微積分下第七章

一、三重積分的定義二、三重積分的計算三、小結第三節(jié) 三重積分的

計算設

f

(

x,

y,

z)是空間有界閉區(qū)域W

上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域W

任意分成n個小閉區(qū)域Dv1，Dv2,,Dvn

，其中Dvi

表示第i

個小閉區(qū)域，也表示它的體積,在每個Dvi

上任取一點(xi

,hi,zi)作乘積

f

(xi

,hi

,zi

)

Dvi

，(i

=

1,2,,

n)，并作和,

如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)

f

(

x,

y,

z)在閉區(qū)域W

上的三重積分，記為

f

(

x,

y,

z)dv

,W一、三重積分的定義Wnlfi

0

i

=1即

f

(x,y,z)dv

=lim

f

(xi

,hi

,zi

)Dvi

.其中dv

叫做體積元素.在直角坐標系中，如果用平行于坐標面則Dvi

=

Dxj

Dyk

Dzl

.的平面來劃分W

,三重積記為Wf

(

x,

y,

z)dxdydzni

i

i

ii

=1f

(x

,h

,z

)Dv=

limlfi

0.其中dxdydz

叫做直角坐標系中的體積元素.三重積分的幾何意義當f(x,y,z)=1時,

dv

=V表示空間區(qū)域的體積．Ω三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．中值定理:在有界閉域W

上連續(xù),V

為W的體積,則存在(ξ,η,ζ)?

Ω,使得

f(x,y,z)dv=

f(ξ,η,ζ)V

1r3Ω設f(x,y,z)連續(xù),則limr

fi

+0f(x,y,z)dv

=x2

+y2

+z2

￡r2二、利用直角坐標計算三重積分xyzWDz2

S2z1

S1(

x,

y)z

=

z1z

=

z2

(

x,

y)a

oy

=

y1

(

x)y

=

y2

(

x)(

x,

y)如圖，閉區(qū)域W

在xoy面上的投影為閉區(qū)域D,S1

:

z

=

z1

(

x,

y),S2

:

z

=

z2

(

x,

y),過點(x,y)?

D

作直線,1

2從

z

穿入，從

z

穿出．b直角坐標系中將三重積分化為三次積分．1．坐標面投影法（先１后２）函數(shù)，則先將x,y

看作定值，將f

(x,y,z)只看作z

的2z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dzF

(

x,

y)

=

再計算F(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分2z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)D

Df

(

x,

y,

z)dz]dxdy.F

(

x,

y)ds

=

[

a

￡

x

￡

b,得W=

D

:

y1

(

x)

￡

y

￡

y2

(

x),

f

(

x,

y,

z)dv22

ab

y

(

x

)y1

(

x

)z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dz.dydx注意這是平行于z

軸且穿過閉區(qū)域W

內(nèi)部的直線與閉區(qū)域W

的邊界曲面S

相交不多于兩點情形．x1y112解:

W

:W\=01021

(1-x)(1

-

x

-

2

y)d

yx

d

x1-x-2

y0d

z=103214(x

-

2x0

￡

y

￡

1

(1

-

x)20

￡

x

￡1x

d

x

d

y

d

z481+

x

)dx

=例1:

計算三重積分

Ω

xdxdydz,

其中W

為三個坐標面及平面

x

+

2

y

+

z

=

1

所圍成的閉區(qū)域

.0

￡

z

￡1

-

x

-

2

y

z例

2

化三重積分

I

=

f

(

x,

y,

z)dxdydz為三W次積分，其中積分區(qū)域W

為由曲面z

=x2

+2

y2及z

=2

-x2所圍成的閉區(qū)域.解由2z

=

2

-

xz

=

x

2

+

2

y2,得交線投影區(qū)域x2

+

y2

￡

1,2

x2

+

2

y2

￡

z

￡

2

-

x2故

W

：

-

1

-

x

￡

y

￡

1

-

x-

1

￡

x

￡

12,11-

x2

2-

x2f

(

x,

y,

z)dz.-1

-

1-

x2

dyx2

+2

y2dx\

I

=例3：化三重積分I

=

f

(x,y,z)dxdydz

為三

-11

12x2

+

y20xdydxI

=f

(

x,

y,

z)dz

.解x2

￡

y

￡

1,

-

1

￡

x

￡

1.W

:

0

￡

z

￡

x2

+

y2

,W次積分，其中積分區(qū)域W

為由曲面z

=x2

+y2,

y

=x2,y

=1,z

=0所圍成的空間閉區(qū)域.如圖，2．坐標軸投影法(截面法)，先2

后1其一般的步驟為：把積分區(qū)域W

向某軸（例如z

軸）投影，得投影區(qū)間[c1

,

c2

]；對z

?

[c1

,c2

]用過z軸且平行xoy平面的平面去截W

，得截面Dz

;(3)計算二重積分

f

(x,y,z)dxdyDz其結果為z

的函數(shù)F

(z)；(4)最后計算單積分2cc1F

(z)dz

即得三重積分值.z例

4

計算三重積分

z2dxdydz

，其中W

是由W2

2

2橢球面x

+

y

+

z

=

1所成的空間閉區(qū)域.a2

b2

c2W

:

{(

x,

y,

z)

|

-c

￡

z

￡

c,x2

y2

z2a2

+

b2

￡

1

-

c2

}2原式=Dzc-cdxdy,z

dzxyzoDz解x2

y2

z2

Dz

=

{(

x,

y)

|

a2

+

b2

￡

1

-

c2

}cz2cz2zDb2

(1

-

)2\

dxdy

=

p

a2

(1

-

)2z2=

pab(1

-

c2

),=c-cc22z2pab(1

-

)z

dz1543=

pabc

.原式注:若被積函數(shù)為一元函數(shù),用先2后1+y2

+z2

￡

2z(選講)例:計算

x2dxdydz,Ω:x2Ω(作業(yè)P48)Ω例5:計算

z2dv,Ω是由曲面z

=x2+y2

=z

+1所圍成的閉區(qū)域.1

-x2

-y2

與(作業(yè)P45)補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：

１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；

２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．若Ω為R3中關于xy面對稱的有界閉區(qū)域，f(x,y,z)為

Ω上的連續(xù)函數(shù),則W當f

(x,y,z)關于

z

為奇函數(shù)時,

f

(x,y,z)dv

=0;當f

(x,y,z)關于

z

為偶函數(shù)時,

f

(

x,

y,

z)dv

=

2

f

(

x,

y,

z)dvW W

1其中W

1為W

在xy面上方的部分.例

6

利用對稱性簡化計算Wdxdydzx2

+

y2

+

z2

+

1z

ln(

x2

+

y2

+

z2

+

1)其中積分區(qū)域W={(x,y,z)|

x2

+y2

+z2

￡

1}.解

積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是

z

的奇函數(shù),Wdxdydz

=

0.x2

+

y2

+

z2

+

1z

ln(

x2

+

y2

+

z2

+

1)0

￡

r

<

+￥

,0

￡

j

￡

2p

,-

￥

<

z

<

+￥

.三、利用柱面坐標計算三重積分無法顯示該圖片。設M

(x,y,z)為空間內(nèi)一點，并設點M

在xoy

面上的投影P

的極坐標為r,j，則這樣的三個數(shù)r,j

,z

就叫點M

的柱面坐標．規(guī)定：xyzoM

(

x,

y,

z)P(r,j

)jr

x

=

r

cosj

,

y

=

r

sinj

,z

=

z.柱面坐標與直角坐標的關系為r

為常數(shù)

j

為常數(shù)

z

為常數(shù)如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平

面．M

(x,

y,

z)P(r,j

)jrzxyzoW\

f

(

x,

y,

z)dxdydz=

f

(r

cosj

,

r

sinj

,

z)rdrdjdz.Wdjrxyzodzdrrdj如圖，柱面坐標系中的體積元素為dv

=

rdrdjdz,旋轉拋物面;W

的邊界曲面為圓柱面或被積函數(shù)為

f

(x

2

+

y

2

).1)W

的投影區(qū)域D是圓域;一般按zfi

ρ

fi下列情形用柱面坐標：j的次序進行積分(實質(zhì)是先1后2)例1

計算I

=

zdxdydz，其中W

是球面解Wx2

+

y2

+

z2

=

4與拋物面x2

+

y2

=

3z所圍的立體.

x

=

r

cosjz

=

z由

y

=r

sinj

,

r2

+

z2

=

4r2

=

3z

z

=

1,r

=

3,知交線為3302p4-r2I

=dj

0

dr

r213r

zdz

=

4

p.2把閉區(qū)域W

投影到xoy

面上，如圖，r20

￡

r

￡

3,0

￡

j

￡

2p

.W

:

￡

z

￡

4

-

r

，3另解:先2后1Ωx2x2+y2

與+y2

=1及z

=0圍成.(作業(yè)P50)例2:求

(x2

+

y2

)zdxdydz,Ω由z

=圍成的區(qū)域。y2=

2z繞z軸旋轉一周形成的曲面與平面z

=8所x

=

0例3：計算I

=

(x2

+

y2

)dV，其中Ω為平面曲線Ω200ρ

/

2解：I

=4

8

1024ρ3dρ dz

=

π32πdj四、利用球面坐標計算三重積分設M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，則點M

可用三個有次序的數(shù)r，q，j

來確定，其中r

為原點O

與點M

間的距離，q

為有向線段OM與z軸正向所夾的角，j

為從正z

軸來看自x

軸按逆時針方向轉到有向線段OP

的角，這里P

為點M

在xoy

面上的投影，這樣的三個數(shù)r，q，j

就叫做點M

的球面坐標．0

￡

r

<

+￥

,0

￡

j

￡

2p.0

￡

q

￡

p,規(guī)定：r

為常數(shù)q

為常數(shù)j

為常數(shù)如圖，三坐標面分別為球面；圓錐面；半平面．z

=

r

cos

q.y

=

r

sin

qsin

j,x

=

r

sin

qcos

j,如圖，PxyzM

(

x,

y,

z)jrqzyxoA設點M

在xoy

面上的投影為P，點P

在x

軸上的投影為A，則OA

=x,AP

=y,PM

=z.球面坐標與直角坐標的關系為W

f

(

x,

y,

z)dxdydz

=f(r

sin

qcosj,r

sin

qsin

j,rcos

q)r

2

sin

qdrdqdj.W球面坐標系中的體積元素為2dv

=

r sin

qdrdqdj,djrxyzodrr

sin

qdjrdqdqqjdjr

sin

q如圖，下列情形用球面坐標：1)積分區(qū)域Ω由球面所圍成的立體；2)被積函數(shù)為f(x2

+

y2

+

z2

).一般按r,q,j的次序進行積分x2

+

y2例4

求曲面x2

+y2

+z2

￡

2a2

與z

?所圍成的立體體積.解W

由錐面和球面圍成，采用球面坐標，由x

2

+

y2

+

z

2

=

2a

24q

=

p,40￡

j

￡

2p,0

￡

q

￡

p,

r

=

2a,z

=

x

2

+

y2

W

: 0￡

r

￡

2a,

由三重積分的性質(zhì)知

V

=

dxdydz

,Wp002p

2a0dq

r

2

sin

qdrV

=

dj4p403(

2a)3sin

q=

2p432

-

1)a

.dq

=

3

p(另解：采用柱面坐標例

5

計算

I

=

(

x2

+

y2

)dxdydz

，其中W

是錐面Wx2

+

y2

=

z2

，

與平面z

=

a

(a

>

0)所圍的立體.解

1

采用球面坐標,acosq

z

=

a

r

=4x2

+

y2

=

z2

q

=

p,4a, 0

￡

q

￡

p, 0￡

j

￡

2p,cosq\

W

: 0

￡

r

￡I

=

(

x2

+

y2

)dxdydzW004

30p

a4cosq2pr

sin

qdrdq=

dj(

-

0)dq1sin

q=

2p5

cos5

qa5p40310=

p

a5

.WI

=(

x2

+

y2

)dxdydz

=rrdr

r

dzdq202p

a

a0a03r

(a

-

r

)dr=

2pa4

a5=

2p[a5p4

-

5

]

=

10

a

.D

:

x

2

+

y2

￡

a

2

,0

￡

q

￡

2p,解

2

采用柱面坐標

x2

+

y2

=

z2

z

=

r,W

:

r

￡

z

￡

a, 0

￡

r

￡

a,2aa222a2-

a2例6:三次積分I=dxdyf(x,y,z)dz-

xa2

-

x2

-y2x2

+y22-

2

-

x的柱坐標形式為I=球坐標形式為I=

(作業(yè)P47)例

7

計算(

x

+

y

+

z)2

dxdydz

其中W

是由拋物W面z

=x2

+y2和球面x2

+y2

+z2

=2所圍成的空間閉區(qū)域.解

(

x

+

y

+

z)2=

x2

+

y2

+

z2

+

2(

xy

+

yz

+

zx)其中xy

+yz

是關于y

的奇函數(shù),且W

關于zox

面對稱,\

(

xy

+

yz

)dv

=

0,W同理

zx

是關于x的奇函數(shù),且W

關于

yoz

面對稱,

\

xzdv

=

0,W由對稱性知

x

2dv

=

y

2dv

,W

W則I

=

(x

+y

+z

)2

dxdydzW=

(2

x2

+

z2

)dxdydz,W在柱面坐標下：0

￡

q

￡

2p,0

￡

r

￡

1,2

-

r

2

,r

2

￡

z

￡投影區(qū)域2

2Dxy

：x

+

y

￡

1,22p001

2-r

2rr(2r

2

cos2

q+

z2

)dzdrdqI

=60=

p

(90 2

-

89).注：此題不宜采用球面坐標作業(yè)P50第4題三重積分的定義和計算（計算時將三重積分化為三次積分）在直角坐標系下的體積元素dv

=

dxdydz三、小結柱面坐標的體積元素dxdydz

=

rdrdjdz球面坐標的體積元素dxdydz

=

r

2

sin

qdrdqdj對稱性簡化運算三重積分換元法柱面坐標球面坐標思考題選擇題:W

為六個平面x

=0，x

=2，y

=1，x

+2

y

=4，

z

=x

，z

=2圍成的區(qū)域，f

(x,y,z)在W

上連續(xù)，則累次積分

=

f

(x,y,z)dv

.W20122-

2xxf

(

x,

y,

z)dz;dydx(

A)202122-

xxf

(

x,

y,

z)dz;dy(B)

dx20122-2xxf

(

x,

y,

z)dz;dydx(C

)202122-

xxf

(

x,

y,

z)dz.dy(

D)

dx一、填空題:1、若W

由曲面z

=x

2

+y

2

及平面z

=1所圍成,則三重積分

f(x,y,z)dxdydz

化為三次積分是W

.2

22、若W

是由曲面cz

=

xy(c

>

0),

x

+

y

=

1,

z

=

0

所a

2

b2圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域,則三重積分

f

(

x,

y,

z)dxdydz

可化為三次積分為

.W3、若W

:0

￡

x

￡

1,0

￡

y

￡

1,0

￡

z

￡

1,則

(

x

+

y

+

z)dxdydz

可化為三次積分

,W其值為

.練習題4、若W

:是由x

=0,z

=0,z

=h(h