14比值或作差代換-解析版

第14講比值或作差代換知識與方法本節(jié)我們來重新審視極值點偏移問題,并給出新的解題方法,極值點偏移問題的一般形式是:已知函數(shù)的極值點為m,兩相異實數(shù)b,c滿足f(a)=f(b),求證a比值代換一般步驟:(1)根據(jù)fx(2)等量關系中如果含有參數(shù),可考慮消參;如果含有指數(shù)式,可考慮兩邊取對數(shù).(3)令x2x1=t典型例題【例1】已知函數(shù)f((1)求函數(shù)f((2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=1【解析】(1)f'(x)=(1?x)e?xx(?∞,1)1(1,+∞)f+0?f↗極大值↘所以f(x)在(?∞,1)內(nèi)是增函數(shù),在(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)f(x)在證明:由題意可知g(x)=f(2?x),得g(x)=(2?x)ex?2,令F(x)=f(x)?g(x),即F(x)(3)證明:【解法1】①若x1?1x2?1=0,由(1)及②若x1?1x2?1>0,由(1)及根據(jù)①②得x1?1x由(2)可知,fx2>gx2,則gx2=又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,1)即x1【解法2】由fx1=fx不妨設x2>x令t=x2?x1,則t+t=2tet?1+et構造函數(shù)G(t)=2故G'(t)在從而G(t)也在t【例2】已知函數(shù)f(x)=x?【解析】證明:f'(x)=1?aex因此x1?x要證明x1+x2>2不妨設x1>x2,記t=即(t?2)et+記m(t)=(t?1)et所以m(t)>m(0)=?1,即t>0時(t【例3】已知函數(shù)f（x）＝lnx?ax，a為常數(shù).(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與(2)當a=1時,試比較f(m(3)若函數(shù)f(x)有兩個零點x【解析】(1)由f(x)=ln?x?ax,得:f'(x)=1(2)當a=1時,f(x)=ln?x?x,∴f令?(則?'又∵?①當0<m<1時,?(②當m=1時,?(m③當m>1時,?(m(3)證明：【解法1】∵函數(shù)f(x)∴l(xiāng)n?x∴l(xiāng)n?x1?ln?x∴即證a>2x即證:ln?x1x2>2x1?x2∴l(xiāng)n?t>2(【解法2】直接換元構造新函數(shù):a=ln?x則x2反解出:ln?x故x1設g(t)=ln?增,又∵g(1)=0,∴g【例4】已知函數(shù)f(（1）若f(x)在點e2,(2)若方程f(x)=1有兩個不相等的實數(shù)解x【解析】(1)f'(x)=a(ln?x?1)ln2?x.∴f'e2∵x1+即證ln?x1+ln?即證ln?x1x2>2x1?x2【例5】已知函數(shù)f(x)=ln?xx+(1)試比較20162017與2017(2)若函數(shù)g(x)=f(【解析】(1)函數(shù)f(所以f'(1)=1+可得f'(1)=1,即11+此時f(令f'(x)>0,即令f'(x)<0,即所以f(x)的增區(qū)間為(0,e),減區(qū)間為(e,+∞).所以f2017ln?2016>2016ln?2017,即有20162017(2)證明:不妨設x1>x所以