無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總

無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂的必要條件：收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必趨于0.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對(duì)任意給定的正數(shù)￡，總存在N使得對(duì)于任何兩個(gè)N總有亳-Sjv-.（即部分和數(shù)列收斂）收斂級(jí)數(shù)具有線性性（即收斂級(jí)數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算得到的級(jí)數(shù)仍然收斂），而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)和一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和與差必發(fā)散.對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變?cè)谝粋€(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項(xiàng)不會(huì)影響斂散性.（二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷方法（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)基本定理：如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂大于的正整數(shù)m和n，（2）比較判別法（放縮法）：若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u和￡v之間自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系:nn=1n=1存在常數(shù)c>0，使u<cv(n=1,2,），那么（i）當(dāng)級(jí)數(shù)￡v收斂時(shí)，

nn=1級(jí)數(shù)￡unn=1亦收斂;（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)￡un發(fā)散時(shí)n=1級(jí)數(shù)￡vnn=1亦發(fā)散.推論：設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)切氣和工vnn=1n=1且自某項(xiàng)以后有f1<-^^，那么

uv級(jí)數(shù)￡級(jí)數(shù)￡unn=1亦收斂;（i）當(dāng)級(jí)數(shù)￡v收斂時(shí)，

nn=1（ii）當(dāng)級(jí)數(shù)￡un發(fā)散時(shí)n=1級(jí)數(shù)￡vnn=1亦發(fā)散.（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡氣和￡vnn=1 n=1「u7若limn=l>0，nsVn那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性相同?（注：可以利用無(wú)窮小階的理論和等價(jià)無(wú)窮小的內(nèi)容）另外，若I=°，則當(dāng)級(jí)數(shù)￡nn=1v收斂時(shí)，級(jí)數(shù)￡u亦收斂；若l=8，則當(dāng)級(jí)數(shù)￡u發(fā)n nn=1 n=1散時(shí)，級(jí)數(shù)￡vn亦發(fā)散.n=1常用度量：等比級(jí)數(shù)：工qn，當(dāng)\q<1時(shí)收斂，當(dāng)q>1時(shí)發(fā)散；n=0p-級(jí)數(shù)：￡-1，當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散（p=1時(shí)稱調(diào)和級(jí)數(shù)）;npn=1u1廣乂p-級(jí)數(shù)：產(chǎn)一V，當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散.nUnnJpn=2④交錯(cuò)p-級(jí)數(shù)：￡（-1）n-1—，當(dāng)p>1時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)0<p<1時(shí)條件收斂.npn=1（4）達(dá)朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡u，當(dāng)limUn^1=r<1時(shí)TOC\o"1-5"\h\zn 、uns虹n=1 n級(jí)數(shù)工un收斂；當(dāng)limun1=r>1時(shí)級(jí)數(shù)工un發(fā)散；當(dāng)r=1或r=1時(shí)需進(jìn)一步判斷.n=1 18n n=1（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)工匕，設(shè)r=lim，那么rV1. nT8n=1時(shí)此級(jí)數(shù)必為收斂，r>1時(shí)發(fā)散，而當(dāng)r=1時(shí)需進(jìn)一步判斷.（6）柯西積分判別法：設(shè)（6）柯西積分判別法：設(shè)工u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，n非負(fù)的連續(xù)函數(shù)f3）在區(qū)間［。,+8）上單調(diào)下降，且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：f（u）=u,則級(jí)數(shù)￡un與積分j下降，且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系：f（u）=u,n=1任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論與性質(zhì)（1）絕對(duì)收斂與條件收斂：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù)，反之不然;對(duì)于級(jí)數(shù)￡u，將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0，組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡V，其中nnTOC\o"1-5"\h\zn=1 n=1V=un+un；將它的所有負(fù)項(xiàng)變號(hào)而將正項(xiàng)換為0，也組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)工w，其中n2 nn=1W=un-un，那么若級(jí)數(shù)￡u絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)?和￡W都收斂；若級(jí)數(shù)￡un2 n n n nn=1 n=1 n=1 n=1條件收斂，則級(jí)數(shù)￡n=1

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)(將其項(xiàng)重新排列后得到的級(jí)數(shù))仍絕對(duì)收斂，且其和相同若級(jí)數(shù)￡u和￡v都絕對(duì)收斂，它們的和分別為"和v，則它們各項(xiàng)之積按照任何方nnn=1 n=1式排列所構(gòu)成的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和為"V.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積也絕對(duì)收斂，且和也為UV.[也絕對(duì)收斂，且和也為UV.n=1「nn=1n=1，這里c=uv+uv+ +uv+uv.nn=1n1n2n-1 n-1nn=1(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判斷(萊布尼茲判別法):若交錯(cuò)級(jí)數(shù)工(-1)n-1u滿足limu=0，1 nsn=1且七｝單調(diào)減少(即un>un+1)，則￡(-1)n-1un收斂，其和不超過(guò)第一項(xiàng)，且余和的符號(hào)n=1與第一項(xiàng)符號(hào)相同，余和的值不超過(guò)余和第一項(xiàng)的絕對(duì)值.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(一)冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域柯西-阿達(dá)馬定理：冪級(jí)數(shù)產(chǎn)氣(x-X0)n在|x—xj<R內(nèi)絕對(duì)收斂，在X—xj>Rn=0內(nèi)發(fā)散，其中R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.阿貝爾第一定理:若冪級(jí)數(shù)￡a”(x-x0)n在x=&處收斂，則它必在X-xj<|&-X0In=0內(nèi)絕對(duì)收斂；又若￡an(x-x0)n在x=&處發(fā)散，則它必在|x-x0|>&-x°|也發(fā)散.n=0推論1：若冪級(jí)數(shù)￡axn在x=&(&"0)處收斂，則它必在|x|<|&|內(nèi)絕對(duì)收斂；又若冪nn=0級(jí)數(shù)￡axn在x=&(&u0)處發(fā)散，則它必在|x|>|&|時(shí)發(fā)散.nn=0推論2：若冪級(jí)數(shù)￡a.(x-x0)n在x=&處條件收斂，則其收斂半徑R=|&-xj，若又有n=0an>0，則可以確定此冪級(jí)數(shù)的收斂域.收斂域的求法：令lim<1解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點(diǎn)處的斂散性，取并集.nT8a(x)n2.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)冪級(jí)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，收斂域取交集，滿足各項(xiàng)相加；進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，有:[Axn"n=0n\abn=°Xi=0s'JXn，收斂域仍取交集.(2)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S⑴在收斂域內(nèi)處處連續(xù)，且若冪級(jí)數(shù)*a(x-x0)n在"x0-Rnn=0處收斂，則S(x)在L0—R,x0+R)內(nèi)連續(xù)；又若冪級(jí)數(shù)*an(x—x)n=0斂，則S(x)在(X0-R,x0+r]內(nèi)連續(xù).(3)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開以及冪級(jí)數(shù)的求和(1)常用的冪級(jí)數(shù)展開:①ex=1+x+—x2+ +-!-xn+—=^*—，xe(—8,+8).2! n! n!n=0② =1+x+x2+?.?+xn—?= xn，xc(-1,1).1—xn=0，一1字/、

從而， 匕^(一x)1+xn=0

1宇…、一 =L(—1)nx2n.1+x2n=0③sinx=x—1x3+1x5—

3! 5!x2n+1—+(—1)n (2n+1)!+...=￡(—1)nn=0x2n+1(2n+1)!!X6(—8,+8).1.1 x2n④cosx=1——x2+—x4 +(—1)n 2! 4! (2n)!Ex2n(—1)n ，(2n)!n=0X6(—8,+8).ln(1+x)=x——x2+—x3 +(—1)n—i—xn+1+—=*(—1)n—1蘭，xe(—1,1].2 3 n+1 nn=1以(以一1) 以(以一1)—(以一n+1)(1+x)a=1+ax+ x2+—+ xn+—，xG(—1,1).2! ,n!. 1x3 (2n—1)!!x2n+1⑦arcsinx=x+ +—+ 23 (2n)!!2n+1+-=*4n(n!)2(2n+1)n=0竺!一-x2n+1，xe[—1,1]._ 1 …、 1⑧arctanx=x一一x3+ +(—1)n x2n+1+??3 2n+1.=*(—1)n—i—x2n+1，xe[—1,1].2n+1n=0(2)常用的求和經(jīng)驗(yàn)規(guī)律：級(jí)數(shù)符號(hào)里的部分尤可以提到級(jí)數(shù)外；系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有n，可以與X的冪合并，如將cn和xn合并為(以)n；對(duì)工anxn求導(dǎo)可消去氣分母因式里的n，對(duì)工anxn積分可消去匕分子因式里的n+1；n=0 n=0系數(shù)分母含n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n+1)!等可考慮正余弦函數(shù)的展開；有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過(guò)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個(gè)微分方程并求解(二)傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷收斂定理(本定理為套話，不需真正驗(yàn)證，條件在命題人手下必然成立)若f⑴以21為周期，且在［—/,/］上滿足：連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；只有有限個(gè)極值點(diǎn)；則f(x)誘導(dǎo)出的傅里葉級(jí)數(shù)在［-1,1］上處處收斂.傅里葉級(jí)數(shù)S(x)與f(x)的關(guān)系：f(x) ，x為連續(xù)點(diǎn);S(x)=jf(x+0)+f(x—0) ，x為間斷點(diǎn);2f(—1+0)+f(1—0) 、幾、為頁(yè)，匕 ——- 點(diǎn)為邊界點(diǎn).I2以21為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開:f(x)?S(x)=%+*(n世‘.n^x)

f(x)?S(x)=%+*n=1In1n1Ja=!J1f(x)dx0 1—1(1)在［—1,1］上展開：〈a=1\lf(x)cos^^dx；氣=(1)在［—1,1］上展開：〈(2)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)：①奇函數(shù)（或在非對(duì)稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級(jí)數(shù):a0=0<a=0b=-!1f(x)sin^^dx[nl0 l②偶函數(shù)（或在非對(duì)稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級(jí)數(shù):a0<an=—\lf(x)dx=—\lf(x)cosn^xdx；l0 l（1）卜sinnxdx=('E*1；卜cosnxdx=0;0 n 0（2）J2sinnxdx=—;J2cosnxdx=—sinn^；0 n0 n 2（3）JKxsinnxdx=(**'兀;JKxcosnxdx=(°"__-；JKx2cosnxdx="(*0 n 0 n2 0 n2（4）J v… 1eaxsinnxdx= eax(asinnx-ncosnx)+C；a2+n21eaxcosnxdx= eax(nsinnx+acosnx)+C；a2+n2（5）1 ., 、 1 .z 、八sinaxsinnxdx=一