⑴L「|Ji(i—rJ/dCrJdlT=F,C.CFsCf'J?-J-： -推分定圾LCt七tS 一ql -廠叩3~=/")十)liiiL&F(i)/(co)=UrruF(?)：-r0=—pif：■J-WFL) 11(0)四、拉普拉斯反變換拉普拉斯變換將時(shí)域函數(shù)了"）變換為復(fù)變函數(shù)g相應(yīng)地它的逆運(yùn)算可以將復(fù)變函數(shù)盧S）變換回原時(shí)域函數(shù)/們。拉氏變換的逆運(yùn)算稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換。由復(fù)變函數(shù)積分理論，拉氏反變換的計(jì)算公式為上式的拉氏反變換，由于是復(fù)變函數(shù)的積分，計(jì)算復(fù)雜，一般很少采用。所以已知押（占）反求了"）時(shí)，通常采用的方法是部分分式法。由于工程中常見的時(shí)間信號(hào)/"），它的拉氏變換都是s的有理分式。因此，可以將盧⑴分解為一系列的有理分式§（E）之和，再利用拉氏變換表確定出所有的有理分式項(xiàng)再所對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)了*），合成時(shí)域函數(shù)典）。上述過程遵循的是拉氏變換的線性定理。拉氏變換歸（占）通常為s的有理分式，可以表為時(shí)==如尸十知-伊心十’，'+3盧十如職）廣+"1廣+~廣+ +的（2-82）式中，何）是分子多項(xiàng)式，癱）是分母多項(xiàng)式，系數(shù)以"/J和如如??如!-1互均為實(shí)數(shù)，橢，理為正整數(shù)，而且招〉m。在復(fù)變函數(shù)理論中，分母多項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的方程H（s）二°,其所有的解時(shí)二技…可稱為曲的極點(diǎn)。這樣押（￡）可以表示為+gj+_.?+_5_s~si)—% ￡—e二F")+時(shí)§)+…+皿)二立齷?心(2-83)由復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，可以確定盧值）的各分式E（s）,求得拉氏反變換為川5時(shí)疽叫2一84）下面分別討論各種計(jì)算情況。1.』（"二0全部為單根歸（占）可以分解為處q+M…+里￡—弓—%s-s^(2-85)其中f(2-86)為復(fù)變函數(shù)盧佰）對(duì)于極點(diǎn)'二、的留數(shù)。則拉氏反變換為兀)或*￥(2-87)例2-11已知："占'+第+閂，求拉氏反變換義）。解：將盧（￡）分解為部分分式F?= e=e= +_￡a_'*疽+么十6值+2)值+3)5+25+3極點(diǎn)為：勺=-2元=-3，則對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的留數(shù)為C\二云由）?@+2）Lt=^||5.-2二T4=網(wǎng)），仙+3）Lt=J=2

則分解式為查拉氏變換表可得2.癱）二0有重根只考慮一個(gè)單根情況為設(shè)電為單根，方為楸重根，漁則分解式為查拉氏變換表可得2.癱）二0有重根只考慮一個(gè)單根情況為設(shè)電為單根，方為楸重根，漁+1二就，則尹G可以展開式中，與單根刃相對(duì)應(yīng)的系數(shù)q的求法與前述相同。與重根刃相對(duì)應(yīng)的各系數(shù)％’,'=12'切，由留數(shù)定理可得計(jì)算公式如下：弓粗=網(wǎng)）,仙-的）L（2-89）(2-90)因?yàn)樗?，拉氏反變換為必）二『典）］二4(2-91)例2-12求”'亦+3）（$+計(jì)的拉氏反變換40。解:磯曷可以分解為系數(shù)C1,C2，分別對(duì)應(yīng)單根氣二°，習(xí)二T，由前述單根情況計(jì)算為系數(shù)￡疝勺1分別對(duì)應(yīng)二重根s3=-111于是，盧值）的分解式為查表求得拉氏反變換為3.A（s）=0有共軛復(fù)數(shù)根時(shí)域函數(shù)有共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，可以將其作為單根（互不相同）來看待。但是在分解時(shí)，涉及到復(fù)數(shù)運(yùn)算，計(jì)算繁瑣。拉氏變換中有如下的變換對(duì)：

L[sinm]=z①￡L[cos<?t]=222L廠部血戰(zhàn) L廠部血戰(zhàn) p+a尸+溫L廠*cosdt= \——§（8十招十由例2-13已知'一^十公十34，試求其拉氏反變換兀）。第一步，將分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式，分離常數(shù)項(xiàng)為第二步，將余式的二次三項(xiàng)式按照上述拉氏變換表整理為解：因?yàn)榉肿佣囗?xiàng)式的次數(shù)與分母多項(xiàng)式的次數(shù)相等，必然存在常數(shù)項(xiàng)，而常數(shù)項(xiàng)的拉氏反變換為脈沖函數(shù)，所以有：第一步，將分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式，分離常數(shù)項(xiàng)為第二步，將余式的二次三項(xiàng)式按照上述拉氏變換表整理為="3）-1。= * _ 5~仙十3尸十5’~ （5+3）2+52 佰十3尸十5’第三步，寫出拉氏反變換。因?yàn)槭?］二制43」廣'7~~I~~7二日頃￡詒此長(zhǎng)+才+寧」所以/*)二如)+3礦豪g點(diǎn)—2疽亳in勺五、拉氏變換法求解微分方程列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。微分方程的求解方法，可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來求解，也可以采用拉氏變換法來求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運(yùn)算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下：方程兩邊作拉氏變換。將給定的初始條件與輸入信號(hào)代入方程。⑶寫出輸出量的拉氏變換。(4)作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。fflI1!3［就位我蟲蹈電容的初始電例2-14%濾波電路如圖2-19所示，輸入電壓信號(hào)牌二礦，壓吃（°）分別為0V和1V時(shí)，分別求時(shí)域解約們。電容的初始電解：RC電路的微分方程為皿學(xué)+項(xiàng)）=頑）￡［配空見盤）］方程兩邊作拉氏變換成I 配』也?］+ ）］二即業(yè)）］由拉氏變換的線性定理得出由拉氏變換的微分定理得配虬（°）1+甘瓜）二也曲 反=1。=仲，耳（時(shí)=2將系統(tǒng)參數(shù)值 s帶入整理得0.h/0)s+5U.⑹=?八'—輸出的拉氏變換為 ?姑十1）圖兩種初值時(shí)RC濾彼割,改時(shí)間響國(guó)（1）幻（0）二敏時(shí)，"=即+1廣廠萬O.k+5 5 4頊）=5O.k+5 5 4（2）吃（。）二1礦時(shí)，"川）=疝并B=廠商虬（加5.1（滬心-皿拉氏變換及反變換公式1.拉氏變換的基本性質(zhì)齊次性L[af(t)]=aF(s)疊加性疊加性L[f(t)土f(t)]=F(s)土F(s)2微分定一般形式理初始條件為0時(shí)一般形式積分定理L[或尹]=sF(s)-f(0)dtL[]=s2F(s)-sf(0)-f(0)dt2L[』Rf)]=snF(s)-切sn-kf(k-1)(0)dtnk=1dk-1f(t)f(k-1)(t)= dtk-1L[dnf(t)]=snF(s)dtnL[ff(t)dt]=嘗+^^

s s汕f(t)(dt)2]=嘗+tba^+[fff(t)(出叫=0s2 s2 sL['?Jf(t)(dt)n]=嘗+1L—[^.ff(t)(dt)n]sn sn-k+1 t=0初始條件為0時(shí)延遲定理(或稱t域平移定理)L["f(t)(dt)n]=嘗snL[f(t-T)1(t-T)]=e-tsF(s)5衰減定理(或稱$域平移定理)L[f(t)e-at]=F(s+a)6終值定理limf(t)=limsF(s)t—s sT07初值定理limf(t)=limsF(s)t—0 s—s8卷積定理L[ftf(t-T)f(T)dT]=L[ftf(t)f(t-T)dT]=F(s)F(s)01 2 01 2 1 22.常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號(hào)拉氏變換E(s)時(shí)間函數(shù)e(t)Z變換E(z)11<5(t)121—e-Ts5t(t)=T5(t-nT):一13s1(t):一14tTz(Z-1)2

5t2T2z(z+1)2(z—1)36sn+1tnn!lim5旦(-^)"頊n!danz—e-aT7s+ae-atz一e-aT8(s+a)2te—atTze—aT(z一e—aT)29as(s+a)1—e-at(1—e-aT)z(z-1)(z-e-aT)10b一ae—at—e-btz z(s+a)(s+b)z—e-aT z—e-bT11①s2+①2sinwtzsinWTz2-2zcos①T+112s2+W2coswtz(z—coswT)z2一2zcoswT+113①(s+a)2+w2e—atsinwtze-aTsinWTz2—2ze-aTcoswT+e-2aT14s+a(s+a)2+w2e-atcoswtz2一ze-aTcoswTz2一2ze-aTcoswT+e-2aT15s-(1/T)lnaat/tz-a3.用查表法進(jìn)行拉氏反變換用查表法進(jìn)行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進(jìn)行部分分式展開，然后逐項(xiàng)查表進(jìn)行反變換。設(shè)F(s)是s的有理真分式B(s)bsm+bSm-1HFbs+b / 、F(s)= = m— 1 (n>m)A(s)asn+asn-1ffas+a式中系數(shù)a,a，…,a,a，b,b,.?，,b都是實(shí)常數(shù)；m,n是正整數(shù)。按代數(shù)01 n-1n01m-1m定理可將F(s)展開為部分分式。分以下兩種情況討論。①A(s)=0無重根這時(shí)，F(xiàn)(s)可展開為n個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和的形式。F(s)=二+-^+…+-^+…+-^=才二s-ss-ss-ss-s.]s-s式中，s,s，…，s是特征方程A(s)=0的根