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最優(yōu)控制中的變分法4.12泛函及其定義域若對(duì)于某類函數(shù)中的所有函數(shù)x(t),變量J都有一確定的值與之對(duì)應(yīng),則稱為依賴于函數(shù)(t)的泛函,記作=幾[x(t)如圖,平面上給定兩點(diǎn)之間的曲線長(zhǎng)度是一個(gè)泛函設(shè)兩點(diǎn)間曲線長(zhǎng)度為J取單位弧長(zhǎng)d,則有dl=√(dx)2+(dy)2單位弧長(zhǎng)變化率=√1+y則兩點(diǎn)間曲線長(zhǎng)度[y(x)=l=1+圖4-1平面上給定兩點(diǎn)間的曲線長(zhǎng)度其值取決于函數(shù)y(x)的選取定義4-10設(shè)R"為n線性賦范空間,R為實(shí)數(shù)集,若存在對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系y=J(x),Vx∈R",y∈R4-1)則J(x)稱為R到R的泛函算子。若式(4-1)滿足下列線性條件①J(x+x2)=J(x1)+J(x2),Vx1x2∈R”(4-2J(ax)=a/(x),Vx∈R則J(x)稱為線性泛函算子。4.13泛函的變分定義4-13設(shè)J(x)是線性賦范空間R"上的連續(xù)泛函,若其增量可表示為/(x)=J(x+)-J(x)=L(x,ax)+r(x,O)(4-6)式中L(x,b)是關(guān)于x的線性連續(xù)泛函,r(x,a)是關(guān)于&c的高階無(wú)窮小,則=L(x,稱為泛函J(x)的變分定理4-1設(shè)J(x)是線性賦范空間R”上的連續(xù)泛函,若在x=x0處J(x)是可微的,xx∈R,則其變分為∞(x0,Ox)=一J(x,Ea)l0,0≤E≤(4-7)P1

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