2022-2023學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)楊橋中學(xué)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（每小題4分，共40分）

1．（4分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A．B．

C．D．

2．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣4，2）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（）

A．2B．4C．2D．2

3．（4分）拋物線(xiàn)y＝（x﹣1）2+3的對(duì)稱(chēng)軸是（）

A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3

4．（4分）下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

C．鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D．兩條對(duì)角線(xiàn)垂直且平分的四邊形是正方形

5．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到△AB′C′，若點(diǎn)C′在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則∠CC′A的度數(shù)為（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

6．（4分）在對(duì)某樣本進(jìn)行方差計(jì)算時(shí)，所用公式為：，則該樣本容量為（）

A．7B．14C．10D．17

7．（4分）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）

A．8B．10C．7D．9

8．（4分）一次函數(shù)y＝ax+b（a，b是常數(shù)，且a≠0），若2a+b+3＝0，則這個(gè)一次函數(shù)的圖象必經(jīng)的點(diǎn)是（）

A．（﹣1，﹣5）B．（2，﹣3）C．（，0）D．（1，2）

9．（4分）已知方程x2+2023x﹣3＝0的兩根分別是α和β，則代數(shù)式α2+αβ+2023α的值為（）

A．1B．0C．2023D．﹣2023

10．（4分）已知點(diǎn)P（m，n），Q（2，0）都在一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象上，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若mn有最大值4，則k的值為4

B．若mn有最小值4，則k的值為﹣4

C．若mn有最大值﹣4，則k的值為4

D．若mn有最小值﹣4，則k的值為4

二、填空題（每小題4分，共24分）

11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：．

12．（4分）函數(shù)y＝3x+2的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．

13．（4分）將拋物線(xiàn)y＝x2向上平移3個(gè)單位，向左移動(dòng)1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式是．

14．（4分）一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12cm，則這個(gè)三角形各邊中點(diǎn)圍成的三角形的周長(zhǎng)為．

15．（4分）某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為100萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為121萬(wàn)，已知6、7月的增長(zhǎng)率相同，設(shè)增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意可列方程為．

16．（4分）已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線(xiàn)交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線(xiàn)AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

三、解答題（共86分）

17．（8分）（1）計(jì)算：；

（2）解方程：x2﹣5x+1＝0．

18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）如果此方程的一個(gè)根為1，求k的值．

19．（8分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣4，9）和N（2，3）．

（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)A（3，0），若△OPA的面積為6，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

20．（8分）小李是社區(qū)宣傳干事，為宣傳節(jié)約用水，他隨機(jī)調(diào)查了某小區(qū)部分家庭6月份的用水情況，并將收集的數(shù)據(jù)整理成如圖的統(tǒng)計(jì)圖．

（1）所調(diào)查家庭6月份用水量的眾數(shù)為噸，中位數(shù)為噸；

（2）若該小區(qū)有300戶(hù)居民，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查的樣本平均數(shù)估計(jì)出這個(gè)小區(qū)6月份的用水量是多少?lài)崳?/p>

21．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AC為對(duì)角線(xiàn)．

（1）把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△EFC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，且在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，請(qǐng)你在圖中作出△EFC．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若∠CEF＝26°，求∠ACE的大小．

22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若，BD＝2，求OE的長(zhǎng)．

23．（10分）寶珠梨盛產(chǎn)于昆明市呈貢區(qū)，是當(dāng)?shù)氐奶禺a(chǎn)水果，具有皮薄，果肉雪白，脆嫩，汁多，味濃甜，微香等特點(diǎn)．某果農(nóng)經(jīng)銷(xiāo)某品牌的寶珠梨，成本為15元/千克，物價(jià)部門(mén)規(guī)定每千克梨的銷(xiāo)售利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的60%，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售量y（單位：千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元/千克）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖所示：

（1）求y與x的函數(shù)解析式（解析式也稱(chēng)表達(dá)式）；

（2）求這一天銷(xiāo)售這種寶珠梨獲得的最大利潤(rùn)W．

24．（13分）如圖1，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點(diǎn)E，G分別在邊AB，BC上，AB＝3EB，CB＝3GB，連接EG．

（1）求證：△BEG是等邊三角形；

（2）如圖2，把△BEG沿BG翻折得到△BFG，連接FD，若AB＝6，求FD的長(zhǎng)；

（3）如圖3，把△BEG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BNM，連接DM，P是DM的中點(diǎn)，連接PC，PN，判斷PC與PN的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

25．（13分）已知拋物線(xiàn)y＝mx2+2mx+m﹣1和直線(xiàn)y＝mx+m﹣1，且m≠1．

（1）求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）試說(shuō)明拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）已知點(diǎn)T（t，1），且﹣1≤t≤1，過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，當(dāng)0＜m≤3時(shí)，求線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最大值．

2022-2023學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)楊橋中學(xué)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1．（4分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．

【解答】解：A、原圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、原圖既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、原圖是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、原圖是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．

2．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣4，2）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（）

A．2B．4C．2D．2

【分析】利用勾股定理計(jì)算可得結(jié)論．

【解答】解：由題意得，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：

＝＝2．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵．

3．（4分）拋物線(xiàn)y＝（x﹣1）2+3的對(duì)稱(chēng)軸是（）

A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3

【分析】由二次函數(shù)解析式求解．

【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，

∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．

4．（4分）下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

C．鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D．兩條對(duì)角線(xiàn)垂直且平分的四邊形是正方形

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到結(jié)論．

【解答】解：A、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故不符合題意；

B、四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故不符合題意；

C、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故不符合題意；

D、兩條對(duì)角線(xiàn)相等、垂直且平分的四邊形是正方形，故符合題意；

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定，熟練掌握各判定定理是解題的關(guān)鍵．

5．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到△AB′C′，若點(diǎn)C′在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則∠CC′A的度數(shù)為（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠CAC'＝120°，AC＝AC'，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，得到△AB′C′，

∴∠CAC'＝120°，AC＝AC'，

∴∠C＝∠CC'A＝＝30°，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．

6．（4分）在對(duì)某樣本進(jìn)行方差計(jì)算時(shí)，所用公式為：，則該樣本容量為（）

A．7B．14C．10D．17

【分析】由方差的計(jì)算公式求解即可．

【解答】解：由題意可知，該樣本容量為7．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的定義：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．也考查了樣本容量：一個(gè)樣本包括的個(gè)體數(shù)量叫做樣本容量．

7．（4分）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）

A．8B．10C．7D．9

【分析】設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)“單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)”列一元二次方程，求解即可．

【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，

根據(jù)題意，可得，

解得x＝10或x＝﹣9（舍），

∴共有10支隊(duì)伍參加比賽．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

8．（4分）一次函數(shù)y＝ax+b（a，b是常數(shù)，且a≠0），若2a+b+3＝0，則這個(gè)一次函數(shù)的圖象必經(jīng)的點(diǎn)是（）

A．（﹣1，﹣5）B．（2，﹣3）C．（，0）D．（1，2）

【分析】根據(jù)2a+b+3＝0，可求b＝﹣2a﹣3，所以y＝ax﹣2a﹣3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2a﹣2a﹣3＝﹣3，所以一次函數(shù)經(jīng)過(guò)（2，﹣3）點(diǎn)．

【解答】解：∵2a+b+3＝0，

∴b＝﹣2a﹣3．

即y＝ax﹣2a﹣3．

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2a﹣2a﹣3＝﹣3．

∴一次函數(shù)經(jīng)過(guò)（2，﹣3）點(diǎn)，

∴B選項(xiàng)正確．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)的特征及性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

9．（4分）已知方程x2+2023x﹣3＝0的兩根分別是α和β，則代數(shù)式α2+αβ+2023α的值為（）

A．1B．0C．2023D．﹣2023

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，一元二次方程根的判別式得出α2+2023α＝3，αβ＝﹣3，代入代數(shù)式即可求解．

【解答】解：∵方程x2+2023x﹣3＝0的兩根分別是α和β，

∴α2+2023α＝3，αβ＝﹣3，

∴α2+αβ+2023α，3﹣3＝0，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，，．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱(chēng)為一元二次方程的解．

10．（4分）已知點(diǎn)P（m，n），Q（2，0）都在一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象上，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若mn有最大值4，則k的值為4

B．若mn有最小值4，則k的值為﹣4

C．若mn有最大值﹣4，則k的值為4

D．若mn有最小值﹣4，則k的值為4

【分析】根據(jù)點(diǎn)P（m，n），Q（2，0）都在一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象上，可得km+b＝n，2k+b＝0，進(jìn)一步可得n＝km﹣2k，根據(jù)配方法可得mn＝k（m﹣1）2﹣k，再分情況討論即可．

【解答】解：∵點(diǎn)P（m，n），Q（2，0）都在一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象上，

∴km+b＝n，2k+b＝0，

∴b＝﹣2k，

∴km﹣2k＝n，

∴mn＝（km﹣2k）m＝km2﹣2km＝k（m2﹣2m+1）﹣k＝k（m﹣1）2﹣k，

①當(dāng)k＜0時(shí)，mn有最大值，最大值為﹣k，

當(dāng)﹣k＝4時(shí)，k＝﹣4，

∴mn有最大值4時(shí)，k的值為﹣4，

故A不符合題意；

當(dāng)﹣k＝﹣4時(shí)，k＝4，不符合題意，

∴mn沒(méi)有最大值﹣4，

故C不符合題意；

②當(dāng)k＞0時(shí)，mn有最小值，最小值為﹣k，

當(dāng)﹣k＝4時(shí)，k＝﹣4，不符合題意，

∴mn沒(méi)有最小值4，

故B不符合題意；

當(dāng)﹣k＝﹣4時(shí)，k＝4，

∴mn有最小值﹣4，則k的值為4，

故D符合題意，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，配方法，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．

二、填空題（每小題4分，共24分）

11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：（﹣3，2）．

【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可直接得到答案．

【解答】解：點(diǎn)（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，2），

故答案為：（﹣3，2）．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．

12．（4分）函數(shù)y＝3x+2的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．

【分析】把x＝0代入解析式求得即可．

【解答】解：令x＝0，則y＝3x+2＝2，

所以圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）．

故答案是：（0，2）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式．

13．（4分）將拋物線(xiàn)y＝x2向上平移3個(gè)單位，向左移動(dòng)1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式是y＝（x+1）2+3．

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．

【解答】解：拋物線(xiàn)y＝x2向上平移3個(gè)單位，向左移動(dòng)1個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式是：y＝（x+1）2+3．

故答案為：y＝（x+1）2+3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵．

14．（4分）一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12cm，則這個(gè)三角形各邊中點(diǎn)圍成的三角形的周長(zhǎng)為6cm．

【分析】先畫(huà)出圖形，由三角形的中位線(xiàn)定理可知：DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，則以三角形三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)是原三角形周長(zhǎng)的一半．

【解答】解：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形如圖示，

∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，

∴DE、DF、EF都是△ABC的中位線(xiàn)，

∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，

∵△ABC的周長(zhǎng)是12cm，

∴AB+CB+AC＝12cm，

∴DE+DF+FE＝24÷2＝6（cm）．

故答案是：6cm．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理以及三角形周長(zhǎng)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

15．（4分）某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為100萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為121萬(wàn)，已知6、7月的增長(zhǎng)率相同，設(shè)增長(zhǎng)率為x，則根據(jù)題意可列方程為10%．

【分析】根據(jù)該公司6、7兩個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的月均增長(zhǎng)率為x，結(jié)合5月、7月?tīng)I(yíng)業(yè)額即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解此方程即可得解．

【解答】解：設(shè)該公司6、7兩個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的月均增長(zhǎng)率為x，

根據(jù)題意得，100（1+x）2＝121，

解得，x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），

所以，增長(zhǎng)率為10%．

故答案為：10%．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

16．（4分）已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線(xiàn)交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線(xiàn)AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．

【分析】作BF⊥AE于F，如圖，先利用等角的余角相等得到∠1＝∠3，則可根據(jù)“SAS”證明△APD≌△AEB，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；再判斷△AEP為等腰直角三角形，得到∠4＝∠5＝45°，則∠APD＝135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AEB＝∠APD＝135°，于是可計(jì)算出∠PEB＝135°﹣∠4＝90°，所以BE⊥ED，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；在Rt△PED中，利用勾股定理計(jì)算出BE＝，然后判斷△BEF為等腰直角三角形得到BF＝，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于△APD≌△AEB，則S△APD＝S△AEB，然后利用S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP+S△PBE可對(duì)④進(jìn)行判斷．

【解答】解：作BF⊥AE于F，如圖，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵AP⊥AE，

∴∠EAP＝90°，即∠2+∠3＝90°，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△APD和△AEB中

，

∴△APD≌△AEB，所以①正確；

∵AE＝AP，∠PAE＝90°，

∴△AEP為等腰直角三角形，

∴∠4＝∠5＝45°，

∴∠APD＝135°，

∵△APD≌△AEB，

∴∠AEB＝∠APD＝135°，

∴∠PEB＝135°﹣∠4＝90°，

∴BE⊥ED，所以③正確；

在Rt△PED中，BE＝＝＝，

在Rt△BEF中，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝45°，

∴△BEF為等腰直角三角形，

∴BF＝BE＝×＝，所以②錯(cuò)誤；

∵△APD≌△AEB，

∴S△APD＝S△AEB，

∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四邊形AEBP＝S△AEP+S△PBE＝×1×1+××＝，所以④正確．

故答案為①③④．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．

三、解答題（共86分）

17．（8分）（1）計(jì)算：；

（2）解方程：x2﹣5x+1＝0．

【分析】（1）各項(xiàng)化簡(jiǎn)后，合并同類(lèi)二次根式即可得到結(jié)果；

（2）方程利用公式法求出解即可．

【解答】解：（1）原式＝3﹣4+a

＝3﹣4+

＝0；

（2）這里a＝1，b＝﹣5，c＝1，

∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝25﹣4＝21＞0，

∴x＝，

解得：x1＝，x2＝．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，以及二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．

（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）如果此方程的一個(gè)根為1，求k的值．

【分析】（1）通過(guò)計(jì)算根的判別式進(jìn)行推理證明；

（2）將x＝1代入該方程，通過(guò)求解關(guān)于k的一元二次方程進(jìn)行求解．

【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣2k，c＝k2﹣1，

∴b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣1）

＝4k2﹣4k2+4

＝4＞0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）由題意得12﹣2k×1+k2﹣1＝0，

整理，得k2﹣2k＝0，

解得k1＝0，k2＝2，

∴k的值為0或2．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的求解和根的判別式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行正確地求解．

19．（8分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣4，9）和N（2，3）．

（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)A（3，0），若△OPA的面積為6，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m+5），利用△OPA的面積＝×AO×（﹣m+5）＝6，求出m即可求解．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得，

解得，

所以一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+5；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m+5），

∵點(diǎn)A（3，0），

∴OA＝3，

∵△OPA的面積為6，

∴△OPA的面積＝×AO×（﹣m+5）＝6，

∴＝6，

∴m＝1，

∴點(diǎn)P（1，4）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積．求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

20．（8分）小李是社區(qū)宣傳干事，為宣傳節(jié)約用水，他隨機(jī)調(diào)查了某小區(qū)部分家庭6月份的用水情況，并將收集的數(shù)據(jù)整理成如圖的統(tǒng)計(jì)圖．

（1）所調(diào)查家庭6月份用水量的眾數(shù)為4噸，中位數(shù)為4噸；

（2）若該小區(qū)有300戶(hù)居民，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查的樣本平均數(shù)估計(jì)出這個(gè)小區(qū)6月份的用水量是多少?lài)崳?/p>

【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可；

（2）計(jì)算出樣本平均數(shù)，乘300戶(hù)即可．

【解答】解：（1）6月份用水量為4噸的有6戶(hù)，戶(hù)數(shù)最多，眾數(shù)為4噸；

第10戶(hù)和11戶(hù)的用水量平均數(shù)為中位數(shù)，為4噸；

故答案為：4；4；

（2）1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8＝90噸，

90÷20＝4.5噸，

300×4.5＝1350（噸）．

答：估計(jì)這個(gè)小區(qū)6月份的用水量為1350噸．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、眾數(shù)、中位數(shù)，掌握相應(yīng)的含義是解題的關(guān)鍵．

21．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AC為對(duì)角線(xiàn)．

（1）把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△EFC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，且在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，請(qǐng)你在圖中作出△EFC．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若∠CEF＝26°，求∠ACE的大?。?/p>

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)證明∠ACD＝∠DCE，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠ACD＝26°，可得結(jié)論．

【解答】解：（1）如圖，△EFC即為所求；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AB∥CD，

∴CD⊥AE，

∵CA＝CE，CD⊥AE，

∴∠ACD＝∠DCF，

∵∠CEF＝∠CAB＝26°，

∴∠CAB＝∠ACD＝∠DCE＝26°，

∴∠ACE＝52°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

22．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若，BD＝2，求OE的長(zhǎng)．

【分析】（1）先判斷出∠OAB＝∠DCA，進(jìn)而判斷出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出結(jié)論．

【解答】（1）證明：∵AB∥DC，

∴∠OAB＝∠DCA，

∵AC為∠DAB的平分線(xiàn)，

∴∠OAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD＝AB，

∵AB∥DC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD＝AB，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，

∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝2，

∴，

在Rt△AOB中，，OB＝1，

∴，

∴OE＝OA＝2．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，勾股定理，判斷出CD＝AD＝AB是解答本題的關(guān)鍵．

23．（10分）寶珠梨盛產(chǎn)于昆明市呈貢區(qū)，是當(dāng)?shù)氐奶禺a(chǎn)水果，具有皮薄，果肉雪白，脆嫩，汁多，味濃甜，微香等特點(diǎn)．某果農(nóng)經(jīng)銷(xiāo)某品牌的寶珠梨，成本為15元/千克，物價(jià)部門(mén)規(guī)定每千克梨的銷(xiāo)售利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的60%，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售量y（單位：千克）與銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元/千克）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖所示：

（1）求y與x的函數(shù)解析式（解析式也稱(chēng)表達(dá)式）；

（2）求這一天銷(xiāo)售這種寶珠梨獲得的最大利潤(rùn)W．

【分析】（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)利潤(rùn)W元等于每千克的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量，可列出W關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)每千克梨的銷(xiāo)售利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的60%求出x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴y與x的函數(shù)解析式為y＝﹣10x+500；

（2）根據(jù)題意得：W＝（x﹣15）（﹣10x+500）＝﹣10x2+650x﹣7500，

∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝，

∵﹣10＜0，

∴當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大，

∵每千克梨的銷(xiāo)售利潤(rùn)不得高于進(jìn)價(jià)的60%，

∴x﹣15≤15×60%，

解得x≤24，

∴當(dāng)x＝24時(shí)，W取最大值，最大值為﹣10×242+650×24﹣7500＝2340，

答：這一天銷(xiāo)售這種寶珠梨獲得的最大利潤(rùn)為2340元．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)在銷(xiāo)售問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

24．（13分）如圖1，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，點(diǎn)E，G分別在邊AB，BC上，AB＝3EB，CB＝3GB，連接EG．

（1）求證：△BEG是等邊三角形；

（2）如圖2，把△BEG沿BG翻折得到△BFG，連接FD，若AB＝6，求FD的長(zhǎng)；

（3）如圖3，把△BEG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BNM，連接DM，P是DM的中點(diǎn)，連接PC，PN，判斷PC與PN的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，由AB＝3EB，CB＝3GB，可得EB＝GB，所以得到△BEG是等邊三角形；

（2）過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥CD交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，由翻折可知△BFG是等邊三角形，然后證明四邊形GFQH是矩形，可得FQ＝GH＝2，GF＝QH＝2，所以得DQ＝10，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；

（3）如圖3，把△BEG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BNM，P是DM的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)Q，連接CN、QN，先證明△CDP≌△QMP（ASA），可得CP＝QP，CD＝QM，由旋轉(zhuǎn)可知△BMN是等邊三角形，再證明△QMN≌△CBN（SAS），可得QN＝CN，∠QNM＝∠CNB，得△QNC是等邊三角形，再利用含30度角直角三角形即可解決問(wèn)題．

【解答】（1）證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，

∵AB＝3EB，CB＝3GB，

∴EB＝GB，

∴△BEG是等邊三角形；

（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠BCH＝∠ADC＝60°，

∵AB＝6，CB＝3GB，

∴BC＝CD＝6，EB＝2，

由翻折可知△BFG是等邊三角形，

∴GF＝GB＝2，∠BGF＝∠BCH＝60°，

∴CG＝BC﹣BG＝6﹣2＝4，GF∥DH，

∵GH⊥CH，∠GCH＝60°，

∴CH＝CG＝2，

∴GH＝CH＝2，

∵FQ⊥CD，GH⊥DC，GF∥QH，

∴∠GHQ＝∠FQH＝∠QFG＝90°，

∴四邊形GFQH是矩形，

∴FQ＝GH＝2，GF＝QH＝2，

∴DQ＝DC+CH+QH＝6+2+2＝10，

∴FD＝＝＝4；

（3）PN＝PC，理由如下：

如圖3，把△BEG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△BNM，延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)Q，連接CN、QN，

∵P是DM的中點(diǎn)，

∴DP＝MP，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AM∥C