第1節(jié)　簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

第七章第一節(jié)

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題,并能加以解決.1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域2.求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題3.實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

直線定界,測(cè)試點(diǎn)定域Ax+By+C>0直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括

Ax+By+C≥0包括

不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的

微點(diǎn)撥點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0;位于直線Ax+By+C=0同側(cè)的充要條件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0.邊界

邊界

公共部分

微思考如何確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)?

提示:一般是取不在直線上的點(diǎn)(x0,y0)作為測(cè)試點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判定,滿足不等式的,則平面區(qū)域在測(cè)試點(diǎn)所在的直線的一側(cè),反之在直線的另一側(cè).2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念

名稱意義約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組,是對(duì)x,y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足

的解(x,y)

可行域所有

組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到

或

的可行解

最優(yōu)解一定是可行解,可行解不一定是最優(yōu)解線性規(guī)劃問(wèn)題求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的

或

的問(wèn)題

約束條件

可行解

最大值

最小值

最大值

最小值

常用結(jié)論1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域2.常見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

(3)z=(x-a)2+(y-b)2:z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(a,b)間的距離的平方.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域典例突破

答案:(1)4

(2)(2,+∞)

解析:(1)可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分,A(2,2),B(2,-2),易知直線x=1與x-2y+1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1),不等式組所表示的平面區(qū)域形狀為三角形,則點(diǎn)A位于直線x+y=m下方,據(jù)此有1+1<m,即m的取值范圍為(2,+∞).突破技巧平面區(qū)域形狀問(wèn)題的兩種題型及解法

確定平面區(qū)域形狀(求面積)先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域,并判斷其形狀,進(jìn)而求面積根據(jù)平面區(qū)域形狀求參數(shù)先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域,要注意對(duì)含參的限制條件進(jìn)行必要的分類(lèi)討論對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)(-3,-1)和點(diǎn)(4,-6)在直線3x-2y-a=0的兩側(cè),則a的取值范圍為(

)A.(-24,7) B.(-7,24)C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞)答案:(1)B

(2)D

解析:(1)根據(jù)題意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.當(dāng)a>0時(shí),直線y=ax+a=a(x+1)繞著點(diǎn)B(-1,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(1,1)時(shí),不再構(gòu)成梯形,此時(shí)直線y=ax+a=a(x+1)的斜率為a=,所以當(dāng)0<a<時(shí)滿足題意;當(dāng)a<0時(shí),直線y=ax+a=a(x+1)繞著點(diǎn)B(-1,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至垂直于x軸的過(guò)程中,只有直線y=ax+a=a(x+1)與y=-x+2平行時(shí)不滿足條件,即a≠-1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,0).考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題(多考向探究)考向1.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例突破例2.(2021河南鄭州二模)已知x,y滿足

則z=2x+4y的取值范圍是(

)A.[0,4] B.[4,6] C.[0,6] D.[6,8]答案:B

解析:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:由圖像知,當(dāng)直線與直線x+2y=3重合時(shí),直線在y軸上的截距最大,此時(shí)z最大,此時(shí)x+2y=3,即z=2x+4y=6;當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,0)時(shí),直線在y軸上的截距最小,此時(shí)z最小,z=2x+4y=4+0=4.故4≤z≤6,即z的取值范圍是[4,6].突破技巧求線性目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2021廣西桂林、崇左二模)設(shè)變量x,y滿足約束條件

則z=2x+y的最大值為

.

答案:11

解析:作出可行域如圖所示:又因?yàn)閦表示直線y=-2x+z在y軸上的截距,由圖可知y=-2x+z經(jīng)過(guò)A(3,5)時(shí)截距最大,所以zmax=2×3+5=11.考向2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例突破答案:(1)D

(2)C

(2)作出可行域如圖,z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方加1,突破技巧常見(jiàn)的2類(lèi)非線性目標(biāo)函數(shù)及其意義

A.(-∞,1]∪(2,4] B.[1,2)∪(2,4]C.[1,2)∪[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)答案:(1)D

(2)D

由圖知,目標(biāo)函數(shù)的最小值為原點(diǎn)到直線2x+y-2=0的距離的平方,(2)由約束條件作出可行域如圖,

考向3.求參數(shù)值或取值范圍典例突破例4.(1)(2021四川成都第二次聯(lián)考)當(dāng)x,y滿足

時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最大值為0,則a=(

)A.6 B.4

C.3

D.2(2)設(shè)x,y滿足不等式組

若z=ax+y的最大值為2a+4,最小值為a+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.[-1,2] B.[-2,1] C.[-3,-2] D.[-3,1]答案:(1)B

(2)B

(2)由z=ax+y得y=-ax+z,如圖,作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域(陰影部分),則A(1,1),B(2,4).由題意和圖可知,直線z=ax+y過(guò)點(diǎn)B時(shí),取得最大值為2a+4,過(guò)點(diǎn)A時(shí),取得最小值為a+1.若a=0,則y=z,此時(shí)滿足條件;若a>0,-a<0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-a≥kBC=-1,即0<a≤1;若a<0,-a>0,則目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足-a≤kAC=2,即-2≤a<0.綜上,a的取值范圍是[-2,1].突破技巧利用可行域及最優(yōu)解求參數(shù)及其范圍的類(lèi)型及方法

限制條件中含參數(shù)依據(jù)參數(shù)的不同范圍將各種情況下的可行域畫(huà)出來(lái),尋求最優(yōu)解,確定參數(shù)的值線性目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)可對(duì)線性目標(biāo)函數(shù)的斜率分類(lèi)討論,以此來(lái)確定線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)哪個(gè)頂點(diǎn)取得最值,從而求出參數(shù)的值;也可以直接求出線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)各頂點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值,然后進(jìn)行檢驗(yàn),找出符合題意的參數(shù)值對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2021云南大理模擬)變量x,y滿足約束條件

若目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為12,則實(shí)數(shù)a=(

)A.12 B.-12

C.4

D.-4答案:(1)B

(2)A解析:(1)由約束條件作出可行域如圖,(2)作出約束條件表示的可行域如圖,∵a>0,b>0,∴當(dāng)直線z=ax+by經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,3)時(shí),z取得最大值,則3a+3b=3,即a+b=1,考點(diǎn)三實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問(wèn)題典例突破例5.某家具廠有方木料90m3,五合板600m2,準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售,已知生產(chǎn)每張書(shū)桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元.怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大?解:設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張,書(shū)櫥y個(gè),利潤(rùn)總額為z元.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出不等式組所表示的可行域,如圖.作直線l:80x+120y=0,即直線l:2x+3y=0.把直線l向右上方平移至l1的位置時(shí),直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M(100,400),此時(shí)z=80x+120y取得最大值.所以當(dāng)x=100,y=400時(shí),zmax=80×100+120×400=56

000(元),即生產(chǎn)書(shū)桌100張、書(shū)櫥400個(gè),可使所得利潤(rùn)最大.突破技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟

審題仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系設(shè)元設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x,y,并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)作圖準(zhǔn)確作出可行域,平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)求解代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)檢驗(yàn)根據(jù)結(jié)果,檢驗(yàn)反饋對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某公司計(jì)劃2022年在甲、乙兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上投放總時(shí)間不超過(guò)300天的廣告,廣告總費(fèi)用不超過(guò)90萬(wàn)元,已知甲、乙兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為5000元/天和2000元/天,廣告每天能給公司帶來(lái)的收益分別為3萬(wàn)元和2萬(wàn)元,