2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第2章函數(shù)第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用 學(xué)案

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考試要求：1．在實(shí)際情景中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律．2．結(jié)合現(xiàn)實(shí)情景中的具體問題，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)含義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．常見的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k(3)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)．(4)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(5)指數(shù)型函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)．(6)對數(shù)型函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)．(7)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)．(8)“對勾”函數(shù)模型：y＝x＋ax1．不要忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果的合理性．2．對于函數(shù)f(x)＝x＋ax(a>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在x＝a處取得最小值2a；當(dāng)x<0時(shí)，在x＝－a處取得最大值－2a2．指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長先快后慢，其增長速度緩慢．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)冪函數(shù)增長比直線增長更快． (×)(2)不存在x0，使ax0<x0n<logax(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>1)的增長速度． (√)(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻． (×)2．下列函數(shù)中，隨x的增大，y的增長速度最快的是()A．y＝0.001ex B．y＝1000lnxC．y＝x1000 D．y＝1000·2xA解析：在對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快，排除B，C；指數(shù)函數(shù)中，底數(shù)越大，函數(shù)增長速度越快．故選A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，易知增長速度由大到小依次為g(x)＞f(x)＞h(x)．故選B.4．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD解析：根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.5．用長度為24的材料圍成一個(gè)矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_________．3解析：設(shè)隔墻的長度為x(0<x<6)，矩形的面積為y，則y＝x·24-4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x考點(diǎn)1利用函數(shù)的圖象刻畫實(shí)際問題——基礎(chǔ)性1．如圖，一個(gè)高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一個(gè)排水小孔，當(dāng)小孔打開時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T.若魚缸水深為h時(shí)，水流出所用時(shí)間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是()B解析：函數(shù)h＝f(t)是關(guān)于t的減函數(shù)，故排除C，D；開始時(shí)，h隨著時(shí)間的變化，變化緩慢，水排出超過一半時(shí)，h隨著時(shí)間的變化，變化加快，故對應(yīng)的圖象為B.故選B.2．有一個(gè)盛水的容器，由懸在它上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時(shí)間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示．若圖中PQ為一線段，則與之對應(yīng)的容器的形狀是()B解析：由函數(shù)圖象可判斷出該容器的形狀不規(guī)則，又函數(shù)圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì)．再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故選B.3．(多選題)(2022·北京東城區(qū)模擬)某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為y，觀影人數(shù)記為x，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖(1)所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖(2)、圖(3)中的實(shí)線分別為調(diào)整后y關(guān)于x的函數(shù)圖象．給出下列四種說法，其中正確的是()A．圖(2)對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖(2)對應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖(3)對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖(3)對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本BC解析：由題圖(1)可設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)為y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k為票價(jià)，當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，則－b為固定成本．由題圖(2)知，直線向上平移，k不變，即票價(jià)不變，b變大，則－b變小，固定成本減小，故A錯(cuò)誤，B正確；由題圖(3)知，直線與y軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即k變大，票價(jià)提高，b不變，即－b不變，固定成本不變，故C正確，D錯(cuò)誤．4．某人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)繪制了從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(單位：千克)隨時(shí)間x(單位：天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．1909解析：前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系．設(shè)為y＝kx＋b.將點(diǎn)(1，10)和點(diǎn)(10，30)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得10=k+b，30=10k+b，解得k＝209，b＝709，所以y＝209x＋1．解決這類問題一般要根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象，并結(jié)合五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)來求解．2．有些題目，如第3題，根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證答案是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．考點(diǎn)2已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題——綜合性汽車急剎車的停車距離與諸多因素有關(guān)，其中最為關(guān)鍵的兩個(gè)因素是駕駛員的反應(yīng)時(shí)間和汽車行駛的速度．設(shè)d表示停車距離，d1表示反應(yīng)距離，d2表示制動(dòng)距離，則d＝d1＋d2.如圖是根據(jù)美國公路局公布的試驗(yàn)數(shù)據(jù)制作的停車距離示意圖．序號速度(km/h)停車距離14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由圖中數(shù)據(jù)得到如表的表格，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，建立停車距離與汽車速度的函數(shù)模型．可選擇模型①：d＝av＋b；模型②：d＝av2＋bv；模型③：d＝av＋bv；模型④：d＝av2＋bv(其中v為汽車速度，a，A．d＝av＋bB．d＝av2＋bvC．d＝av＋bD．d＝av2＋bB解析：若選擇模型①，則60a+b=35.7，100a+b=85.4，解得a故d＝1.2425v－38.85.當(dāng)v＝120時(shí)，停車距離d的預(yù)測值為1.2425×120－38.85＝110.25.若選擇模型②，則3600a+60b=35.7，10000a+100b=85.4，解得故d＝0.006475v2＋0.2065v.當(dāng)v＝120時(shí)，停車距離d的預(yù)測值為0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若選擇模型③，則60a+b60=35.7，100a+故d＝0.9996875v－1456.875v當(dāng)v＝120時(shí)，停車距離d的預(yù)測值為0.9996875×120－1456.875120若選擇模型④，則3600a+b60=35.7，10000a+b100故d＝15.9951960v2＋379.2857143當(dāng)v＝120時(shí)，停車距離d的預(yù)測值為15.9951960×1202＋379.2857143由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知當(dāng)v＝120時(shí)，停車距離為118m．模型②的預(yù)測值更接近118m，故模型②擬合效果最好．解函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答．讀題1．某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費(fèi)f(x)(單位：元)滿足關(guān)系f(x)＝C，月份用氣量煤氣費(fèi)1月份4m34元2月份25m314元3月份35m319元若4月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A解析：根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0<x≤52．某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤低于10%時(shí)，該企業(yè)考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來年利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2018201920202021…投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系；(2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型．解：(1)將(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得1=3k+b，2=5k+b所以y＝12x－1當(dāng)x＝9時(shí)，y＝4，不符合題意．將(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0且b≠1)，得1=ab3所以y＝24·(2)x＝2當(dāng)x＝9時(shí)，y＝29將(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)，得1=loga所以y＝log2(x－1)．當(dāng)x＝9時(shí)，y＝log28＝3；當(dāng)x＝17時(shí)，y＝log216＝4.故可用③來描述x，y之間的關(guān)系．(2)令log2(x－1)＞6，則x＞65.因?yàn)槟昀麧?65考點(diǎn)3構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題——應(yīng)用性考向1二次函數(shù)、分段函數(shù)模型某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？解：(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因?yàn)閤為整數(shù)，所以3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x＞6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結(jié)合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50x(2)對于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185.對于y＝－3x2＋68x－115＝－3x-3432＋8113，6＜x當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.因?yàn)?70＞185，所以當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．解決分段函數(shù)模型問題的注意點(diǎn)(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成．如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)模型時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值中的最大(最小)者．考向2指數(shù)(對數(shù))函數(shù)模型(1)某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入．若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年B解析：若2018年是第一年，則第n年科研費(fèi)為1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過2000萬元．故選B.(2)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在病毒感染初始階段，可以用指數(shù)模型I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在病毒感染初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天B解析：因?yàn)镽0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28-16＝0.38，所以I(t)＝ert＝e設(shè)在病毒感染初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為t1天，則e0.38t＋t1＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)要先學(xué)會(huì)合理選擇模型．指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題．1．某位股民買入某只股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了3次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A．略有盈利B．無法判斷盈虧情況C．沒有盈利也沒有虧損D．略有虧損D解析：設(shè)買入股票時(shí)的價(jià)格為m(m>0)元．先經(jīng)歷了3次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%)后的價(jià)格為m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為略有虧損．故選D.2．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A．10.5萬元 B．11萬元C．43萬元 D．43.025萬元C解析：設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x(0≤x≤16且x∈N)輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·x-21因?yàn)閤∈[0，16]且x∈N，所以當(dāng)x＝10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元．3．一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．16解析：當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a；當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae-8b＝12a.故e-8b＝1當(dāng)容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，則課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(十四)A組全考點(diǎn)鞏固練1．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)圖象為()D解析：y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C.又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，排除B.故選D.2．氣象學(xué)院用32萬元購置了一臺(tái)天文觀測儀，已知這臺(tái)觀測儀從啟動(dòng)的第1天開始連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“報(bào)廢最合算”(所謂“報(bào)廢最合算”是指使用的這臺(tái)儀器平均每天耗資最少)為止，則一共要使用()A．300天 B．400天C．600天 D．800天B解析：使用n天的平均耗資為320000+50+4n+46n2n＝320000n+2n+48元，當(dāng)且僅當(dāng)3．(2023·濟(jì)南月考)某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進(jìn)出水量為k立方米．已知污染源以每天r個(gè)單位污染河水，某一時(shí)段t(單位：天)，河水污染質(zhì)量指數(shù)m(t)(每立方米河水所含的污染物)滿足m(t)＝rk+m0A．1個(gè)月 B．3個(gè)月C．半年 D．1年C解析：由題意可知，m(t)＝m0e-1則e-180t＝0.1，即－1則要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，需要的時(shí)間大約是184天，即半年．故選C.4．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D解析：設(shè)毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當(dāng)p∈(0，30)時(shí)，L′(p)>0；當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，L′(p)<0.故L(p)在p＝30時(shí)取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)＝23000.5．某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%.若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少138解析：設(shè)至少過濾n次才能達(dá)到市場要求，則2%×1-13n≤0.1%，即23n≤1206．我們經(jīng)常聽到這樣一種說法：一張紙經(jīng)過一定次數(shù)對折之后厚度能超過地月距離．但實(shí)際上，因?yàn)榧垙埍旧碛泻穸龋覀儾⒉荒軐⒓垙垷o限次對折，當(dāng)厚度超過紙張的長邊時(shí)，便不能繼續(xù)對折了，一張長邊為w，厚度為x的矩形紙張沿兩個(gè)方向不斷對折，則經(jīng)過兩次對折，長邊變?yōu)?2w，厚度變?yōu)?x，在理想情況下，對折次數(shù)n有下列關(guān)系：n≤23·log2wx8解析：由題知n≤23log24200＝23log因?yàn)閘og210＝1lg2≈10.3，0<log22120<1，所以n≤8＋23logB組新高考培優(yōu)練7．(2022·聊城一模)“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識日益增強(qiáng)．某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%.當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么在排放前需要過濾的次數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.477)A．5 B．7C．8 D．9C解析：設(shè)該污染物排放前過濾的次數(shù)為n(n∈N*)，由題意1.2×0.8n≤0.2，即54兩邊取以10為底的對數(shù)可得lg54即nlg5×28≥lg2＋lg3，所以n因?yàn)閘g2≈0.3，lg3≈0.477，所以lg2+lg所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，即該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為8次．故選C.8．(多選題)(2022·濟(jì)南月考)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，它們行走的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>1時(shí)，甲走在最前面B．當(dāng)x>1時(shí)，乙走在最前面C．當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最后面D．如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲CD解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x