2023屆高考《數(shù)學》統(tǒng)計與概率題型專項訓練（含答案）

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

學習資料整理匯編

（考點或配套習題突擊訓練）

第1頁，共40頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題

一、單選題

1.(2022?湖北?宜城市第二高級中學高三開學考試)設(shè)集合A={1,2,…,2022},集合S是集合4的非空子集，

S中最大元素和最小元素的差稱為集合S的長度，那么集合S所有長度為73的子集的元素個數(shù)之和為

()

A.272-38-1949B.2n-1949C.273-37-1949D.270-76-1949

2.(2022?湖北?宜城市第二高級中學高三開學考試)小林同學喜歡吃4種堅果:核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5

種顏色的“每日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅

果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為()

A.20160B.20220C.20280D.20340

3.(2022?全國?高三專題練習)設(shè)E(c)是離散型隨機變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是()

A.E(X+lnX)>E(X)+ln(E(X))B.F(X2lnX)>E2(X)ln(￡(X))

C.E(X+sinX)>E(X)+sin(E(X))D.￡；(X2sinX)>￡；2(X)sin(￡；(X))

4.(2022?江蘇?高三專題練習)已知(1+3：+/)"=T,?+7二工+7,缶2+…+7廿工2"，N*,其中T,；為

(1+z+/尸展開式中二項系數(shù)，i=0,1,2,…,2n,則下列說法不正確的有()

A.分=不1，i=0J,2,“\14B.T?+T^=T^

146

C.￡77=2工>D.7?是"，"，穹，…，#是最大值

?=1i=0

5.(2022?內(nèi)蒙古赤峰?高三開學考試(理))已知數(shù)列{4}的前71項和為$“,且四=1或4=2的概率均為

4(1=1,2,3「、力，設(shè)50能被3整除的概率為2.有下述四個結(jié)論:①R=l;②￡=}；③3=木多；

④當n>5時，匕<4".其中所有正確結(jié)論的編號是()

O

A.B.②@C.②③D.②③?

6.(2022?浙江?高三開學考試)互不相等的正實數(shù)如如如叫6{1,2,3,4},小,如,如，如是孫/2，土3，叫的任意順

序排列，設(shè)隨機變量X"滿足：E=ma^nin處號min{『3,如}}則()

IY=min{max{a:,,,x12},max{x(3,xit})

A.E(X)VE(Y),D(X)>D(y)B.E(X)>E(V),Z?(X)>r>(y)

c.E(X)vE(y),z?(x)=r?(y)D.S(X)>E(y),D(X)=r>(Y)

7.(2022?全國?高三專題練習)偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一世紀的“巴賽爾級數(shù)”難題.

當n€N*時，誓=(1--^-)(1--^)(1一系)…(1一番)…，又根據(jù)泰勒展開式可以得到sine=

工-g+專■-I-卜-(:二：)!—?■…，根據(jù)以上兩式可求得/+/+---+???=()

A.旨BTC-TDT

8.(2022?全國?高三專題練習(理))在卡方獨立性檢驗中，/=Z空鏟』，其中A”為列聯(lián)表中第i行，

列的實際頻數(shù)，為假定獨立情況下由每行、每列的總頻率乘以總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)，取p=g=2時，

第2頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

如表所示，則有：73,3=0.3x0.4X10=1.2,為2=1882,1=2.8,82,2=4.2,因止匕：彳2=必若01+

(2—1.8尸(3—2.8)2,(4—4.2)257甲大八才2n(ad-bc)2年體士

F-+F-+F-=前與課本公式尤=(a+6)(a+c)(b+d)(c+d)等價，故以下2

x3列聯(lián)表的/最小值為()

12F=0.3

34F=0.7

P=0.4P=0.6(n=10)

5rr(xGN')y30

302545

(n=200)

.38o1300376「520

A-irB』C.干-D-12T

9.（2022?四川?成郡七中高三開學考試（現(xiàn)））某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護士緊急前往三個小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核

酸檢測.要求每個小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護士.問共有多少種分配方案？（）

A.3180B.3240C.3600D.3660

10.（2022?全國?南三?蜃舔習（文））設(shè)函數(shù)/位）=ax+三片（t>1），若a是從0,1,2三個數(shù)中任取一個，b

是從1,2,3,4,5五個數(shù)中任取一個,那么/（3；）>6恒成立的概率是（）

A.B.C.y-D.

51552

11.（2022?全國?方三壽慝練習）如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中4、4、4、

兒是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙兩人分別要到N、河處，他

們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N、M處為止.則下列說法正

確的是（）

A.甲從M到達N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過4到達N處的方法有64種

C.甲、乙兩人在4處相遇的概率為益

D.甲、乙兩人相遇的概率為十

二、多選,

12.（2022?山東濟南?三模）如圖，已知正方體4BC。-AB?。頂點處有一質(zhì)點Q,點Q每次會隨機地沿一

條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同.從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為

移動?次.若質(zhì)點Q的初始位置位于點A處，記點Q移動n次后仍在底面4BCD上的概率為Pn，則下列

說法正確的是（）

A-^f

第2頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

2I

B.8+尸至匕+9

C.點Q移動4次后恰好位于點G的概率為0

D.點Q移動10次后仍在底面ARCD上的概率為-y（y）I"+y

13.(2022?直慶?西南大學潛中模擬H測)已知f,(a,b)=(2a+b)"(nCN*,a,b€R),則下列結(jié)論正確的是

()

A.若九(1,1)=%+四6“，a”也€Z,則a5-t>5=12

B.+/,(1,-1)與九(1,1)-/?(1,-1)都是正整數(shù)

C.是加的小數(shù)部分

D.設(shè)人(l,-l)=c“+2dn，c“&eZMd+(-l)m=2dE

2222210,1

14.（2022?江蘇南通?模板演測）若（1-x）"=4+a｝x+a.jXH--，則（）

2022

A.Q（）=1B.〉=0

￡=0

40442022

c.2（ia,.2-'）=4044x3MD.

i=li=0

15.（2022.廣東?深州市第七方級中學高三階&練習）己知數(shù)列｛氏,｝中，1,4M+尸酗士含（n€N*）,且

0n+l一

d\+a）+=10,設(shè)S“=a：+a，+…+a；“M=+…H*-v>則下列結(jié)論正確的是（）

?iO"iaf詼a?

A.ai=2B.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增

C.S“+￡,=1|（9"—1）—2nD.若9⑸+7；）為偶數(shù)，則正整數(shù)ri的最小值為8

16.（2022?夏慶八中模擬演測）如圖，一只螞蟻從正方形ABCD的頂點A出發(fā)，每一次行動順時針或逆時針經(jīng)

過一條邊到達另一頂點，其中順時針的概率為逆時針的概率為薄，設(shè)螞蟻經(jīng)過n步到達B,。兩點的

OO

概率分別為外,如（"€><_）.卜列說法正確的有（）

A.3=肅

B.P2n+q2n=1

2022

C.*1=(卷)X(-y)U'+yD.Xp*>505

k=\

17.（2022?湖北?高三開學才認）甲乙兩人進行圍棋比賽,共比賽2nMeN*）局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝

的概率均為4.如果某人獲勝的局數(shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P（n）RiJ（）

A，2）=*B.P⑶=專

第3頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

D.尸(力的最小值為十

18.(2022?河北衡水?方三階段練習)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X=O,a,2,根據(jù)以往銷售

經(jīng)驗可得0VaV2,隨機變量X的分布列為

X0a2

P1b1

百

其中結(jié)論正確的是()

A.b=)

B.若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為1

C.￡>(X)min=^-

D.當￡>(X)?lin最小時，E(X)=5

O

19.(2022?全國?模板演測)計算機顯示的數(shù)字圖像是由一個個小像素點組合而成的.處理圖像時，常會通過

批量調(diào)整各像素點的亮度，間接調(diào)整圖像的對比度、飽和度等物理量，讓圖像更加美觀.特別地，當圖像

像素點規(guī)模為1行71+1列時，設(shè)第i列像素點的亮度為鞏.，則該圖像對比度計算公式為C{%}=

上￡(為一知嚴.已知某像素點規(guī)模為1行"+1列的圖像第i列像素點的亮度電€[0,9](i=l,2,-,n+

n*=i

1),現(xiàn)對該圖像進行調(diào)整，有2種調(diào)整方案:①物=aXf+b(a>0,b>0,i=1,2,…,n+1);@zt=clg(x,+1)

(c>0a=l,2,-,n+l)，WJ()

A.使用方案①調(diào)整，當b=9時,2/l：>x,(i=l,2,—,n+1)

B.使用方案②調(diào)整,當c=9時,zi<xi(i=1,2，…,n+1)

C.使用方案①調(diào)整，當CM<G?}時，a>1

D.使用方案②調(diào)整，當電=型二=1,2,…,n+1),c<InlO時，G*)VC.

20.(2022?遼寧虎平縣實修中學模板H測)甲、乙兩人進行2n(nGN,)局羽毛球比賽(無平局),每局甲獲勝的

概率均為十.規(guī)定：比賽結(jié)束時獲勝局數(shù)多的人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P5)，假設(shè)每局比賽互

不影響，則()

A.P(D=jB.汽3)=帶C.P(n)=1-D.P(力單調(diào)遞增

21.(2022江蘇秦州?模擬料測)設(shè)一組樣本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：皿,72-一，4，其中門6'*,孫02「、％€冗已知該

樣本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均數(shù)為云,方差為一,設(shè)函數(shù)f(x)=f(6一工尸，工€R.則下列說法正確的是()

A.設(shè)b€/?,則X\+b,x-2+b,-",xn+b的平均數(shù)為x+b

B.設(shè)Q€R,貝IJQHI,O3：2,…,如“的方差為公？

c.當工=無時，函數(shù),3)有最小值儂？

22

D.f(xi)+f(x2)+-■■+f(x?)<ns

第3頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

22.（2022?江蘇盾JL山中學南三階段練習）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)?個這種微生

物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相

互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（X=i）=p,（i=0,l,2,3）.

2

假設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，且p是關(guān)于工的方程：po+p.x+p2x+p.,x'=x

的一個最小正實根，則下列說法正確的是（）

A.1是方程：pn+pi2：+p2/+P3/=0的根B.當E（X）=1時，p=l

C.當E（X）＞1時，p=lD.當E（X）Vl時，p=l

23n

23.（2022?江落南京?高三開學才試）設(shè)（1—2a;）”=即+4工+a-2x+a3x4--l-a?x,xER,nEN?，則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.一號+黑一黑+…+（-1）"嘉=2'*—1B.當n>3時，2a2+6a3H-----Fn（n—l）a?=4n（n—1）

71n

C.若|a?|>同，1aliI>|刖|,則71=12D.當工=-2擊。'=2022時，（1-2x）>^y-

24.（2022?福堂痛連城縣第一中學高三階段練習）為排查新型冠狀病毒肺炎患者,需要進行核酸檢測.現(xiàn)有兩

種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測:將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測,若檢測結(jié)果為陰性,

則這人份核酸全為陰性，因而這卜份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核

酸樣本究竟哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為k+1

次.假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，并且每份樣本是

陽性的概率都為p（OVpVI）,若卜=10,運用概率統(tǒng)計的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)

于逐份檢測方式.（參考數(shù)據(jù)：幅0.794%-0.1）（）

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

25.（2022?和堂泉州?高三開學才試）若數(shù)列｛%｝的通項公式為為=（一1）"T,記在數(shù)列｛%｝的前n+

2（neN*）項中任取兩項都是正數(shù)的概率為R,則（）

A.R=]

B.B"VBn+2C.fin-1vPinD.P>n-i+V+Pin+2-

26.（2022?江蘇?高三壽愚練習）卜一列說法不正確的是（）

A.隨機變量X~B（3,0.2）,則尸（X=2）=0.032

B.某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為X且X~B（10,0.8），則當X=8時概率最大；

C.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不

對立的事件

D.從10個紅球和20個白球顏色外完全相同中，一次摸出5個球，則摸到紅球的個數(shù)服從超幾何分布；

三、填！

27.（2022?湖北?宜城市第二方it中學高三開學考試）己知y,f,d為正整數(shù)，/㈤=（1+工）"+（1+工）'+（1+①）

其中Z的系數(shù)為10,則/的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為.

28.（2022?浙江?模板覆測）“迎冬奧，跨新年，向未來”，水球中學將開展自由式滑雪接力賽.自由式滑雪接力

賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個項目，參賽選手每人展示其中一個項目.現(xiàn)安排兩名男生和

兩名女生組隊參賽，若要求相鄰出場選手展示不同項目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項目，且三個項目

均有所展示,則共有種出場順序與項目展示方案.（用數(shù)字作答）

29.（2022?上海?玄三專題練習）對于nCN?，將n表示為n=acx2*+aix2^'+a2x2"?+…+a1x21+a,x

第6頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

2°,i=0時，5=1,當1W卜時，出為0或1,記/(ri)為上述表示中場為。的個數(shù);例如4=1x2?+0x2】

+0x2°,11=1X23+0X22+1X2-1X2°,故/⑷=2,/⑴)=1；則2""+2,⑵+…+2/仲)+2"闞=_

30.（2022?上海率處二模）設(shè)項數(shù)為4的數(shù)列｛4｝滿足：七€｛—1,0,1｝工€｛1,2,3,4｝且對任意14卜</44,

R€N,ZWN,都有加+a』+…+可|41,則這樣的數(shù)列｛%｝共有個.

31.（2022?金厘?高三?題練習）某商場經(jīng)銷43兩種生活消耗品，顧客每次必買且只買其中一種，經(jīng)過統(tǒng)計

分析發(fā)現(xiàn):顧客第一次購買時購買A的概率為j-.前一次購買A的顧客下一次購買A的概率為:，前一

次購買B的顧客下一次購買A的概率為方,那么某顧客第n次來購買時購買4產(chǎn)品的概率為

32.（2022?廣東?東莞B中高三階段練習）有一種投擲骰子走跳棋的游戲:棋盤上標有第1站、第2站、第3站、

…、第10站，共10站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為￡,若一枚棋子開始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，

棋子向前跳動一次.若骰子點數(shù)小于等于3,棋子向前跳一站:否則，棋手向前跳兩站，直到棋子跳到第9

站（失?。┗蛘叩?0站（獲勝）時，游戲結(jié)束.則￡=:該棋手獲勝的概率為

33.（2022?江蘇省濱海中學模擬演測）設(shè)a、b、m（m>0）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b

對模7n同余，記為a=b（inodm）：已知a-Cg++-l-Cg+,,?+-Aj-C9+,b=a（mocllt）），則滿足條

/JAUJ.U

件的正整數(shù)b中，最小的兩位數(shù)是.

34.（2022?山西呂梁?二#（文））在一次新兵射擊能力檢測中，每人都可打5槍,只要擊中靶標就停止射擊,合格

通過；5次全不中，則不合格.新兵4參加射擊能力檢測，假設(shè)他每次射擊相互獨立，且擊中靶標的概率

均為p（0VpV1）,若當P="時，他至少射擊4次合格通過的概率最大,則p,尸.

35.（2022?上海市育浦充H中學模板我測）如圖，由6x6=36個邊長為1個單位的小正方形組成一個大正方

形.某機器人從C點出發(fā)，沿若小正方形的邊走到。點,每次可以向右走一個單位或者向上走一個單位.

如果要求機器人不能接觸到線段那么不同的走法共有種.nD

36.（2022?浙江浙江?玄三階段練習）一個袋中共有5個大小形狀完全相同的紅球、白球和黑球，其中紅球有1

個.每次從袋中拿一個小球，不放回，拿出紅球即停.記拿出的黑球個數(shù)為4且P（￡=0）=+，則隨機變量

占的數(shù)學期望E（￡）=.

37.（2022?全國三專題練習（理））有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一

步一階或一步兩階，小王同學7步登完樓梯的概率為.

38.（2022?全國?高三?題練習）設(shè)隨機變量E服從正態(tài)分布N（O,l）,則下列結(jié)論正確的是.（填序

號）

①P（因Va）=P（￡<a）+P（g>—a）（a>0）：

②尸（If|<a）=2P（EVa）-1（a>0）；

③P（圖Va）=l-2P（￡Va）（a>0）；

第6頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

④P(圖Va)=1-P(恰|>a)(a>0).

39.（2022?全國?高三專題練習）如圖，將一個大等邊三角形分成三個全等三角形與中間的一個小等邊三角形,

1

40.（2022?全三寺題峰習（文））將楊輝三角中的每一個數(shù)C；都換成分數(shù)，就得到一個如圖所

(n+l)C；

示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：言位+1

?+l)C滬

1_1,1,1.1,,11

W，令冊=至+五+巒+福+~+記+而石立S”是｛a“｝的前n項和，則S”=

1

1

11

2

1

363

11

4n4

203020

1X_L_L1

3060606

1A._L.

7421051401057

41.（2022?全國?高三壽題練習）考查等式：C：；Crm+C：C：4+…+C：C"m=C**）,其中n,m,r€N*,r&m

Vn且「4九一加.某同學用概率論方法證明等式（*）如下：設(shè)一批產(chǎn)品共有n件，其中rn件是次品，其余

為正品.現(xiàn)從中隨機取出r件產(chǎn)品，記事件4=｛取到的r件產(chǎn)品中恰有k件次品｝，則P（Ak）=咪廿,

k=0,1,2,…，r.顯然A。，A1，…，4為互斥事件，且4U4U…UA,=0（必然事件），因此1=P（。）=

，所以以oao-+。久工

P（A?）+P（A1）+-+P（A）=o+…+&。晨，

=a,即等式（*）成立.對此，有的同學認為上述證明是正確的，體現(xiàn)了偶然性與必然性的統(tǒng)一;但有的同

學對上述證明方法的科學性與嚴謹性提出質(zhì)疑.現(xiàn)有以下四個判斷:①等式（*）成立,②等式（*）不成立，

③證明正確，④證明不正確,試寫出所有正確判斷的序號.

42.（2022?浙江?高三?蜃練習）已知關(guān)于7的方程|x-a|+|x-6|=|x-c|+|?-d\有且僅有一個實數(shù)根，其

中互不相同的實數(shù)a、b、c、dC｛1,2,3,4,5,6｝,且|a—"=|c—d|,則a、b、c、d的可能取值共有

種.（請用數(shù)字作答）

43.（2022?全國?寄三專題練習）如圖，在3x3的點陣中，依次隨機地選出三個點，則選出的三點滿足

AB?400的概率是.

44.（2022?全國?高三?題練習）對一個物理量做n次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.

已知最后結(jié)果的誤差*「N（0，V）,為使誤差卻在（-0.5,0.5）的概率不小于0.9545,至少要測量

第8頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

次(若X~N(〃,泊，則P(|X|V2<r)=0.9545)).

45.（2022?全國三壽題練習（文））楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種兒何排列，在我國南宋數(shù)學家

楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就出現(xiàn)了，在數(shù)學史上具有重要的地位.現(xiàn)將楊輝三角中的每

一個數(shù)C；都換成一就得到一個如卜,表所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三

（n+1）C；

角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，比如從第。行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和.如果n>2（n€N）,

那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的性質(zhì)描述正確的是.

①當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最小值：當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等,且同時取得最小值;

②—I=_I________L_.

J（n+1）GI（n+l）C,'nW；

④（n+；）C「+而抬=

第o行y

第1行費費

第2行m

第3行—-i--

樂,”412124

(n+1)C?(n+1)C：(n+1)。不

46.（2022?上海市進才中學高三期中）定義域為集合｛1,2,3,…,12｝上的函數(shù)/（0滿足:①f（l）=1：②+1）

一f3）|=13=l,2,…,ll）：③_/■（l）、/（6）、f（12）成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)『（工）的個數(shù)為

47.（2022?全國?高三寄題舔習（理））新冠疫情期間，甲、乙、丙三個家庭在某醫(yī)院等候區(qū)等待核酸檢測結(jié)果.等

候區(qū)是6（列）x2（行）的座位.甲、乙家庭各有三人，且乙家庭有一個小孩,丙家庭有兩人.現(xiàn)有相關(guān)規(guī)定:

同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之間不能太接近（左右不相鄰），小孩至少坐在其一位家長

身邊（左右相鄰）.則共有種坐法.

48.（2022?夏慶?高三階段練習）驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干

擾象素（防止OCR）,由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗證，驗證成功后才能使用某

項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入

證的登錄驗證碼由0,1,2,…，9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減的驗證

碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532,12543）,已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數(shù)

字是7的概率為.

49.（2022?殳國病三專題練習）2019年暑假期間，河南有一新開發(fā)的景區(qū)在各大媒體循環(huán)播放廣告，觀眾甲首

次看到該景區(qū)的廣告后,不來此景區(qū)的概率為2,從第二次看到廣告起，若前一次不來此景區(qū)，則這次來

第8頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

此景區(qū)的概率是上，若前一次來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是!■.記觀眾甲第幾次看到廣告后不來此

景區(qū)的概率為E，若當n>2時，R&M恒成立，則M的最小值為.

50.（2022.上洋?高三壽題練習）某人有兩盒火柴,每盒都有n根火柴,每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從

中抽出一根，求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時另一盒還有r根（1</<力的概率.

四、雙空JK

51.（2022?江蘇霍木洪商it中學模根演測）甲乙兩人進行乒乓球比賽,現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一

局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是P，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若0

Vp《J,則E（X）的最大值是；D（X）的取值范圍是.

52.（2022?天津五十七中模板演測）第24屆冬奧會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國郵政

陸續(xù)發(fā)行了多款紀念郵票，其圖案包括“冬夢”、“冰墩墩”、“雪容融”等.小王有3張“冬夢”，2張“冰墩

墩”和2張“雪容融”郵票;小李有“冬夢”、“冰墩墩"、“雪容融”郵票各1張.小王現(xiàn)隨機取出一張郵票送

給小李，分別以4、4、4表示小王取出的是“冬夢”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再隨機取出一張

郵票，以B表示他取出的郵票是“冰墩墩”的事件，則P國4）=,P（B）=

53.（2022?全國?商三壽題練習）某盒中有9個大小相同的球，分別標號為1,2,…，9,從盒中任取3個球，則取

出的3個球的標號之和能被3整除的概率是:記€為取出的3個球的標號之和被3除的余數(shù),

則隨機變量的數(shù)學期望E（g）=.

狒1?發(fā)38）頊10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

統(tǒng)計與概率壓軸小題

一、單選題

1.（2022?湖北?宜城市第二高稅中學高三開學考試）設(shè)集合A={1,2,…,2022},集合S是集合4的非空子集,

S中最大元素和最小元素的差稱為集合S的長度，那么集合S所有長度為73的子集的元素個數(shù)之和為

（）

A.272-38-1949B.2n-1949C.273-37-1949D.270-76-1949

I答案】A

【解析1當最小元素為1,最大元素為74時，集合有如下情況：

集合中只含2個元素；{1,74},只有1種情況；

集合中含有3個元素；{l,a,74},24a《73且aCZ,共有種情況；

集合中含有4個元素；{1,Ac,74},273且b,cCZ,共有種情況；

以此類推……

集合中含有74個元素；{1,2，…,73,71},有有C唱種情況；

所以此類滿足要求的子集元素個數(shù)之和：

M—2C~）+3a?+4C72+73C72+74c7：①

M=74。君+73C?；+…+3。）+2C%②

C%=CQ,0<r<72,rGZ

②兩式相加可得：

2A/=76（備++…+C?+。臉=76x2n

M—38x272

同理可得：{2,…,75},{3,…,76},……，”949,…,2022},所有子集元素個數(shù)之和都是38X272

二集合S所有長度為73的子集的元素個數(shù)之和為2~J■38?1949.

故選:A

2.（2022.湖北?宣城市第二高級中學高三開學才試）小林同學喜歡吃4種堅果:核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5

種顏色的“每日堅果''袋,每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學希望五個袋子中所裝堅

果種類各不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

【答案】A

【解析】依次記核桃、腰果、杏仁、棒子為H,y,X,Z,則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算分堆可能：

（1）/7,H-Y,Y,X,X;Z,Z.

若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的"4"必須是HYXZ,故1種可能；

若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（派）（※），故有=12種可能；

若是“8=1+1+2+2+2”，則考慮（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有3川=12種可掂；

小計：1+12+12=25;

⑵諸如"H,H,H,H-Y,Y-X,X-Z,Z”類型

若是"10=4+3+1+1+1”，則四個H無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放，，故。種可能；

若是"10=4+2+2+1+1”,則"1+1”中有一個是",“4+2+2”中各一個H,“2+2”中除了一個，外，

另一個互異，故有或=3種可能；

若是“10=3+3+2+1+1"，則“1+1”中各有1個月,“3+3+2"中各一個“，可以考慮含※模式，（H

派派）（，派派）（”派）（※）（"），故有。；&=6種可能；

若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進一步分類，有1+方+。；。］=10種可能；

第1Q頁，共39頁10/13

考點或配套習題——突擊沖刺訓練專用材料整理匯編

2023屆高考數(shù)學專項練習統(tǒng)計與概率壓軸小題含答案

YXZ“※H

f/※※口※丹※X

※※H

若是"10=2+2+2+2+2”，則四個月至少有兩個出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；

小計：C；x(0+3+6+10+0)=76;

⑶諸如Y,Y,Y,Y;X,X;Z,Z"類型

若是"12=4+4+2+1+1",則"4+4”必然重復，故0種可能；

若是“12=4+3+3+1+1"，則枚舉“3+3”的情況,發(fā)現(xiàn)僅(HYXZ)(HYZ)(HYX)(Z)(X)可能;

若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮(HVXZ)(HYx)(派冰)(派派)(※)或(HYXZ)(XZ派)(派派)

(派派)(※)，故有&&=4種可能；

若是"12=3+3+3+2+1”，則有(HYX)(HYZ)(ZXH)(HY)(Y)或(HYX)(HYZ)(ZXY)(HY)(H)

都成立，有2種可能；

若是"12=3+3+2+2+2"，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)("^)("")(，丫)(“^)(曠派)，有2種可能.

小計。9=54;

諸如“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z”類型

若是“14=4+4+*+*+*”,則"4+4”必然重復，故0種可能；

若是"14=4+3+3+3+1"，則“4+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；

若是“14=4+3+3+2+2"，則“4+3+3”至少有2個Z,考慮(HYXZ)(HYX)侈※X)(XX)(XX),

其中Z※※有穹=3種可能，故此小類有3種可能；

若是"14=3+3+3+3+2”,則"3+3+3+3"中至少有3個Z,故0種可能；

小計3a=12;

⑸Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z,Z,Z”

只有"16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；

綜上：共有25+76+54+12+1=168個分堆可能，故不同的方案數(shù)為1684=168x120=20160種.

故選:A

3.(2022?全國?方三專題練習)設(shè)㈤位)是離散型隨機變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是()

A.E(X+InX)>E(X)+ln(E(X))B.E(X2hiX)>E2(X)ln(E(X))

C.召(X+sinX)>E(X)+sin(E(X))D.S(X2sinX)>E2(X)sin(E(X))

【答案】A

【解析】4:由y=:r+Ina:且定義域為(0,+<?),8'］y'=1+—,y'=--g<0,即“為上凸函數(shù)，有

XX'

.+In電:6+Ing<%包+m丐衛(wèi),所以E(x+lnX)<E(X)+ln(E(X));

J3:由y=x2lns且定義域為(0,+8),則？'=2x\nx+x,y"=21nx+3,顯然(e-+8)上y">0,即y在

(e氣+8)為下凹函數(shù)，砌竺筍!些>(露用逛■，所以存在E(X%iX)>E2(X)ln(E(X));

C:由y=x+sin?,則￡=1+cosc,/=—sini,顯然在［(2fc—1)%2氏］，石GZ上，>0,即y在［(2k—1)

兀,2版］,kWZ為下凹函數(shù)，有山%色士也生>中+5加空，所以存在E(X+sinX)>

E(X)+sin(