人教版九年級數(shù)學上冊 實際問題與二次函數(shù)-詳解與練習(含答案)VIP

實際問題與二次函數(shù)一、利用函數(shù)求圖形面積的最值問題如圖1，用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。設矩形的一邊長為x（米），面積為y（平方米），求y關于x的函數(shù)關系式；當x為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？解：（1）設矩形的長為x（米），則寬為（18-x）（米），根據(jù)題意，得：；又∵（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即當時，故當x=9米時，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？解：設養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米），根據(jù)題意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最大值，即當時，故當x=25米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為平方米。例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少?(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎?若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由．（1）解：設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm由題意得：解得：當時，20-x=4；當時，20-x=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。（2）不能理由是：設第一個正方形的邊長為xcm，則第二個正方形的邊長為cm，圍成兩個正方形的面積為ycm2，根據(jù)題意，得：，∵中，a=2＞0，∴y有最小值，即當時，=12.5＞12,故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.練習1、如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為a的正方形ABCD的邊上，若AE=x，正方形EFGH的面積為y.(1)求出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)正方形EFGH有沒有最大面積？若有，試確定E點位置；若沒有，說明理由.解：∵四邊形ABCD是邊長為a米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=a米．∵四邊形EFGH為正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF與△DHE中，∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2，即y=2x2-2ax+a2；（2）∵y=2x2-2ax+a2=2（x-）2+，∴當x=時，S有最大值．故當點E是AB的中點時，面積最大．二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題例題1如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是.圖（1）圖（2）圖（1）圖（2）.練習1某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示.圖（2）建立直角坐標系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系是.請回答下列問題：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？2．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米.要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米.（1）如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系.①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米?（2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分.①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米?1.解：（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=，即柱子OA的高度是（2）由題意得：當x=時，y=,即水流距水平面的最大高度（3）把y=0代入拋物線得：=0，解得，x1=(舍去，不合題意)，x2=故水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外2.（1）①設拋物線解析式為：，∵橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：，∴拋物線解析式為：；②∵要使高為3米的船通過，∴，則，解得：，∴EF=10米；（2）①設圓半徑r米，圓心為W，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：；②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=，此時寬度EF=米．三、利用拋物線解決最大利潤問題例題1某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看做一次函數(shù)：y＝－10x＋500.（1）設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（6分）（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？（3分）（3）物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝進價×銷售量)（3分）試題解析：（1）由題意得出：，∵，∴當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．（2）由題意，得：，解這個方程得：x1=30，x2=40．∴李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元．（3）∵，∴拋物線開口向下.∴當30≤x≤40時，W≥2000.∵x≤32，∴當30≤x≤32時，W≥2000.設成本為P（元），由題意，得：，∵k=200＜0，∴P隨x的增大而減?。喈攛=32時，P最小=3600．練習1．某玩具批發(fā)商銷售每只進價為40元的玩具，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每只50元的價格銷售，平均每天銷售90只，單價每提高1元，平均每天就少銷售3只．（1）平均每天的銷售量y(只)與銷售價x(元／只)之間的函數(shù)關系式為；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W(元)與銷售只x(元／只)之間的函數(shù)關系式；（3）物價部門規(guī)定每只售價不得高于55元，當每只玩具的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少元（1）根據(jù)題意知銷售量y(只)與銷售價x(元／只)之間的函數(shù)關系式為y=90-3（x-50）=-3x+240；(2)根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤×銷售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)求獲得最大利潤，也就是求函數(shù)w=-3x2+360x-9600的最大值.試題解析：(1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)當x≤60，y隨x的增大而減小，當x=55時，w最大=1125所以定價為55元時，可以獲得最大利潤是1125元.2．為了落實國務院的指示精神，地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關系：.設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.（1）求w與x之間的函數(shù)關系式；（2）該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（1）由題意得：，∴w與x的函數(shù)關系式為：.（2），∵﹣2＜0，∴當x=30時，w有最大值．w最大值為200.答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.3．為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：．（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？（2）設李明獲得的利潤為（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？（1）當時，，，∴政府這個月為他承擔的總差價為600元。（2）依題意得，，，∴當時，有最大值4000.∴當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000．（3）由題意得：，解得：，.，拋物線開口向下，∴結合圖象可知：當時，.又，∴當時，w≥3000.設政府每個月為他承擔的總差價為元，.，隨的增大而減小.∴當時，有最小值500.∴銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元.4．某文具店銷售一種進價為10元/個的簽字筆，物價部門規(guī)定這種簽字筆的售價不得高于14元/個，根據(jù)以往經(jīng)驗：以12元/個的價格銷售，平均每周銷售簽字筆100個；若每個簽字筆的銷售價格每提高1元，則平均每周少銷售簽字筆10個.設銷售價為x元/個.（1）該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為個（用含x的式子表示）；（2）求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/個）之間的函數(shù)關系式；（3）當x取何值時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（1）（220－10x）；（2）3分5分6分∵拋物線的開口向下，在對稱軸直線x=16的左側，隨的增大而增大.8分由題意可知，9分∴當x=14時，最大為320.∴當x=14時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大是320元.利用二次函數(shù)解決動點問題例1如圖8，如圖9，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一動點P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD.(1)當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；(2)當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運動.過Q作直線QN，使QN∥PM.設點Q運動的時間為t秒(0≤t≤10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm2.①求S關于t的函數(shù)關系式；②求S的最大值.解：(1)當點P運動2秒時，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴SΔAPE=.(2)①當0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動，設PM與AD交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.當6≤t≤8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動.設PM與DC交于點G，QN與AD交于點