數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型及解題方法

..數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與解題方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底．高考對(duì)本章的考察比擬全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考察每年都不會(huì)遺漏．有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起．探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)．本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考察函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等根本數(shù)學(xué)方法．?dāng)?shù)列這一章的主要章節(jié)構(gòu)造為：近幾年來(lái)，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面：〔1〕數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式．〔2〕數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合．〔3〕數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要是以增長(zhǎng)率問(wèn)題為主．試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以根底題為主，解答題大都以根底題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大．題型1數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式在我們的教材中，有這樣的題目：1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)．3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)．1、2、3、．練習(xí)例1.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是以下各數(shù)：例2.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：例3:寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：題型2由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1、數(shù)列的前項(xiàng)和，那么．2、數(shù)列的前項(xiàng)和，那么3、設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)的和Sn=〔an-1〕(n)．(Ⅰ)求a1；a2；(Ⅱ)求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列．4、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3·2n-3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n2+3n+2，求通項(xiàng)an的表達(dá)式，并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列.6、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．7、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．〔Ⅰ〕寫(xiě)出求數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1,a2,a3；〔Ⅱ〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅲ〕證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4，有.7、解：⑴當(dāng)n=1時(shí),有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；當(dāng)n=2時(shí),有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a當(dāng)n=3時(shí),有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由得：化簡(jiǎn)得：上式可化為：故數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.故∴數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：.⑶由得：.故(m>4).題型3數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式(公式法)1、數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么．2、數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．3、數(shù)列滿足，，求．4、數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．5、數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么．6、數(shù)列的，且,那么．〔累加法與累積法〕1、數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．2、數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．3、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。5、數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么．6、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！矘?gòu)建新數(shù)列〕1、數(shù)列的首項(xiàng)，且，那么．2、數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．3、數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。5、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。6、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。7、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。8、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。9、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。10、數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、解：兩邊除以，得，那么，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。4、解：兩邊除以，得，那么，故因此，那么5、解：設(shè)④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，那么x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，那么，那么數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，那么，故。6、解：設(shè)⑥將代入⑥式，得整理得。令，那么，代入⑥式，得⑦由及⑦式，得，那么，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，那么。7、解：設(shè)⑧將代入⑧式，得，那么等式兩邊消去，得，那么得方程組，那么，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得那么，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，那么。8、解：由及，得由此可猜想，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論?！?〕當(dāng)n=1時(shí)，，所以等式成立?！?〕假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)〔1〕〔2〕可知，等式對(duì)任何9、解：令，得，那么是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)椤?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，那么。10、解：令，得，那么x=1是函數(shù)的不