光學(xué)教程第五章New課件

光學(xué)教程第三篇傅里葉光學(xué)7/21/20230第五章變換光學(xué)與全息照相研究的主要問題：傅里葉變換；衍射問題的傅里葉表述；阿貝的二次成像理論和濾波。要點(diǎn)：1.傅里葉變換和光學(xué)變換間的關(guān)系；2.二次成像理論中對(duì)頻譜的操作。7/21/20231引言：

本世紀(jì)四十年代末，將通訊理論中的一些觀點(diǎn)、概念和方法移植到光學(xué)中產(chǎn)生了傅里葉光學(xué)。傅里葉光學(xué)以經(jīng)典波動(dòng)光學(xué)原理為基礎(chǔ)，討論光的衍射、成像、濾波、全息術(shù)等問題，但采用了信息論的描述和分析方法，如把光視作信息，根據(jù)線性系統(tǒng)理論在空間頻率域中描述和分析系統(tǒng)。1960年問世的激光器提供了相干性好、亮度高的新型光源，使傅里葉光學(xué)獲得迅速的發(fā)展和應(yīng)用，成為了現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)重要分支?！?.1傅里葉變換7/21/20232傅里葉函數(shù)：

設(shè)一個(gè)周期函數(shù)g(x)的周期為d，滿足狄利克雷條件，即在一個(gè)周期內(nèi)：則g(x)可以展開為下列三角級(jí)數(shù)，稱傅里葉級(jí)數(shù)。（1）單值；（2）只有有限個(gè)極值點(diǎn)和不連續(xù)點(diǎn)，7/21/20233傅里葉函數(shù)：光學(xué)中研究的函數(shù)g(x)通常是空間函數(shù)，因而空間周期的倒數(shù)f0=1/d即為空間頻率，k0=2/d則為空間圓頻率。由上式可見，周期函數(shù)g(x)可以表示為一系列頻率為原函數(shù)頻率f0整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧函數(shù)的線性組合，f0稱為基頻，其它頻率f0=mf0稱為諧頻或倍頻。7/21/20234傅里葉函數(shù)：

m次諧頻成份可寫為：以頻率為橫坐標(biāo)，以各頻率成份對(duì)應(yīng)的振幅Am為縱坐標(biāo)的圖形稱為該物理現(xiàn)象的振幅頻譜，簡(jiǎn)稱頻譜。若標(biāo)出頻率和相位的關(guān)系，則稱為相位頻譜。7/21/20235傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)：

考慮Eula公式：代入傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式，則有：7/21/20236傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)：若令：提問：式中的m的取值范圍反映了什么？7/21/20237一Ronchi（朗奇）光柵透光部分寬度為d/2，周期為d，振幅透射率函數(shù)為：例1：試將其展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：由題意可知待求為：7/21/20238Ronchi（朗奇）振幅透射率函數(shù)為：例1：解：7/21/20239項(xiàng)數(shù)越多，則其和越接近矩形函數(shù)。7/21/202310

對(duì)于非周期函數(shù)g(x)，如果它滿足狄利克雷條件，并在無窮區(qū)間（－，＋）絕對(duì)可積。可將展開為許多簡(jiǎn)諧函數(shù)的線性組合：傅里葉積分式中x0表示自變量的不同。兩相鄰諧頻成份的空間圓頻率間隔為：7/21/202311對(duì)于非周期函數(shù)，可看做是周期函數(shù)中周期d趨于無窮大的極限情況。當(dāng)d，k0，此時(shí)g(x)的諧頻分量的圓頻率值mk0（或空間頻率mf0）已變?yōu)檫B續(xù)量k(或f=k/2)。傅里葉積分若令：略去系數(shù)27/21/202312以上稱為傅里葉積分公式，稱G(k)是g(x)的傅里葉變換，或g(x)是G(k)的逆傅里葉變換。傅里葉積分以上表示將非周期函數(shù)g(x)分解為以eikx為基元函數(shù)的線性組合。G(k)為圓頻率k附近單位圓頻率間隔的振幅。7/21/202313傅里葉變換評(píng)述

傅里葉變換提供了將函數(shù)g(x)分解為一系列基元函數(shù)的線性組合的方法，對(duì)于能夠應(yīng)用疊加原理的線性系統(tǒng)是十分有效的。

對(duì)線性系統(tǒng)而言，可將激勵(lì)分解為一系列簡(jiǎn)單的基元函數(shù)的線性組合，然后分別計(jì)算系統(tǒng)對(duì)基元輸入的響應(yīng)，再把所有基元響應(yīng)疊加起來，得到總響應(yīng)。

重要地：光學(xué)系統(tǒng)中主要涉及光場(chǎng)的復(fù)振幅或光強(qiáng)隨空間坐標(biāo)的分布，這種以空間坐標(biāo)作為自變量來表示光場(chǎng)分布稱為空間域（空域）的描述；而以空間頻率作為自變量來表示光場(chǎng)則稱為空間頻率域（頻域）的描述。傅里葉變換和它的逆變換指出了空域和頻域兩種描述中物函數(shù)和它相應(yīng)的頻譜函數(shù)之間的聯(lián)系。7/21/202314對(duì)二維函數(shù)g(x,y)而言，其頻譜函數(shù)G(kx,

ky)為：二維傅里葉變換式二維傅里葉變換的意義？相應(yīng)的逆傅里葉變換為：7/21/2023157/21/202316

所謂準(zhǔn)單色光波，可看做持續(xù)時(shí)間為0的簡(jiǎn)諧波的一段，或場(chǎng)中某點(diǎn)在0時(shí)間內(nèi)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)產(chǎn)生的光波。其函數(shù)為：舉例――準(zhǔn)單色光波的分解其傅里葉分解為：時(shí)間的頻譜函數(shù)7/21/202317其功率譜（注意建立什么是功率譜的概念）為：舉例――準(zhǔn)單色光波的分解當(dāng)=0時(shí)，其主極大值：其兩側(cè)的第一極小位于：譜線的半寬度為：＝

－0時(shí)間相干性的反比公式：0＝17/21/202318其功率譜為：當(dāng)=0時(shí)，其主極大值：定義半寬度為半強(qiáng)度點(diǎn)：得：時(shí)間相干性的反比公式一致。若振子在持續(xù)時(shí)間0內(nèi)做振幅衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則：7/21/202319衍射區(qū)域的劃分

從基爾霍夫公式出發(fā)進(jìn)行討論：§5.2衍射理論中的傅里葉方法P點(diǎn)光場(chǎng)的復(fù)振幅為：考慮衍射屏的復(fù)振幅透射率函數(shù)：7/21/202320衍射區(qū)域的劃分考慮積分限的變更和積分面元的改寫：在上式中，考慮近似條件：cos1、分母中rz；對(duì)以上的r做進(jìn)一步的近似：7/21/202321衍射區(qū)域的劃分考慮旁軸區(qū)域：對(duì)r做二項(xiàng)式泰勒展開：以上的近似稱為菲涅耳近似。此時(shí)需：7/21/202322衍射區(qū)域的劃分故有近似成立時(shí)z值范圍：菲涅耳衍射積分公式得：若z值進(jìn)一步增大，在一定的觀察視場(chǎng)角情況下，(x,y)值比(x0,y0)大得多，即：7/21/202323衍射區(qū)域的劃分在此條件下，積分可只含x0和y0的線性項(xiàng)：此近似則成為夫瑯和費(fèi)近似，此時(shí)：夫瑯和費(fèi)積分簡(jiǎn)便，但可以看出，菲涅耳積分包含夫瑯和費(fèi)積分。7/21/202324例2：試證在點(diǎn)光源的共軛像面上接受到的是夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)。解：考慮照射在衍射屏的是在S’會(huì)聚的球面波，衍射屏不再是等相面?？紤]旁軸近似：在衍射屏另一側(cè)的透射波的復(fù)振幅分布為：旁軸條件下的菲涅耳衍射積分為：7/21/202325例2：試證在點(diǎn)光源的共軛像面上接受到的是夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)。解續(xù)：旁軸條件下的菲涅耳衍射積分為：代入，并消去二次相位因子，得：7/21/202326夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)現(xiàn)屏函數(shù)的傅里葉變換設(shè)入射單色平面波復(fù)振幅為1，且考慮空域坐標(biāo)和頻域坐標(biāo)有：故夫瑯和費(fèi)積分式可進(jìn)一步寫為：從上式可見：夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布等于屏函數(shù)的傅里葉變換與一個(gè)二次相位因子的乘積。7/21/202327夫瑯和費(fèi)衍射的性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換的數(shù)學(xué)性質(zhì)，分析夫瑯和費(fèi)衍射的物理特性：1.線性：線性變換，適合線性系統(tǒng)。若有：則對(duì)實(shí)系數(shù)a1,a2：相加圖像的頻譜等于單個(gè)圖像的頻譜的線性和。2.尺度縮放：空域中坐標(biāo)的伸縮，將導(dǎo)致頻域坐標(biāo)的壓縮或伸展：7/21/202328夫瑯和費(fèi)衍射的性質(zhì)3.平移：原函數(shù)在空域中平移，將導(dǎo)致頻譜函數(shù)在頻域中產(chǎn)生線性相移，反之亦然：則：衍射圖樣的強(qiáng)度分布與其相位因子無關(guān)，故當(dāng)衍射孔在其平面內(nèi)平移時(shí)，強(qiáng)度不變；若入射波斜入射，則衍射圖樣平移。7/21/202329夫瑯和費(fèi)衍射的性質(zhì)4.反轉(zhuǎn)：空域中原函數(shù)的坐標(biāo)反轉(zhuǎn)，將導(dǎo)致頻域中相應(yīng)函數(shù)的坐標(biāo)反轉(zhuǎn)。則：原函數(shù)為偶函數(shù)或奇函數(shù)，則其頻譜函數(shù)也為相應(yīng)的偶/奇函數(shù)：7/21/202330夫瑯和費(fèi)衍射的性質(zhì)5.對(duì)稱性：夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)的強(qiáng)度分布可寫為：將上式中的空域和頻域坐標(biāo)反轉(zhuǎn)，只要屏函數(shù)為實(shí)函數(shù)，則有：故對(duì)振幅型衍射屏，夫瑯和費(fèi)衍射圖樣有一對(duì)稱中心。7/21/202331夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的對(duì)稱性7/21/202332夫瑯和費(fèi)衍射的性質(zhì)6.守恒：原函數(shù)的模平方在空域中的積分值應(yīng)等于其頻譜的模平方在相應(yīng)頻域內(nèi)的積分值。或者說：通過衍射屏的光功率和通過透鏡后焦面的光功率相等（當(dāng)透鏡足夠大時(shí)）。7/21/202333

在光學(xué)系統(tǒng)中，透鏡主要有兩種作用：成像和相位變換。本節(jié)研究透鏡的相位變換作用及其產(chǎn)生傅里葉變換的條件。正是由于透鏡在一定條件下能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，使光學(xué)信息處理成為廣泛應(yīng)用?！?.3理想薄透鏡的傅里葉變換作用7/21/202334薄透鏡的相位變換作用

從波動(dòng)光學(xué)的觀點(diǎn)來看平行光的聚焦，可認(rèn)為透鏡將入射平面波變換成為出射的球面波，即透鏡具有改變波面形狀的作用，或者說，它改變了原平行波面的相位。波面形狀決定于光場(chǎng)中的相位值相同點(diǎn)的軌跡。故改變波面形狀就會(huì)改變光場(chǎng)的復(fù)振幅分布。7/21/202335薄透鏡的相位變換作用對(duì)薄透鏡，不考慮光線在透鏡內(nèi)部的偏折，而認(rèn)為入射點(diǎn)高度和出射點(diǎn)高度相等。透鏡對(duì)入射波相位的調(diào)制作用可描寫為：(x,y)稱為相位變換函數(shù)。圖中光程QQ’為：7/21/202336薄透鏡的相位變換作用故相位變換函數(shù)為：

透鏡前后的空氣隙(旁軸近似)故：7/21/202337薄透鏡的相位變換作用薄透鏡的像方焦距為：

故對(duì)相位變換函數(shù)有：上式表明：在旁軸條件下理想薄透鏡的相位變換函數(shù)具有純二次型的位相因子。7/21/202338薄透鏡的傅里葉變換特性：考慮入射是振幅為A的平面波：

光波由物平面到透鏡前表面的傳播由菲涅耳衍射積分公式計(jì)算：通過透鏡的光場(chǎng)為：7/21/202339薄透鏡的傅里葉變換特性：光波由透鏡后表面到后焦面的傳播，同樣可由菲涅耳衍射積分公式計(jì)算。故得輸出面上的光場(chǎng)為：7/21/202340薄透鏡的傅里葉變換特性：代入，消去二次指數(shù)項(xiàng)，有：代入透鏡前表面和后表面的光場(chǎng)公式，略去常數(shù)A，適當(dāng)改變積分次序，有：7/21/202341薄透鏡的傅里葉變換特性：7/21/202342薄透鏡的傅里葉變換特性：考慮變換公式：上式可改寫為：7/21/202343薄透鏡的傅里葉變換特性：7/21/202344薄透鏡的傅里葉變換特性：若物處于透鏡前表面，d0=0，則：若物平面位于透鏡和輸出平面之間，則有：一般情況下，相干平面波照明物平面時(shí)，透鏡后焦面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布，正比于物函數(shù)的傅里葉變換和一個(gè)二次相位因子的乘積。7/21/202345薄透鏡的傅里葉變換特性：物平面的相位彎曲對(duì)強(qiáng)度的計(jì)算沒有影響：透鏡后焦面上光強(qiáng)分布是物函數(shù)的傅里葉變換的模的平方，又稱物體的功率譜。物體位于正透鏡的物方焦面上，在相干平面波照明的條件下，像方焦面上任意點(diǎn)(x’,y’)光場(chǎng)的復(fù)振幅，就是物函數(shù)在該點(diǎn)的二維傅里葉變換。若物平面位于透鏡的物方焦面上，d0=f’

，則：

傅里葉變換平面、空間頻率平面7/21/202346

1873年Abbe對(duì)相干光提出了兩步衍射成像的相干成像過程：

首先：入射平面波經(jīng)光柵衍射在透鏡后焦面形成其夫瑯和費(fèi)衍射圖樣；

第二步：衍射圖樣作為透鏡的虛物，各虛物點(diǎn)的光波經(jīng)透鏡孔徑的限制而衍射，衍射波在焦面上干涉成像?！?.4Abbe成像原理7/21/202347阿貝二次成像：0級(jí)光衍射成像正負(fù)1級(jí)光衍射成像合成像按照傅里葉光學(xué)的觀點(diǎn)：相干成像第一步的夫瑯和費(fèi)衍射起分頻作用；第二步干涉起干涉作用。7/21/202348阿貝二次成像：物體經(jīng)透鏡成像的兩次衍射過程，可以用兩次相繼的傅里葉變換描述：又因：以上為第一次的成像變換過程。7/21/202349阿貝二次成像：

對(duì)第二次變換過程：其中：7/21/202350阿貝二次成像：

根據(jù)牛頓放大率公式：其中：像面上的光強(qiáng)分布為：7/21/202351阿貝二次成像：像面上的光強(qiáng)分布為：