高考數(shù)學(xué)壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題1.4 極值點(diǎn)偏移第二招-含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 (含解析)

含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)猄KIPIF1<0的基礎(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).★例1.已知函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.不妨設(shè)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此只要證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再次換元令SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0構(gòu)造新函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求導(dǎo)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，因此原不等式SKIPIF1<0獲證.★例2.已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0法二：利用參數(shù)SKIPIF1<0作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè)SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，欲證明SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴即證SKIPIF1<0，∴原命題等價(jià)于證明SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，反解出：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.★例3.已知SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；

（2）求證：SKIPIF1<0.要證：SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0，也等價(jià)于SKIPIF1<0，等價(jià)于即證：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，即證原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】從消元的角度，消掉參數(shù)SKIPIF1<0，得到一個(gè)關(guān)于SKIPIF1<0的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明相應(yīng)不等式.★例4.已知函數(shù)SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.再證：SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.證畢.【招式演練】★設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求證：SKIPIF1<0.（2）證明：由SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，下面只要證明：SKIPIF1<0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖像可知，只需證：SKIPIF1<0兩點(diǎn)連線的斜率要比SKIPIF1<0兩點(diǎn)連線的斜率小即可，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，∴原不等式SKIPIF1<0成立.★設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其圖像在點(diǎn)SKIPIF1<0處切線的斜率為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個(gè)根，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)，求證：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)）.★設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，又依題意SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在定義域上單調(diào)遞增，所以要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0……不妨設(shè)SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，由函數(shù)單調(diào)性知，有SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，從而不等式式成立，故原不等式成立.★已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若SKIPIF1<0有兩零點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），求證：SKIPIF1<0.【點(diǎn)評(píng)】1.方程的變形方向：①SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，1是該函數(shù)的極值點(diǎn).②SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，SKIPIF1<0是該函數(shù)的極值點(diǎn).2.難點(diǎn)SKIPIF1<0的證明依賴?yán)肧KIPIF1<0放縮.★已知函數(shù).（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)x1,x2是【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，f(a+x)<f(a?x)（Ⅱ）令，則.求導(dǎo)數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù).而，，故當(dāng)時(shí)，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，故，從而的最小值為，且，不妨設(shè)，則，，由（Ⅱ）得，從而，于是，由（Ⅰ）知，.點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性.不等式比較大小，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題：在（Ⅰ）中通過(guò)求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，求函數(shù)當(dāng)時(shí)的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問(wèn)的結(jié)論.★已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)SKIPIF1<0，對(duì)于曲線SKIPIF1<0上的兩個(gè)不同的點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見(jiàn)解析由題設(shè)得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.★已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與曲線SKIPIF1<0相切的直線方程；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為非零實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見(jiàn)解析∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴切線的斜率為SKIPIF1<0，∴切線方程為SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有兩個(gè)極值點(diǎn)，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù)SKIPIF1<0.根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）若函數(shù)SKIP