（信號與系統(tǒng)課程）第五章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析：第1講

第五章第1講1第五章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析拉普拉斯變換拉普拉斯反變換微分方程的變換解網(wǎng)絡(luò)的S域模型及分析任意信號輸入的響應(yīng)第五章第1講2傅里葉變換的問題傅里葉變換在分析信號的頻譜等方面是十分有效的，但在系統(tǒng)分析方面有不足之處：對時間函數(shù)限制嚴，是充分條件。不少函數(shù)不能直接按定義求，如增長的指數(shù)函數(shù)

eata>0，傅里葉變換就不存在。

不能解決零輸入響應(yīng)問題，只能解決零狀態(tài)響應(yīng)。求傅里葉反變換也比較麻煩。第五章第1講3§1拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換用e-tf(t)來保證傅里葉積分收斂令s=+j稱為復(fù)頻率稱為復(fù)傅里葉變換或雙邊拉普拉斯變換。也稱為象函數(shù)。稱為拉普拉斯反變換，也稱原函數(shù)。對于有始信號，稱為單邊拉普拉斯變換或拉普拉斯變換。稱為單邊拉氏反變換或拉氏反變換。簡記：f(t)

F(s)

記F(s)=[f(t)]記f(t)=-1[F(s)]第五章第1講4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系傅里葉變換和拉普拉斯變換是雙邊拉普拉斯變換的特殊情況，雙邊或單邊拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣。第五章第1講5拉氏變換與傅氏變換表示信號的差別第五章第1講6幾個基本函數(shù)的拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)f(t)=es0t(t)s0為復(fù)常數(shù)。即Re[s]＞Re[s0]令s0=

實數(shù)，則，Re[s]＞

令s0=j

虛數(shù)，則，Re[s]＞0單位階躍函數(shù)

(t)令上例中s0=0。則Re[s]＞0單位沖激函數(shù)

(t)Re[s]＞-∞第五章第1講7§2拉普拉斯變換的收斂域單邊拉普拉斯變換的收斂域若存在常數(shù)

1，使Re[s]=

＞

1則t

時，f

(t)e-t0故，收斂域為Re[s]=

＞

1，若存在兩個常數(shù)

1和

2，使得雙邊拉普拉斯變換的收斂域Re[s]＞

1Re[s]＜

2故，收斂域為

1＜Re[s]＜

2收斂域收斂域第五章第1講8例1求f(t)=e-a

t(t)的拉普拉斯變換，其中：a

>0

解：為保證收斂，有a+

＞0，故收斂域為

＞－a收斂域第五章第1講9例2求f(t)=-e-a

t(-t)的拉普拉斯變換，其中：a

>0

解：為保證收斂，有a+<0，故收斂域為<-a收斂域第五章第1講10例3求f(t)=e-

t(t)+e-2t(t)的拉普拉斯變換。

解：第一項的收斂域Re[s]＞－1，第二項的收斂域Re[s]＞－2，為保證收斂，取公共收斂域，其收斂域為Re[s]＞－1。收斂域第五章第1講11說明幾點f

(t)的拉普拉斯變換僅在收斂域內(nèi)存在，故求F(s)時應(yīng)指明其收斂域。在實際存在的有始信號，只要

取得足夠大，總是滿足絕對可積條件的。故單邊拉普拉斯變換一定存在。所以，單邊拉普拉斯變換一般不說明收斂域。兩個函數(shù)的拉普拉斯變換可能一樣，但時間函數(shù)(原函數(shù))相差很大。這主要區(qū)別在于收斂域。見例１和例２。如果拉普拉斯變換的收斂域不包括j

軸，那么傅里葉變換也不收斂。f

(t)的拉普拉斯變換存在多個收斂域時，取其公共部分（重疊部分）為其收斂域。第五章第1講12收斂域的若干特性f

(t)是有限長的，則收斂域是整個S平面，Re[s]＞－∞。f

(t)乘指數(shù)增長或指數(shù)衰減信號，因為時間有限，總是絕對可積的。故在整個Ｓ平面內(nèi)，f

(t)e-

t絕對可積。f

(t)為右邊信號，則收斂域是Re[s]＞

0，

0＞0若f

(t)e-

0t絕對可積，則

1＞

0；f

(t)e-

1t也絕對可積。因為當t-

時，e-

t增長。但當t<T1

時，f

(t)=0。故在Re[s]＞

0的區(qū)域內(nèi)，f

(t)e-

t絕對可積。收斂域第五章第1講13收斂域的若干特性f

(t)為左邊信號，則收斂域是

Re[s]＜

0，

0＜0。f

(t)為雙邊信號，則收斂域是S平面的一條帶狀區(qū)域。證明同上。若f

(t)e-

0t絕對可積，則

1<

0；f

(t)e-

1t也絕對可積。因為當t

時，e-

t增長。但當t>T2時，f

(t)=0。故在Re[s]<

0的區(qū)域內(nèi)，f

(t)e-

t絕對可積。收斂域第五章第1講14§3拉普拉斯變換的性質(zhì)返回第五章第1講15舉例例1余弦函數(shù)

f

(t)=cost·(t)應(yīng)用線性性質(zhì):例2正弦函數(shù)

f

(t)=sint·(t)應(yīng)用線性性質(zhì):例3單位斜坡函數(shù)

f

(t)=t(t)，因為：應(yīng)用頻域微分性質(zhì)查看性質(zhì)第五章第1講16舉例例4指數(shù)余弦函數(shù)

f

(t)=etcost·(t)應(yīng)用頻移性質(zhì):例5門函數(shù)（矩形波）

f

(t)=A[(t)-(t-T)]查看性質(zhì)第五章第1講17舉例例6任意周期函數(shù)

若f1(t)

F1(s),應(yīng)用時移性質(zhì):設(shè)

f1(t)為周期函數(shù)的第一周期，則周期函數(shù)可表示為：返回第五章第1講18舉例例7周期矩形波

f1(t)=

(t)-(t-1)，T=3例8沖激串

f

1(t)=(t)查看性質(zhì)第五章第1講19舉例例9鋸齒波

查看性質(zhì)方法一：用頻域微分性質(zhì)：方法二：用時域微分性質(zhì)：第五章第1講20舉例例10

查看性質(zhì)方法二：方法一：因為用頻域微分性質(zhì)：應(yīng)用頻移性質(zhì)：應(yīng)用時移性質(zhì)：應(yīng)用頻域微分性質(zhì)：第五章第1講21舉例例10

查看性質(zhì)方法三：應(yīng)用頻移性質(zhì)：應(yīng)用時移性質(zhì)：第五章第1講22舉