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無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)必趨于0.收斂的充要條件(柯西收斂原理):對(duì)任意給定的正數(shù)£,總存在N使得對(duì)于任何兩個(gè)N總有亳-Sjv-.(即部分和數(shù)列收斂)收斂級(jí)數(shù)具有線性性(即收斂級(jí)數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算得到的級(jí)數(shù)仍然收斂),而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)和一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和與差必發(fā)散.對(duì)收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成級(jí)數(shù)仍然收斂,且其和不變?cè)谝粋€(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項(xiàng)不會(huì)影響斂散性.(二)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判斷方法(1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)基本定理:如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有上界,則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂大于的正整數(shù)m和n,(2)比較判別法(放縮法):若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)£u和£v之間自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系:nn=1n=1存在常數(shù)c>0,使u<cv(n=1,2,),那么(i)當(dāng)級(jí)數(shù)£v收斂時(shí),

nn=1級(jí)數(shù)£unn=1亦收斂;(ii)當(dāng)級(jí)數(shù)£un發(fā)散時(shí)n=1級(jí)數(shù)£vnn=1亦發(fā)散.推論:設(shè)兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)切氣和工vnn=1n=1且自某項(xiàng)以后有f1<-^^,那么

uv級(jí)數(shù)£級(jí)數(shù)£unn=1亦收斂;(i)當(dāng)級(jí)數(shù)£v收斂時(shí),

nn=1(ii)當(dāng)級(jí)數(shù)£un發(fā)散時(shí)n=1級(jí)數(shù)£vnn=1亦發(fā)散.(3)比較判別法的極限形式(比階法):給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)£氣和£vnn=1 n=1「u7若limn=l>0,nsVn那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)斂散性相同?(注:可以利用無(wú)窮小階的理論和等價(jià)無(wú)窮小的內(nèi)容)另外,若I=°,則當(dāng)級(jí)數(shù)£nn=1v收斂時(shí),級(jí)數(shù)£u亦收斂;若l=8,則當(dāng)級(jí)數(shù)£u發(fā)n nn=1 n=1散時(shí),級(jí)數(shù)£vn亦發(fā)散.n=1常用度量:等比級(jí)數(shù):工qn,當(dāng)\q<1時(shí)收斂,當(dāng)q>1時(shí)發(fā)散;n=0p-級(jí)數(shù):£-1,當(dāng)p>1時(shí)收斂,當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散(p=1時(shí)稱調(diào)和級(jí)數(shù));npn=1u1廣乂p-級(jí)數(shù):產(chǎn)一V,當(dāng)p>1時(shí)收斂,當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散.nUnnJpn=2④交錯(cuò)p-級(jí)數(shù):£(-1)n-1—,當(dāng)p>1時(shí)絕對(duì)收斂,當(dāng)0<p<1時(shí)條件收斂.npn=1(4)達(dá)朗貝爾判別法的極限形式(商值法):對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)£u,當(dāng)limUn^1=r<1時(shí)TOC\o"1-5"\h\zn 、uns虹n=1 n級(jí)數(shù)工un收斂;當(dāng)limun1=r>1時(shí)級(jí)數(shù)工un發(fā)散;當(dāng)r=1或r=1時(shí)需進(jìn)一步判斷.n=1 18n n=1(5)柯西判別法的極限形式(根值法):對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)工匕,設(shè)r=lim,那么rV1. nT8n=1時(shí)此級(jí)數(shù)必為收斂,r>1時(shí)發(fā)散,而當(dāng)r=1時(shí)需進(jìn)一步判斷.(6)柯西積分判別法:設(shè)(6)柯西積分判別法:設(shè)工u為正項(xiàng)級(jí)數(shù),n非負(fù)的連續(xù)函數(shù)f3)在區(qū)間[。,+8)上單調(diào)下降,且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系:f(u)=u,則級(jí)數(shù)£un與積分j下降,且自某項(xiàng)以后成立著關(guān)系:f(u)=u,n=1任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論與性質(zhì)(1)絕對(duì)收斂與條件收斂:絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù),反之不然;對(duì)于級(jí)數(shù)£u,將它的所有正項(xiàng)保留而將負(fù)項(xiàng)換為0,組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)£V,其中nnTOC\o"1-5"\h\zn=1 n=1V=un+un;將它的所有負(fù)項(xiàng)變號(hào)而將正項(xiàng)換為0,也組成一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)工w,其中n2 nn=1W=un-un,那么若級(jí)數(shù)£u絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)?和£W都收斂;若級(jí)數(shù)£un2 n n n nn=1 n=1 n=1 n=1條件收斂,則級(jí)數(shù)£n=1

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的更序級(jí)數(shù)(將其項(xiàng)重新排列后得到的級(jí)數(shù))仍絕對(duì)收斂,且其和相同若級(jí)數(shù)£u和£v都絕對(duì)收斂,它們的和分別為"和v,則它們各項(xiàng)之積按照任何方nnn=1 n=1式排列所構(gòu)成的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,且和為"V.特別地,在上述條件下,它們的柯西乘積也絕對(duì)收斂,且和也為UV.[也絕對(duì)收斂,且和也為UV.n=1「nn=1n=1,這里c=uv+uv+ +uv+uv.nn=1n1n2n-1 n-1nn=1(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判斷(萊布尼茲判別法):若交錯(cuò)級(jí)數(shù)工(-1)n-1u滿足limu=0,1 nsn=1且七}單調(diào)減少(即un>un+1),則£(-1)n-1un收斂,其和不超過(guò)第一項(xiàng),且余和的符號(hào)n=1與第一項(xiàng)符號(hào)相同,余和的值不超過(guò)余和第一項(xiàng)的絕對(duì)值.二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(一)冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域柯西-阿達(dá)馬定理:冪級(jí)數(shù)產(chǎn)氣(x-X0)n在|x—xj<R內(nèi)絕對(duì)收斂,在X—xj>Rn=0內(nèi)發(fā)散,其中R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.阿貝爾第一定理:若冪級(jí)數(shù)£a”(x-x0)n在x=&處收斂,則它必在X-xj<|&-X0In=0內(nèi)絕對(duì)收斂;又若£an(x-x0)n在x=&處發(fā)散,則它必在|x-x0|>&-x°|也發(fā)散.n=0推論1:若冪級(jí)數(shù)£axn在x=&(&"0)處收斂,則它必在|x|<|&|內(nèi)絕對(duì)收斂;又若冪nn=0級(jí)數(shù)£axn在x=&(&u0)處發(fā)散,則它必在|x|>|&|時(shí)發(fā)散.nn=0推論2:若冪級(jí)數(shù)£a.(x-x0)n在x=&處條件收斂,則其收斂半徑R=|&-xj,若又有n=0an>0,則可以確定此冪級(jí)數(shù)的收斂域.收斂域的求法:令lim<1解出收斂區(qū)間再單獨(dú)討論端點(diǎn)處的斂散性,取并集.nT8a(x)n2.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)冪級(jí)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí),收斂域取交集,滿足各項(xiàng)相加;進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí),有:[Axn"n=0n\abn=°Xi=0s'JXn,收斂域仍取交集.(2)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S⑴在收斂域內(nèi)處處連續(xù),且若冪級(jí)數(shù)*a(x-x0)n在"x0-Rnn=0處收斂,則S(x)在L0—R,x0+R)內(nèi)連續(xù);又若冪級(jí)數(shù)*an(x—x)n=0斂,則S(x)在(X0-R,x0+r]內(nèi)連續(xù).(3)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂域內(nèi)可以逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分收斂半徑不變.3.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開以及冪級(jí)數(shù)的求和(1)常用的冪級(jí)數(shù)展開:①ex=1+x+—x2+ +-!-xn+—=^*—,xe(—8,+8).2! n! n!n=0② =1+x+x2+?.?+xn—?= xn,xc(-1,1).1—xn=0,一1字/、

從而, 匕^(一x)1+xn=0

1宇…、一 =L(—1)nx2n.1+x2n=0③sinx=x—1x3+1x5—

3! 5!x2n+1—+(—1)n (2n+1)!+...=£(—1)nn=0x2n+1(2n+1)!!X6(—8,+8).1.1 x2n④cosx=1——x2+—x4 +(—1)n 2! 4! (2n)!Ex2n(—1)n ,(2n)!n=0X6(—8,+8).ln(1+x)=x——x2+—x3 +(—1)n—i—xn+1+—=*(—1)n—1蘭,xe(—1,1].2 3 n+1 nn=1以(以一1) 以(以一1)—(以一n+1)(1+x)a=1+ax+ x2+—+ xn+—,xG(—1,1).2! ,n!. 1x3 (2n—1)!!x2n+1⑦arcsinx=x+ +—+ 23 (2n)!!2n+1+-=*4n(n!)2(2n+1)n=0竺!一-x2n+1,xe[—1,1]._ 1 …、 1⑧arctanx=x一一x3+ +(—1)n x2n+1+??3 2n+1.=*(—1)n—i—x2n+1,xe[—1,1].2n+1n=0(2)常用的求和經(jīng)驗(yàn)規(guī)律:級(jí)數(shù)符號(hào)里的部分尤可以提到級(jí)數(shù)外;系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有n,可以與X的冪合并,如將cn和xn合并為(以)n;對(duì)工anxn求導(dǎo)可消去氣分母因式里的n,對(duì)工anxn積分可消去匕分子因式里的n+1;n=0 n=0系數(shù)分母含n!可考慮ex的展開,含(2n)!或(2n+1)!等可考慮正余弦函數(shù)的展開;有些和函數(shù)滿足特定的微分方程,可以考慮通過(guò)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)這個(gè)微分方程并求解(二)傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷收斂定理(本定理為套話,不需真正驗(yàn)證,條件在命題人手下必然成立)若f⑴以21為周期,且在[—/,/]上滿足:連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);只有有限個(gè)極值點(diǎn);則f(x)誘導(dǎo)出的傅里葉級(jí)數(shù)在[-1,1]上處處收斂.傅里葉級(jí)數(shù)S(x)與f(x)的關(guān)系:f(x) ,x為連續(xù)點(diǎn);S(x)=jf(x+0)+f(x—0) ,x為間斷點(diǎn);2f(—1+0)+f(1—0) 、幾、為頁(yè),匕 ——- 點(diǎn)為邊界點(diǎn).I2以21為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開:f(x)?S(x)=%+*(n世‘.n^x)

f(x)?S(x)=%+*n=1In1n1Ja=!J1f(x)dx0 1—1(1)在[—1,1]上展開:〈a=1\lf(x)cos^^dx;氣=(1)在[—1,1]上展開:〈(2)正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù):①奇函數(shù)(或在非對(duì)稱區(qū)間上作奇延拓)展開成正弦級(jí)數(shù):a0=0<a=0b=-!1f(x)sin^^dx[nl0 l②偶函數(shù)(或在非對(duì)稱區(qū)間上作偶延拓)展開成余弦級(jí)數(shù):a0<an=—\lf(x)dx=—\lf(x)cosn^xdx;l0 l(1)卜sinnxdx=('E*1;卜cosnxdx=0;0 n 0(2)J2sinnxdx=—;J2cosnxdx=—sinn^;0 n0 n 2(3)JKxsinnxdx=(**'兀;JKxcosnxdx=(°"__-;JKx2cosnxdx="(*0 n 0 n2 0 n2(4)J v… 1eaxsinnxdx= eax(asinnx-ncosnx)+C;a2+n21eaxcosnxdx= eax(nsinnx+acosnx)+C;a2+n2(5)1 ., 、 1 .z 、八sinaxsinnxdx=一

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