中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：與折疊有關(guān)的探究問題

人教版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題與折疊有關(guān)的探究題專題解讀：近幾年中考解答題中新出現(xiàn)的形式是以圖形的操作探究為主要形式來考查圖形的變化，折疊就是其中一種考查方式，其中結(jié)合有關(guān)線段、角、三角形、四邊形的知識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)各部分之間、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，關(guān)注的是學(xué)生有關(guān)圖形變化的操作活動經(jīng)驗(yàn)以及分析問題、解決問題的能力．解決此類問題，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的直觀想象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).例1

(2019·齊齊哈爾)綜合與實(shí)踐折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識．折一折：把邊長為4的正方形紙片ABCD對折，使邊AB與CD重合，展開后得到折痕EF，如圖1，點(diǎn)M為CF上一點(diǎn)．將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處，展開后連接DN，MN，AN，如圖2.75°(2)圖2中，試判斷△AND的形狀，并給出證明；解：△AND是等邊三角形．理由如下：由折疊及正方形可知DN＝CD＝AD，AN＝DN，∴AN＝DN＝AD．∴△AND是等邊三角形．剪一剪、折一折：將圖2中的△AND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，分別得到圖3、圖4.圖3圖412404例2：在學(xué)習(xí)完特殊的平行四邊形之后，某學(xué)習(xí)小組針對矩形中的折疊問題進(jìn)行了研究．問題背景：在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AD上的動點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，射線EC′與射線DA相交于點(diǎn)M.猜想與證明：(1)如圖1，當(dāng)EC′與線段AD交于點(diǎn)M時(shí)，判斷△MEF的形狀，并證明你的結(jié)論．操作與畫圖：(2)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，請?jiān)趫D2中作出此時(shí)的折痕EF和折疊后的圖形(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)注相應(yīng)的字母)．操作與探究：(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在線段DA的延長線上時(shí)，線段C′D′分別與AD，AB相交于P，N兩點(diǎn)，C′E與AB相交于點(diǎn)Q，連接MN并延長，交EF于點(diǎn)O.求證：MO⊥EF且MO平分EF.又∵∠B＝∠D′，∴△BEQ≌△D′FP.∴PF＝QE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC．∴AD－FD＝BC－BE.∴AF＝CE.由折疊可得，C′E＝EC，∴AF＝C′E.∴AP＝C′Q.∴△NC′Q≌△NAP.歸納總結(jié)折疊的本質(zhì)是軸對稱，是全等變換的一種，解決有關(guān)圖形折疊的綜合與實(shí)踐問題，要準(zhǔn)確理解折疊的本質(zhì)，熟練掌握“對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分”等軸對稱的性質(zhì)；要從不同角度認(rèn)識對稱軸的本質(zhì)——是對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，也是對應(yīng)線段夾角的平分線．在圖形的折疊過程中，還產(chǎn)生了一些基本圖形，如“線段中點(diǎn)”“等腰三角形”等.另外，解答此類問題，還要結(jié)合圖形本身的性質(zhì)從不同角度分析圖形中線段與角的關(guān)系，尋找解決問題的途徑.例3．問題情境：已知在正方形紙片ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，將正方形紙片沿CE所在直線折疊，點(diǎn)B