力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

關(guān)于力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1第1頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)注

（1）在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，如不加說(shuō)明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。轉(zhuǎn)動(dòng)平面把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量2第2頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三ωO合力矩合力矩等于各個(gè)力矩的代數(shù)和.3第3頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三合內(nèi)力矩ωO剛體的合內(nèi)力矩為零設(shè)質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2間相互作用力在垂直轉(zhuǎn)軸平面的分力各為F12和F21,它們大小相等、方向相反且在同一直線上,如圖.它們的合力矩質(zhì)點(diǎn)系的合內(nèi)力矩=?04第4頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三例：有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：1、這兩個(gè)力都平行于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩一定為零。2、這兩個(gè)力都垂直于軸作用時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩可能為零。3、當(dāng)這兩個(gè)力合力為零時(shí)，它們對(duì)軸的合力矩一定也為零。4、當(dāng)這兩個(gè)力對(duì)軸的合力矩為零時(shí)，它們合力一定也為零。5第5頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：ωO對(duì)剛體中任一質(zhì)量元-外力-內(nèi)力采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O’6第6頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三用乘以上式左右兩端：

設(shè)剛體由N個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將N個(gè)方程左右相加，得：

根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對(duì)內(nèi)力等值、反向、共線,對(duì)同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：7第7頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三得到：上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符號(hào)內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以J表示。于是得到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律8第8頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三討論：

（2）J

與總質(zhì)量、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān);（3）M

的符號(hào)：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動(dòng)正方向加速的力矩為正.慣性大小的量度；α轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)（1）M一定，J對(duì)比9第9頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三例題、質(zhì)量為m半徑為R的薄圓盤從靜止開始在恒力矩M的作用下繞通過(guò)直徑的光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，（J=mR2/4），t秒后點(diǎn)B的切向加速度at=____________，法向加速度an=__________________.解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jα得α=

M/J而at=αRan=ω

2R

ω

=αt10第10頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J

的意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：kg·m2決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的要素：(1)體密度;(2)幾何形狀;(3)轉(zhuǎn)軸位置.兩個(gè)相同的圓盤,鐵質(zhì)與木質(zhì)質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn),J

越大同一剛體,轉(zhuǎn)軸位置不同,J就不相同11第11頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三質(zhì)量離散分布

J的計(jì)算方法質(zhì)量連續(xù)分布：質(zhì)量元：體積元12第12頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三例.求長(zhǎng)L,質(zhì)量m均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(1)O軸通過(guò)棒一端且與棒垂直;(2)O'軸通過(guò)棒中點(diǎn)且與棒垂直.xdxOO'

解：取軸為坐標(biāo)原點(diǎn),取長(zhǎng)度微元如圖dm=dx,=m/LdJ=r2dm=x2dx(1)過(guò)棒的一端O=L3/3=mL2/3(2)過(guò)棒的中點(diǎn)O'=x3/3=L3/12=mL2/12結(jié)果表明：同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。13第13頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三例題求圓盤對(duì)于通過(guò)中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm=2rdr?？傻?4第14頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)棒細(xì)棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體15第15頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三m1rm1質(zhì)點(diǎn)與剛體組合的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量16第16頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三四

平行軸定理質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO17第17頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒繞其一端的JP圓盤對(duì)P

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OO1d=L/2O1’O2O2’18第18頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2)為瞬時(shí)關(guān)系．(3)轉(zhuǎn)動(dòng)中與平動(dòng)中地位相同．(1)

,與方向相同．說(shuō)明轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用19第19頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？20第20頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1、一根輕繩跨過(guò)一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質(zhì)量為

m，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為Mf，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，Mf求：.解:研究對(duì)象m1，m2，m建立坐標(biāo)，受力分析如圖Mf對(duì)m1：對(duì)m2：對(duì)m：21第21頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三聯(lián)立求得：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量及摩擦阻力時(shí)：這便是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中所熟知的結(jié)果22第22頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三例：已知：R，m求：圓盤自靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)后，轉(zhuǎn)過(guò)的角度與時(shí)間的關(guān)系。解：圓盤和物體受力分析如圖：對(duì)圓盤：對(duì)物體：聯(lián)立（1）、（2）、（3）得：第23頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三6/28/202323例2質(zhì)量為mA的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB的物體B上，B

豎直懸掛．滑輪與繩索間無(wú)滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)．(1)兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2)物體B從靜止落下距離y時(shí)，其速率是多少？24第24頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三解

(1)用隔離法分別對(duì)各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系．ABCOO25第25頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三OO26第26頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三解得：27第27頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率28第28頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng)．試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度．例3一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定