中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第15節(jié)　二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與綜合

第15節(jié)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與綜合1．(2021·北京)如圖，用繩子圍成周長(zhǎng)為10m的矩形，記矩形的一邊長(zhǎng)為xm，它的鄰邊長(zhǎng)為ym，矩形的面積為Sm2.當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是(AA.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系2．(2021·臺(tái)州)以初速度v(單位：m/s)從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過(guò)程中，小球的高度h(單位：m)與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝vt－4.9t2.現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h1(如圖①)；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的最大高度為h2(如圖②).若h1＝2h2，則t1∶t2＝eq\r(2)．3．(2021·連云港)某快餐店銷售A，B兩種快餐，每份利潤(rùn)分別為12元，8元，每天賣出的份數(shù)分別為40份，80份．該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤(rùn)，同時(shí)提高每份B種快餐的利潤(rùn)．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤(rùn)每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤(rùn)每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多是1264元．4．(2021·深圳)某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬(wàn)元，銷售單價(jià)x(萬(wàn)元)與銷售量y(件)的關(guān)系如表所示：x(萬(wàn)元)10121416y(件)40302010(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？解：(1)由表格中數(shù)據(jù)可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝40，,12k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－5，,b＝90，))∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－5x＋90(2)設(shè)該產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為w，由題意，得w＝y(tǒng)(x－8)＝(－5x＋90)(x－8)＝－5x2＋130x－720＝－5(x－13)2＋125，∵－5＜0，∴當(dāng)x＝13時(shí)，w有最大值，最大值為125萬(wàn)元，答：當(dāng)銷售單價(jià)為13萬(wàn)元時(shí)，有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為125萬(wàn)元5．(2021·大連)某電商銷售某種商品一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y(單位：千克)和每千克的售價(jià)x(單位：元)滿足一次函數(shù)關(guān)系(如圖所示)，其中50≤x≤80.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若該種商品的成本為每千克40元，該電商如何定價(jià)才能使每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)設(shè)y＝kx＋b，將(50，100)，(80，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,80k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2x＋200(50≤x≤80)(2)設(shè)電商每天獲得的利潤(rùn)為w元，則w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∵－2＜0，且對(duì)稱軸是直線x＝70，50≤x≤80，∴當(dāng)x＝70時(shí)，w取得最大值為1800元，答：該電商售價(jià)為70元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1800元6．(2021·鄂州)為了實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農(nóng)民增加收入，市政府大力扶持農(nóng)戶發(fā)展種植業(yè)，每畝土地每年發(fā)放種植補(bǔ)貼120元．張遠(yuǎn)村老張計(jì)劃明年承租部分土地種植某種經(jīng)濟(jì)作物．考慮各種因素，預(yù)計(jì)明年每畝土地種植該作物的成本y(元)與種植面積x(畝)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)x＝160時(shí)，y＝840；當(dāng)x＝190時(shí)，y＝960.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量的取值范圍)；(2)受區(qū)域位置的限制，老張承租土地的面積不得超過(guò)240畝．若老張明年銷售該作物每畝的銷售額能達(dá)到2160元，當(dāng)種植面積為多少時(shí)，老張明年種植該作物的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(每畝種植利潤(rùn)＝每畝銷售額－每畝種植成本＋每畝種植補(bǔ)貼)解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0)，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(840＝160k＋b，,960＝190k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝200，))∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x＋200(2)設(shè)老張明年種植該作物的總利潤(rùn)為W元，依題意得：W＝[2160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2080x＝－4(x－260)2＋270400，∵－4＜0，∴當(dāng)x＜260時(shí)，W隨x的增大而增大，由題意知：x≤240，∴當(dāng)x＝240時(shí)，W有最大值，最大值為－4(240－260)2＋270400＝268800(元)，答：種植面積為240畝時(shí)總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是268800元7．(2021·荊門)某公司電商平臺(tái)，在2021年五一長(zhǎng)假期間，舉行了商品打折促銷活動(dòng)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y(件)是關(guān)于售價(jià)x(元/件)的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)W(元)的三組對(duì)應(yīng)值數(shù)據(jù).x407090y1809030W360045002100(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(2)若該商品進(jìn)價(jià)a(元/件)，售價(jià)x為多少時(shí)，周銷售利潤(rùn)W最大？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)；(3)因疫情期間，該商品進(jìn)價(jià)提高了m(元/件)(m＞0)，公司為回饋消費(fèi)者，規(guī)定該商品售價(jià)x不得超過(guò)55(元/件)，且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤(rùn)是4050元，求m的值．解：(1)設(shè)y＝kx＋b，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝180，,70k＋b＝90，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝300，))所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝－3x＋300(2)由(1)可得W＝(－3x＋300)(x－a)，又由表知，當(dāng)x＝40時(shí)，W＝3600，代入上式可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，∴a＝20，∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800，所以售價(jià)x＝60時(shí)，周銷售利潤(rùn)W最大，最大利潤(rùn)為4800元(3)由題意，得W＝－3(x－100)(x－20－m)(x≤55)，其對(duì)稱軸為直線x＝60＋eq\f(m,2)＞60，∴當(dāng)0＜x≤55時(shí)，W的值隨x增大而增大，∴只有當(dāng)x＝55時(shí)周銷售利潤(rùn)最大，∴4050＝－3(55－100)(55－20－m)，∴m＝58．(2021·金華)某游樂(lè)場(chǎng)的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－eq\f(1,6)(x－5)2＋6.(1)求雕塑高OA；(2)求落水點(diǎn)C，D之間的距離；(3)若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD.問(wèn)：頂部解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－eq\f(1,6)(0－5)2＋6＝eq\f(11,6)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，eq\f(11,6))，∴雕塑高eq\f(11,6)m(2)當(dāng)y＝0時(shí)，－eq\f(1,6)(x－5)2＋6＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝11，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(11，0)，∴OD＝11m．∵從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC＋OD＝22m(3)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝－eq\f(1,6)(10－5)2＋6＝eq\f(11,6)，∴點(diǎn)(10，eq\f(11,6))在拋物線y＝－eq\f(1,6)(x－5)2＋6上．又∵eq\f(11,6)≈1.83＞1.8，∴頂部F不會(huì)碰到水柱9．(2021·徐州)如圖，點(diǎn)A，B在y＝eq\f(1,4)x2的圖象上．已知A，B的橫坐標(biāo)分別為－2，4，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，連接OA，OB.(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；(2)求△AOB的面積；(3)若函數(shù)y＝eq\f(1,4)x2的圖象上存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△AOB的面積的一半，則這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)．解：(1)∵點(diǎn)A，B在y＝eq\f(1,4)x2的圖象上，A，B的橫坐標(biāo)分別為－2，4，∴A(－2，1)，B(4，4)，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k＋b＝1，,4k＋b＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝2，))∴直線AB的表達(dá)式為y＝eq\f(1,2)x＋2(2)在y＝eq\f(1,2)x＋2中，令x＝0，則y＝2，∴C的坐標(biāo)為(0，2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×4＝6(3)過(guò)OC的中點(diǎn)，作AB的平行線交拋物線兩個(gè)交點(diǎn)P1，P2，此時(shí)△P1AB的面積和△P2AB的面積等于△AOB的面積的一半，作直線P1P2關(guān)于直線AB的對(duì)稱直線，交拋物線兩個(gè)交點(diǎn)P3，P4，此時(shí)△P3AB的面積和△P4AB的面積等于△AOB的面積的一半，所以這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)，故答案為410．(2021·廣安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，連接AC，BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒eq\r(2)個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求b，c的值；(2)在P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－9＋3b＋c，,0＝－1－b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))(2)由(1)得：拋物線表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3，C(0，3)，A(3，0)，∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知：AP＝eq\r(2)t，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE＝PE＝eq\f(\r(2)t,\r(2))＝t，即E(3－t，0)，又Q(－1＋t，0)，∴S四邊形BCPQ＝S△ABC－S△APQ＝eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×[3－(－1＋t)]t＝eq\f(1,2)t2－2t＋6，∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，AB＝4，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t＝2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，即為eq\f(1,2)×22－2×2＋6＝4(3)∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線，與EP的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，∴∠MPF＋∠QPE＝90°，又∠MPF＋∠PMF＝90°，∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM和△QEP中，eq\b\lc