中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題:與折疊有關(guān)的探究問題_第1頁
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人教版九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題與折疊有關(guān)的探究題專題解讀:近幾年中考解答題中新出現(xiàn)的形式是以圖形的操作探究為主要形式來考查圖形的變化,折疊就是其中一種考查方式,其中結(jié)合有關(guān)線段、角、三角形、四邊形的知識,體現(xiàn)數(shù)學(xué)各部分之間、數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系,關(guān)注的是學(xué)生有關(guān)圖形變化的操作活動經(jīng)驗(yàn)以及分析問題、解決問題的能力.解決此類問題,需要學(xué)生具有較強(qiáng)的直觀想象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).例1

(2019·齊齊哈爾)綜合與實(shí)踐折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一,通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形,同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識.折一折:把邊長為4的正方形紙片ABCD對折,使邊AB與CD重合,展開后得到折痕EF,如圖1,點(diǎn)M為CF上一點(diǎn).將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處,展開后連接DN,MN,AN,如圖2.75°(2)圖2中,試判斷△AND的形狀,并給出證明;解:△AND是等邊三角形.理由如下:由折疊及正方形可知DN=CD=AD,AN=DN,∴AN=DN=AD.∴△AND是等邊三角形.剪一剪、折一折:將圖2中的△AND剪下來,將其沿直線GH折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,分別得到圖3、圖4.圖3圖412404例2:在學(xué)習(xí)完特殊的平行四邊形之后,某學(xué)習(xí)小組針對矩形中的折疊問題進(jìn)行了研究.問題背景:在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AD上的動點(diǎn),且BE=DF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處,點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處,射線EC′與射線DA相交于點(diǎn)M.猜想與證明:(1)如圖1,當(dāng)EC′與線段AD交于點(diǎn)M時(shí),判斷△MEF的形狀,并證明你的結(jié)論.操作與畫圖:(2)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí),請?jiān)趫D2中作出此時(shí)的折痕EF和折疊后的圖形(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡,標(biāo)注相應(yīng)的字母).操作與探究:(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在線段DA的延長線上時(shí),線段C′D′分別與AD,AB相交于P,N兩點(diǎn),C′E與AB相交于點(diǎn)Q,連接MN并延長,交EF于點(diǎn)O.求證:MO⊥EF且MO平分EF.又∵∠B=∠D′,∴△BEQ≌△D′FP.∴PF=QE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC.∴AD-FD=BC-BE.∴AF=CE.由折疊可得,C′E=EC,∴AF=C′E.∴AP=C′Q.∴△NC′Q≌△NAP.歸納總結(jié)折疊的本質(zhì)是軸對稱,是全等變換的一種,解決有關(guān)圖形折疊的綜合與實(shí)踐問題,要準(zhǔn)確理解折疊的本質(zhì),熟練掌握“對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分”等軸對稱的性質(zhì);要從不同角度認(rèn)識對稱軸的本質(zhì)——是對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線,也是對應(yīng)線段夾角的平分線.在圖形的折疊過程中,還產(chǎn)生了一些基本圖形,如“線段中點(diǎn)”“等腰三角形”等.另外,解答此類問題,還要結(jié)合圖形本身的性質(zhì)從不同角度分析圖形中線段與角的關(guān)系,尋找解決問題的途徑.例3.問題情境:已知在正方形紙片ABCD中,AB=4,點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn),點(diǎn)G是CE的中點(diǎn),將正方形紙片沿CE所在直線折疊,點(diǎn)B

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