醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)及SAS應(yīng)用：第四章 總體均數(shù)的估計(jì)和t檢驗(yàn)

第四章總體均數(shù)的估計(jì)和t檢驗(yàn)

2

從總體中隨機(jī)抽取部分觀察單位形成樣本的過(guò)程稱為抽樣。

利用樣本信息推斷總體特征的研究稱為抽樣研究

抽樣的目的是樣本信息推斷總體特征總體樣本

參數(shù)(、)統(tǒng)計(jì)量3樣本1樣本2樣本3樣本k抽樣研究…………………45抽樣誤差（samplingerror)

指由于抽樣本身的隨機(jī)性而導(dǎo)致的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體指標(biāo)之間的差異。

由于生物間的個(gè)體差異是客觀存在的，因此在抽樣研究中抽樣誤差無(wú)法避免。數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究表明,抽樣誤差遵循一定的規(guī)律并可以控制。6第一節(jié)總體均數(shù)的估計(jì)一、標(biāo)準(zhǔn)誤1.均數(shù)的抽樣誤差：

從同一總體中隨機(jī)抽取樣本含量相等的若干個(gè)樣本，得到若干個(gè)樣本均數(shù)，這些樣本均數(shù)不完全相等，并且與總體均數(shù)也存在差異。由于抽樣而產(chǎn)生的樣本均數(shù)和總體均數(shù)間的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差7標(biāo)準(zhǔn)誤（standarderror，SE）：樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)誤小，表示抽樣誤差小，統(tǒng)計(jì)量較穩(wěn)定，與所估計(jì)的參數(shù)較接近。

均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤（standarderrorofmean）：樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映來(lái)自同一總體的樣本均數(shù)的離散程度,即均數(shù)的抽樣誤差大小。8均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算：均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的用途

衡量樣本均數(shù)的可靠性；

估計(jì)總體均數(shù)的可信區(qū)間；

用于均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。（估計(jì)值）通過(guò)增加樣本例數(shù)來(lái)減少標(biāo)準(zhǔn)誤，降低抽樣誤差9標(biāo)準(zhǔn)差：描述某總體或樣本內(nèi)部個(gè)體值的變異標(biāo)準(zhǔn)誤：描述樣本統(tǒng)計(jì)量的變異標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差除了均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤外，還有率的標(biāo)準(zhǔn)誤，回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤等。通常用“均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差”：表示一組數(shù)據(jù)的平均水平和離散程度。有時(shí)用“均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)誤”：表達(dá)樣本均數(shù)及其離散程度。

——必須注明以免誤解。區(qū)別意義描述原始數(shù)據(jù)的離散程度，衡量均數(shù)對(duì)原始數(shù)據(jù)的代表性

反映抽樣誤差的大小，衡量樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)的可靠性

計(jì)算直接法、加權(quán)法

與均數(shù)的關(guān)系s越小，對(duì)樣本數(shù)據(jù)的代表性好

越小，估計(jì)

的可靠性大

與n的關(guān)系n→∞，s→

n→∞，→0應(yīng)用表示觀察值波動(dòng)的大小

表示抽樣誤差的大小

用于計(jì)算變異系數(shù)

用于均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤

結(jié)合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計(jì)參考值范圍結(jié)合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計(jì)參數(shù)的可信區(qū)間區(qū)別11總體均數(shù)μ的估計(jì)包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì):點(diǎn)估計(jì)：用樣本均數(shù)來(lái)估計(jì)總體均數(shù)。區(qū)間估計(jì)：按一定的概率估計(jì)總體均數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)，這個(gè)范圍稱為可信區(qū)間（或置信區(qū)間）這個(gè)概率稱為可信度（或置信度），用1-α表示，常取95%或99%。

二、總體均數(shù)的估計(jì)1-aa/2a/2Pa/2P1-a/212正態(tài)曲線下的面積規(guī)律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%13中心極限定理當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n>30)，樣本均數(shù)的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均數(shù)為

，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均數(shù)的抽樣分布近似服從均數(shù)為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體X14落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本X95%的樣本

-1.96

x

+1.96

xX=

1.96

x2.5%2.5%

=X

1.96

x15總體均值的置信區(qū)間

(

２已知)1.假定條件

總體服從正態(tài)分布,且總體方差（

２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來(lái)近似(n>30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量u3.總體均值

在95%置信水平下的置信區(qū)間為16總體均值的置信區(qū)間

(

２未知)1.假定條件

總體方差（

２）未知總體必須服從正態(tài)分布2.使用t分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值

在95%置信水平下的置信區(qū)間為)1(~--=ntnsxtm)1(~--=ntnsxtm17m均數(shù)抽樣分布呈一般正態(tài)分布

=1u標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(df=∞)t(df=13)t(df=5)u18

095%19總體均數(shù)的95%可信區(qū)間為：

例4.2隨機(jī)抽樣調(diào)查了某市120名4歲男童的身高(cm)，得到這120名4歲男童的平均身高為104.89cm，標(biāo)準(zhǔn)差為3.54cm，求該地區(qū)4歲男童身高總體均數(shù)的95%可信區(qū)間。n=120，=104.89，s=3.54，==0.32自由度ν=n-1=119，查t界值表得20可信區(qū)間的兩個(gè)要素可信區(qū)間的準(zhǔn)確度：表現(xiàn)為可信度（1-

）的大小，即區(qū)間包含總體均數(shù)的概率大小，可信區(qū)間的精度：表現(xiàn)為區(qū)間的長(zhǎng)度正確理解可信區(qū)間的涵義

可信區(qū)間一旦形成，它要么包含總體參數(shù)，要么不包含總體參數(shù)，二者必居其一，無(wú)概率可言。所謂95％的可信度是針對(duì)可信區(qū)間的構(gòu)建方法而言的。

以均數(shù)的可信區(qū)間為例，其涵義是：如果重復(fù)100次抽樣，每次樣本含量均為n，每個(gè)樣本均按構(gòu)建可信區(qū)間，則在此100個(gè)可信區(qū)間內(nèi)，理論上有95個(gè)包含總體均數(shù)，而有5個(gè)不包含總體均數(shù)。

圖4.1100個(gè)來(lái)自N(0,1)的樣本所估計(jì)的可信區(qū)間示意

95％可信區(qū)間99％可信區(qū)間

公式區(qū)間范圍

窄寬

估計(jì)錯(cuò)誤的概率大（0.05）?。?.01）例題程序ch4_1procmeansdata=shgnmeanstdclm;varx;run;Procmeansdata=shgnmeanstdclmalpha=0.01;varx;run;選擇項(xiàng)clm表示要計(jì)算總體均數(shù)的可信區(qū)間可信區(qū)間的可信水平α可用選擇項(xiàng)alpha=α規(guī)定

第二節(jié)t檢驗(yàn)?zāi)康模和茢鄻颖舅淼奈粗傮w均數(shù)與已知總體均數(shù)是否相等。假設(shè)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：一.樣本均數(shù)和總體均數(shù)比較的t檢驗(yàn)26求得t值后，據(jù)ν查t臨界值表得t0.05/2，進(jìn)行比較:樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的t檢驗(yàn)

如果，t＜t0.05/2,ν

，則P＞0.05，不拒絕H0。樣本均數(shù)和μ0的差別無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。 如果，

t≥t0.05/2,ν

，則P≤

0.05，在α=0.05水平上拒絕H0，樣本均數(shù)和μ0的差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。認(rèn)為該樣本并非來(lái)自均數(shù)為μ0的總體。27

例4.3據(jù)大量調(diào)查，健康成年男子脈搏的均數(shù)為72次/分，某醫(yī)生在某山區(qū)隨機(jī)調(diào)查了25名健康成年男子，得其脈搏均數(shù)為74.2次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.5次/分，能否據(jù)此認(rèn)為該山區(qū)成年男子的脈搏均數(shù)高于一般人群？總體均數(shù)

=72次/分

樣本均數(shù)由于抽樣誤差所致？由于環(huán)境條件的影響？28建立假設(shè)

(在假設(shè)的前提下有規(guī)律可循)

零假設(shè)(nullhypothesis)，記為H0

H0：

＝72備擇假設(shè)(alternativehypothesis)，記為H1H1：

>72根據(jù)專業(yè)知識(shí),山區(qū)成年男子的脈搏數(shù)一般不會(huì)低于正常人29其中H0假設(shè)比較單純、明確，在H0下若能弄清抽樣誤差的分布規(guī)律，便有規(guī)律可循。而H1假設(shè)包含的情況比較復(fù)雜。因此，我們著重考察樣本信息是否支持H0假設(shè)（因?yàn)閱螒{一份樣本資料不可能去證明哪個(gè)假設(shè)是正確的，哪一個(gè)不正確）。

30選定檢驗(yàn)方法計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算樣本與總體的偏離)統(tǒng)計(jì)量t表示，在標(biāo)準(zhǔn)誤的尺度下，樣本均數(shù)與總體均數(shù)

0的偏離。這種偏離稱為標(biāo)準(zhǔn)t離差。31根據(jù)抽樣誤差理論，在H0假設(shè)前提下，統(tǒng)計(jì)量t服從自由度為n-1的t分布，即t值在0的附近的可能性大，遠(yuǎn)離0的可能性小，離0越遠(yuǎn)可能性越小。t值越小，越利于H0假設(shè)

t值越大，越不利于H0假設(shè)自由度：25-1=2432計(jì)算概率P(與統(tǒng)計(jì)量t值對(duì)應(yīng)的概率)

在H0成立的前提下，獲得現(xiàn)有這么大的標(biāo)準(zhǔn)t離差以及更大離差的可能性。P=P(t≥1.692)

33單側(cè)t0.05,24=1.71101.7115%

=24P=P(t>1.692)>0.05本研究樣本得到的t（1.692）34確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

(確定最大允許誤差)

設(shè)定檢驗(yàn)水準(zhǔn)的目的就是確定拒絕假設(shè)H0時(shí)的最大允許誤差。醫(yī)學(xué)研究中一般取

=0.05。檢驗(yàn)水準(zhǔn)實(shí)際上確定了小概率事件的判斷標(biāo)準(zhǔn)。35

結(jié)論(根據(jù)小概率原理作出推斷)

在H0成立的前提下出現(xiàn)現(xiàn)有差別或更大差別的可能性是否小于檢驗(yàn)水準(zhǔn)，如小于，則是小概率事件，即現(xiàn)有樣本信息不支持H0。抉擇的標(biāo)準(zhǔn)為：當(dāng)P≤

時(shí)，拒絕H0，接受H1

當(dāng)P＞

時(shí)，不拒絕H0

本例P＞0.05，按

=0.05的水準(zhǔn)，不能拒絕H0，差別無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。36假設(shè)檢驗(yàn)的意義從樣本得到關(guān)于總體的結(jié)論如本例假設(shè)檢驗(yàn)的意義在于分辨手頭樣本所代表的未知總體和已知總體是否為同一總體，換句話說(shuō)，即分辨手頭樣本是否為已知總體的一個(gè)隨機(jī)樣本。37假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想“反證法”的思想先根據(jù)研究目的建立假設(shè)，從H0假設(shè)出發(fā)，先假設(shè)它是正確的，再分析樣本提供的信息是否與H0有較大矛盾，即是否支持H0，若樣本信息不支持H0，便拒絕之并接受H1,否則不拒絕H0

。38假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟

建立假設(shè)確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算概率P

結(jié)論

當(dāng)P≤

時(shí)，拒絕H0，接受H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。當(dāng)P＞

時(shí)，不拒絕H0，差別尚無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。不論拒絕H0，還是不拒絕H0都可能犯錯(cuò)誤。39解：H0:μ=72H1:μ>72

ν=25-1=24現(xiàn)t=1.692＜單側(cè)t0.05，24=1.711，故P＞0.05。所以按=0.05水準(zhǔn)不拒絕H0，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，根據(jù)現(xiàn)有樣本的信息，尚不能認(rèn)為該山區(qū)健康成年男子的脈搏均數(shù)高于一般健康成年男子的脈搏均數(shù)。

=0.05(單側(cè))40二.配對(duì)t檢驗(yàn)(PairedtTest)醫(yī)學(xué)科研中配對(duì)資料的三種主要類型：按性質(zhì)相近配對(duì)，配對(duì)的兩個(gè)受試對(duì)象分別給予兩種處理；同源配對(duì)，同一受試對(duì)象或同一樣品的兩個(gè)部分分別給予兩種處理，推斷兩種處理的效果有無(wú)差別；自身配對(duì)，同一受試對(duì)象治療前后某些生理、生化指標(biāo)的比較，推斷該處理有無(wú)作用。配對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)得到的資料稱為配對(duì)資料。

41表4.1不同飼料組大白鼠肝中維生素A含量（IU/g）按性質(zhì)相近配對(duì)(大白鼠對(duì)號(hào)⑴正常飼料組⑵維生素E缺乏組⑶差值d⑷=⑵-⑶d2⑸13550245011001210000220002400-4001600003300018001200144000043950320075056250053800325055030250063750270010501102500734502500950902500830501750130016900009335021001250156250010365025501100121000088501014250042表4.2兩種方法測(cè)定14份血清樣品Mg2+（mmol/L）結(jié)果血清樣品號(hào)⑴葡萄糖激酶兩點(diǎn)法⑵甲基百里酚藍(lán)法⑶10.850.8421.021.0131.131.1341.081.0650.920.9261.171.1671.221.2381.061.0791.141.14100.980.98111.251.24121.111.11131.231.23141.101.10同源配對(duì)43表4.3康復(fù)療法治療前后的癌癥患者生命質(zhì)量得分患者號(hào)⑴治療后⑵治療前⑶170.5564.29288.6064.07368.4445.88461.6445.23564.7350.40674.6861.59769.1551.85860.5160.13965.5964.291069.0451.93自身配對(duì)44假設(shè)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：45

例4.5

某單位研究飲食中缺乏維生素E與肝中維生素A含量的關(guān)系，將同種屬的大白鼠按性別相同、年齡、體重相近者配成10對(duì)后，將每對(duì)中的兩只大白鼠隨機(jī)分到正常飼料組和維生素E缺乏組，過(guò)一定時(shí)期將大白鼠殺死，測(cè)其肝中維生素A的含量，結(jié)果見(jiàn)表4.1第⑴～⑶欄。問(wèn)兩組大白鼠肝中維生素A的含量有無(wú)差別？46解：H0:μd=0,即兩組大白鼠肝中維生素A含量相同

H1:μd≠0,即兩組大白鼠肝中維生素A含量不同

α=0.05

=8850/10=885,=506.65

查t界值表,df=9時(shí),t0.05/2,9=2.262

現(xiàn)t>t0.05/2,9,故P＜0.05,所以按=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可認(rèn)為兩組大白鼠肝中維生素A的含量不同，即維生素E缺乏對(duì)大白鼠肝中維生素A的含量有影響。47三.成組設(shè)計(jì)的兩樣本均數(shù)比較的t檢驗(yàn)

也稱為團(tuán)體t檢驗(yàn)（GroupedtTest）按完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)的兩個(gè)樣本均數(shù)比較比較的目的是它們各自所代表的總體是

否具有相同的均數(shù)其假設(shè)檢驗(yàn)為H0:μ1=μ2，H1:μ1≠μ2

48兩個(gè)獨(dú)立樣本之差的抽樣分布m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量n1計(jì)算X1抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量n2計(jì)算X2計(jì)算每一對(duì)樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布第四節(jié)團(tuán)體t檢驗(yàn)

H0:μ1-μ2=0492.大樣本時(shí)，用各自方差估計(jì)法：t檢驗(yàn)公式:(自由度:df=n1+n2-2)分母：兩樣本之差的標(biāo)準(zhǔn)誤1.小樣本時(shí)，用合并方差估計(jì)法：50例4.8

為研究某種治療兒童貧血新藥的療效，以常規(guī)藥作為對(duì)照，將30名貧血的兒童隨機(jī)分到新藥組和常規(guī)藥組，每組15名，分別接受兩種藥物治療，過(guò)一定時(shí)期測(cè)量他們血紅蛋白的增加量（g/L），結(jié)果見(jiàn)表4.4。

問(wèn)兩組貧血兒童的血紅蛋白的增加量是否相同？

新藥組常規(guī)藥組血紅蛋白增加量

x1血紅蛋白增加量

x2266762144132102423529256251832422484245762040023529287841936124576162561936122484298412040017289256253411562352921441172892040015225235292667627729224843679315314672851H0：

1=2，即新藥組與常規(guī)藥組兒童的血紅蛋白增加量均數(shù)相同H1：1

2，即新藥組與常規(guī)藥組兒童的血紅蛋白增加量均數(shù)不同

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可認(rèn)為新藥組與常規(guī)藥組兒童的血紅蛋白增加量均數(shù)不同，新藥的療效比常規(guī)藥的療效好。521.樣本均數(shù)和總體均數(shù)比較的t檢驗(yàn)：樣本來(lái)自正態(tài)分布的總體。2.配對(duì)t檢驗(yàn)：差值的總體為正態(tài)分布。3.團(tuán)體t檢驗(yàn)：

1）兩個(gè)樣本都來(lái)自正態(tài)分布的總體。

2）兩個(gè)總體方差相等。t檢驗(yàn)的條件53t檢驗(yàn)條件不滿足時(shí)的對(duì)策1.進(jìn)行變量變換，如對(duì)數(shù)變換，變換成正態(tài)分布后再進(jìn)行t檢驗(yàn)。2.用非參數(shù)檢驗(yàn)的方法。3.兩樣本比較的t檢驗(yàn)時(shí)，如正態(tài)分布但方差不齊，可用t’檢驗(yàn)。54

變量變換

服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的資料可用對(duì)數(shù)變換

y=log(x)服從泊松分布的資料可用平方根變換

y=

表達(dá)成百分?jǐn)?shù)的資料可用平方根反正弦變換

y=

55

第三節(jié)方差齊性檢驗(yàn)和t’檢驗(yàn)

方差齊性檢驗(yàn)(TestforHomogeneityofVariance)

兩個(gè)均數(shù)比較的t檢驗(yàn)，其中重要前提是兩個(gè)樣本所代表的總體具有相同的方差56兩個(gè)方差齊性檢驗(yàn)

H0：，即兩總體的方差相等

H1：，即兩總體的方差不等

F檢驗(yàn)：

s12：為較大樣本方差，

1為其自由度

s22：為較小樣本方差，

2為其自由度

方差齊性檢驗(yàn)(TestforHomogeneityofVariance)

第三節(jié)方差齊性檢驗(yàn)和t’檢驗(yàn)57自由度值有2個(gè)，分別為分子的自由度與分母的自由度。據(jù)分子，分母的自由度查方差齊性檢驗(yàn)專用的F界值（附表四，P428）得：F0.05

，F(xiàn)0.01值

如果F＜F0.05，則P＞0.05，不拒絕H0；如果F≥F0.05

，則P≤0.05，在α=0.05水平上，拒絕H0；58t’檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：界值結(jié)論59第四節(jié)正態(tài)性檢驗(yàn)（normalitytest）統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：偏度系數(shù)、峰度系數(shù)；檢驗(yàn)法:W檢驗(yàn)(3<n<50)、D檢驗(yàn)(50<n<1000)、矩法（對(duì)偏度系數(shù)和峰度系數(shù)進(jìn)行U檢驗(yàn)）等統(tǒng)計(jì)圖：P-P圖、Q-Q圖、直方圖、莖葉圖、箱圖等

60假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)注意的問(wèn)題

1.

要有嚴(yán)密的研究設(shè)計(jì)，組間要具有可比性要保證樣本是從同質(zhì)總體中隨機(jī)抽取。除了對(duì)比的因素外，其它影響結(jié)果的因素應(yīng)一致。

2．選用的假設(shè)檢驗(yàn)方法應(yīng)符合其應(yīng)用條件要了解變量的類型是計(jì)量的還是計(jì)數(shù)的，設(shè)計(jì)類型是配對(duì)設(shè)計(jì)還是成組設(shè)計(jì)，是大樣本還是小樣本。613.正確理解差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)意義差別有統(tǒng)計(jì)意義，指我們有很大的把握認(rèn)為原假設(shè)不正確，并非是說(shuō)它們有較大的差別。差別無(wú)統(tǒng)計(jì)意義，我們只是認(rèn)為以很大的把握拒絕原假設(shè)的理由還不夠充分，并不意味著我們很相信它。4.結(jié)論不能絕對(duì)化

結(jié)論具有概率性，并受抽樣誤差大小、檢驗(yàn)水平高低、單/雙側(cè)檢驗(yàn)的影響。5.統(tǒng)計(jì)學(xué)意義和顯著性的意義不同例題程序ch4_2datamb;inputx@@;d=x-72;cards;747368757582806972748372717476796773817067707869707267748066;procmeansdata=mbmeanstdstderrtprt;varxd;run;例題程序ch4_3datava;inputzhchquefa@@;d=zhch-quefa;cards;35502450200024003000