2023年湖南省新高考教學教研聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

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數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知函數(shù)，則下列結論錯誤的是()

A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱

C.的一個零點為D.在區(qū)間上單調(diào)遞減

3.如果一組數(shù)據(jù)，，，，的方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的方差為()

A.B.C.D.

4.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是()

A.B.C.D.

5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當時，，則的解集為()

A.B.

C.D.

6.記函數(shù)的最小正周期為，若，且，則()

A.B.C.D.

7.很多人的童年都少不了折紙的樂趣，如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙已經(jīng)與數(shù)學聯(lián)系在一起，并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問題有一張矩形紙片，，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與點重合于點，若，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積為()

A.B.C.D.

8.已知為的外心，若，，則的最大值為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列說法正確的有()

A.若復數(shù)滿足，則

B.若復數(shù)，為虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)

C.復數(shù)一定都滿足

D.若復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面上對應的點的軌跡為圓

10.如圖，在中，，，，，分別是邊上的三個四等分點，若，則()

A.B.

C.D.

11.已知、為正實數(shù)，，則()

A.B.的最大值為

C.的最小值為D.的最大值為

12.如圖，在三棱柱中，側面為矩形，若平面平面，平面平面，記平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，則()

A.側面為矩形

B.若為的中點，為的中點，則平面

C.

D.若，滿足且為常數(shù)，則

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.數(shù)據(jù)、、、、、、、的第百分位數(shù)為______．

14.已知向量，，，若、、三點共線，則______．

15.如圖，在平行四邊形中，，，為線段的中點，，則______．

16.如圖，在中，，點與點分別在直線的兩側，且，則的最大值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

某實驗中學對選擇生物學科的名學生的高一下學期期中考試成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率直方圖已知成績均在區(qū)間內(nèi)，不低于分視為優(yōu)秀，低于分視為不及格同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值．

根據(jù)此次成績采用分層抽樣從中抽取人開座談會，求在區(qū)間應抽取多少人？

根據(jù)頻率直方圖，估計這次考試成績的平均數(shù)和中位數(shù)．

18.本小題分

已知函數(shù)．

求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

若在區(qū)間上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點，平面．

證明：為的中點；

若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積．

20.本小題分

記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知

求證：；

若，求的最大值．

21.本小題分

如圖，已知是邊長為的等邊三角形，、分別是、的中點，將沿著翻折，使點到點處，得到四棱錐．

若，證明：平面平面；

若，求直線與平面所成角的正弦值．

22.本小題分

已知函數(shù)，，．

若的最大值為，求的值；

當時，設，若的最小值為，求實數(shù)的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為，，

，

因此，．

故選：．

求出集合、，利用交集的定義可求得集合．

本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

2.【答案】

【解析】解：由于的最小正周期為，所以A正確．

因為，為最小值，所以的圖象關于直線對稱，故B正確．

因為，所以的一個零點為，所以C正確．

由，得，而在上遞減，在上遞增，

所以在區(qū)間上不單調(diào)遞減，所以D錯誤．

故選：．

對于，利用周期公式分析判斷，對于，將代入函數(shù)判斷是否能取得最值，對于，將代入函數(shù)中計算判斷，對于，由求出的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷．

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)，，，，的方差是，

則另一組數(shù)據(jù)，，，，的方差．

故選：．

根據(jù)題意，由方差的性質(zhì)分析可得答案．

本題考查數(shù)據(jù)的方差計算，注意方差的計算公式，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：因為向量與的夾角為，且，，

所以，

所以在方向上的投影向量為．

故選：．

根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)在方向上的投影向量為計算可得．

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題．

5.【答案】

【解析】解：因為定義在上的奇函數(shù)滿足：當時，，

則，解得，

故當時，，

因為、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，

且當時，，

令，則函數(shù)的定義域為，

，故函數(shù)為偶函數(shù)，

且，

由可得，即，

因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，解得或．

故選：．

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，求出的值，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，令，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結合函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集．

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應用，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：根據(jù)最小正周期，可得，解得；

又，即是函數(shù)的一條對稱軸，

所以，，解得，，

又，當時，．

故選：．

由最小正周期，可得，再由即可得，，從而求出的值．

本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：由題意可得，，，

，又，

，，故以，，為同一個頂點的正方形的外接球即為三棱錐的外接球，

設外接球的半徑為，則，

三棱錐的所有頂點都在球的表面積為．

故選：．

由題意可得以，，為同一個頂點的正方形的外接球即為三棱錐的外接球，求解可得球的表面積．

本題考查求空間幾何體的外接球的表面積，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：在中，設內(nèi)角、、的對邊分別為、、，

，，

，

，，，

如下圖所示：

取線段的中點，連接，則，

，同理，

，則，

即，，

，即，

，

聯(lián)立可得，，

，

當且僅當時，等號成立，故的最大值為．

故選：．

由三角恒等變換化簡可得出的值，推導出，，利用平面向量的數(shù)量積可得出、的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，

本題主要考查平面向量基本定理，向量數(shù)量積運算，考查運算求解能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于：若，則，顯然為純虛數(shù)，故A錯誤；

對于：，所以，故B正確；

對于：若，則，，

顯然，故C錯誤；

對于：復數(shù)滿足，所以復數(shù)在復平面上對應的點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，故D正確．

故選：．

利用反例說明、，根據(jù)復數(shù)的乘方及共軛復數(shù)判斷，根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷．

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：對于：，故A正確；

對于：在中，，，，

，即，

，故B正確；

對于：，故C正確；

對于：，

，

，故D錯誤．

故選：．

根據(jù)圖形，結合向量加，減，數(shù)乘運算，即可判斷；利用向量表示，利用數(shù)量積公式，判斷；根據(jù)的判斷，代入數(shù)量積和模的公式，即可判斷．

本題考查平面向量的線性運算，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題，

11.【答案】

【解析】解：因為、為正實數(shù)，，

對于選項，，當且僅當時，等號成立，對；

對于選項，因為，則，

故，當且僅當時，等號成立，

所以，的最大值為，對；

對于選項，，

當且僅當時，等號成立，故的最小值為，錯；

對于選項，，

當且僅當時，即，時等號成立，故的最大值為，對．

故選：．

利用基本不等式可判斷選項，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷選項．

本題主要考查了基本不等式及二次函數(shù)性質(zhì)在最值求解中的應用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于：是矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面，平面，，

過點作，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

又平面，，

，，，平面，

平面，又平面，

．

在三棱柱中為平行四邊形，所以為矩形，故A正確；

對于：取的中點，連接、，

因為為的中點，為的中點，所以，平面，

平面，所以平面，

又，平面，

平面，所以面，

，，平面，所以平面平面，

平面，所以平面，故B正確

對于、：由棱柱知，又平面，平面，

以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系如下所示，

不妨設，，，

則，

取平面的一個法向量，

，則，

取平面的一個法向量，

設為平面的法向量，

則，，令，則，，

由，

，

，則，

，

則，

，．

且，

，

故，故C錯誤，D正確．

故選：．

證明平面，即可得到，從而判斷，取的中點，連接、，即可證明平面平面，從而判斷，對于、，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得．

本題考查空間角、距離，利用空間向量法可以將幾何問題轉化為代數(shù)計算等相關知識，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：將數(shù)據(jù)由小到大進行排列為、、、、、、、，共個數(shù)，

因為，故該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為．

故答案為：．

將數(shù)據(jù)由小到大排列，利用百分位數(shù)的定義可求得該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)．

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：已知向量，，，

則，，

因為、、三點共線，則，所以，，解得．

故答案為：．

計算出、的坐標，由題意可知，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數(shù)的值．

本題考查了向量坐標的減法運算，向量減法的幾何意義，共線向量的坐標關系，考查了計算能力，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：在平行四邊形中，為中點，則有，

因為，，所以在中，

，，

因為，所以，

則

，

故答案為：．

以不共線的兩個向量作為平面向量基底，用基底表示出需要的向量，在求解過程中涉及到垂直，可用數(shù)量積為來突破，留意向量的方向，準確找出兩向量的夾角．

本題考查平面向量數(shù)量積的應用，屬基礎題．

16.【答案】

【解析】解：設，則由，得，

在中，，由正弦定理得，

所以，得，

因為，所以，

所以，

設，因為，

所以，

所以，

在中由正弦定理得，，

所以，得，

所以，

在中，，，，

由余弦定理得

，

所以，

所以當，即時，取得最大值．

故答案為：．

由結合正弦定理可求得，則，設，在中由正弦定理可求得，則，然后在中由余弦定理表示出，再結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結果．

本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉化能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由頻率分布直方圖可知的頻數(shù)為人，

所以在區(qū)間中應抽取人．

由頻率分布直方圖可知平均數(shù)為：

，

又，，

所以中位數(shù)位于之間，

設中位數(shù)為，則，解得，

故中位數(shù)為．

【解析】首先求出中的頻數(shù)，按照分層抽樣計數(shù)可得；

根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)與中位數(shù)計算規(guī)則計算可得．

本題主要考查頻率分布直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題．

18.【答案】解：

，

最小正周期；

令，，得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；

，

令，得，

令，如圖，畫出函數(shù)的圖象，

若在區(qū)間上有兩個不同的零點，則與的圖象，有個不同的交點，即可，

得

所以實數(shù)的取值范圍是．

【解析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

將方程轉化為，再結合函數(shù)的圖象，轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，即可求解．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉化能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：連接，設，連接，

因為平面，平面，平面平面，

所以，又底面為矩形，所以為的中點，

所以為的中點．

因為平面，平面，所以，

又，，，平面，所以平面，

所以為直線與平面所成的角，即，

又，所以，則，

由平面，平面，所以，

所以在中，

所以．

【解析】連接，設，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到，即可證明；

首先證明平面，則為直線與平面所成的角，再求出，最后根據(jù)計算可得．

本題考查線面平行的性質(zhì)定理，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．

20.【答案】解：證明：因為，

所以，

所以，

所以，

因為為銳角三角形，

所以，

所以，

所以，

因為為銳角三角形，

所以，

所以，

所以；

因為，，

所以，

所以，

因為，所以，

所以，

所以，

，

，

，

，

因為，所以，

所以，

所以，

所以當時，取得最大值．

【解析】利用三角函數(shù)恒等變換公式對已知式子化簡變形可證得結論；

由已知條件結合正弦定理可得，，從而可得，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形可求得結果．

本題考查解三角形相關知識，屬于中檔題．

21.【答案】解：證明：翻折前，、分別是、的中點，則，

，，

為等邊三角形，所以，，

且，，

翻折后，取的中點，連接、，如下圖所示：

由題意可知，是邊長為的等邊三角形，

為的中點，所以，，且，

，，，

由余弦定理可得，