4-1(1)線性系統(tǒng)的能控性和能觀性

4線性系統(tǒng)的能控性和能觀性2023/6/251本章知識點本章討論線性定常系統(tǒng)的定性分析--結構性問題和系統(tǒng)綜合問題,主要內容有:結構性問題--能控性、能觀性、對偶原理能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形2023/6/252能控性、能觀性和穩(wěn)定性一樣，是控制系統(tǒng)的重要性能，是實現(xiàn)各種控制和狀態(tài)估計的基礎，在控制理論中起著核心的作用。狀態(tài)方程x’=Ax+Bu輸出方程y=Cx控制器uxy圖狀態(tài)反饋控制設計控制器u(t)=kx(t)，使狀態(tài)x(t)達到預期的狀態(tài)。但首要的問題是，系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制？即輸入能否控制狀態(tài)的變化？如果能控制，才談得上采用某個u(t)將x(t)控制到新狀態(tài)。如果不能控制，則無論采取什么控制信號也不可能達到目的。這便是系統(tǒng)的能控性問題。2023/6/253另一方面，為了實現(xiàn)各種狀態(tài)反饋控制，系統(tǒng)的全部狀態(tài)應該能夠被測量，但實際系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)通常是難以測量的，往往需要從能夠被測量的輸出y(t)中估計出來。狀態(tài)估計的任務就是設計狀態(tài)估計器，從輸出y(t)中估計出狀態(tài)x(t)，以實現(xiàn)狀態(tài)反饋。但首要的問題是，從輸出y(t)中能否估計出狀態(tài)x(t)？如果y(t)不能完全反映系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)，也就無法實現(xiàn)狀態(tài)估計，這便是系統(tǒng)的能觀性問題。狀態(tài)方程x’=Ax+Bu輸出方程y=Cx控制器uxy圖采用狀態(tài)估計器的狀態(tài)反饋控制狀態(tài)估計器x?2023/6/2544.1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和輸出能控性問題。關鍵問題:1.基本概念:狀態(tài)能控性和輸出能控性2.基本方法:狀態(tài)能控性和輸出能控性的判別方法2023/6/2554.1.1能控性的直觀討論

狀態(tài)能控性反映輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力。如果狀態(tài)變量x(t)由任意初始時刻的任意初始狀態(tài)引起的運動都能由輸入(控制項)來影響,并能在有限時間內控制到空間原點,那么稱系統(tǒng)是能控的,或者更確切地說,是狀態(tài)能控的。否則,就稱系統(tǒng)為不完全能控的。下面通過實例來說明能控性的意義。2023/6/256例

某電橋系統(tǒng)的模型如圖4-1所示。該電橋系統(tǒng)中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對兩個狀態(tài)變量的控制能力。圖4-1電橋系統(tǒng)

2023/6/257若圖4-1所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的,兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是能控的。由電路理論知識可知,若圖4-1所示的電橋系統(tǒng)是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t)是不能控的,則系統(tǒng)是不完全能控的。2023/6/258由上述狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x2(t)的值,即電橋中電容C2的電壓,是自由衰減的,并不受輸入u的控制。因此,該電壓的值不能在有限時間內衰減至零,即該狀態(tài)變量是不能由輸入變量控制到原點。具有這種特性的系統(tǒng)稱為狀態(tài)不能控的。2023/6/259由該狀態(tài)方程可知,狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)都可由輸入u單獨控制,可以說,x1(t)和x2(t)都是單獨能控的。對該狀態(tài)方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]即狀態(tài)x1(t)和x2(t)總是相差一個固定的,不受u(t)控制的函數(shù)值。補充例

給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為2023/6/2510因此,x1(t)和x1(t)不能在有限時間內同時被控制到零或狀態(tài)空間中的任意狀態(tài),只能被控制在滿足由狀態(tài)方程解所規(guī)定的狀態(tài)空間中的曲線上。所以,雖然狀態(tài)x1(t)和x2(t)都是單獨能控的,但整個系統(tǒng)并不能控。前面2個例子,可通過直觀分析來討論系統(tǒng)的狀態(tài)能控性,但對維數(shù)更高、更復雜的系統(tǒng),直觀判斷能控性是困難的。下面將通過給出狀態(tài)能控性的嚴格定義,來導出判定系統(tǒng)能控性的充要條件。2023/6/25114.1.2狀態(tài)能控性的定義由狀態(tài)方程x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第3章的狀態(tài)方程求解公式可知,狀態(tài)的變化主要取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和初始時刻之后的輸入,與輸出y(t)無關。因此研究討論狀態(tài)能控性問題,即輸入u(t)對狀態(tài)x(t)能否控制的問題,只需考慮系統(tǒng)在輸入u(t)的作用和狀態(tài)方程的性質,與輸出y(t)和輸出方程無關。對線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)能控性定義。2023/6/2512定義4-1

若線性連續(xù)系統(tǒng)x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)對初始時刻t0(t0T,T為時間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時刻t1(t1>t0,t1T),可以找到一個控制量u(t),能在有限時間[t0,t1]內把系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)x(t0)控制到原點,即x(t1)=0,則稱t0時刻的狀態(tài)x(t0)能控;若對t0時刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)完全能控;2023/6/2513對上述狀態(tài)能控性的定義有如下討論:控制時間[t0,t1]是系統(tǒng)狀態(tài)由初始狀態(tài)轉移到原點所需的有限時間。對于定常系統(tǒng),該控制時間與t0無關。所以,對于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性,可不必在定義中強調“在所有時刻狀態(tài)完全能控”,而為“某一時刻狀態(tài)完全能控,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控”。2023/6/25144.1.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性判據(jù)有許多不同形式,討論常用的代數(shù)判據(jù)和模態(tài)判據(jù)2023/6/2515代數(shù)判據(jù)定理4-1(線性定常連續(xù)系統(tǒng)能控性秩判據(jù))

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B)狀態(tài)完全能控的充要條件為下述條件之一成立:1.矩陣函數(shù)e-AtB的各行函數(shù)線性獨立,即不存在非零常數(shù)向量fRn,使得fTe-AtB02.如下定義的能控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩,即rankQc=rank[BAB…An-1B]=n2023/6/2516定理4-1給出的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性充要的兩個判據(jù),可直接用于能控性判定。由于檢驗e-AtB的各行是否函數(shù)線性獨立相對困難一些,因此實際應用中通常用定理4-1的條件2。條件2我們亦稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)。2023/6/2517例4-1

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性解

由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有2023/6/2518故因此,該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。2023/6/2519例4-2

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性2023/6/2520將上述矩陣的第3行加到第2行中去,則可得矩陣顯然其秩為2。而系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)n=3,所以狀態(tài)不完全能控。解

由狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)有2023/6/25214.1.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性在控制系統(tǒng)分析和設計中,系統(tǒng)的被控制量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,而是系統(tǒng)的輸出變量。因此,有必要研究系統(tǒng)的輸出能否控制的問題。經(jīng)典控制理論討論的為SISO系統(tǒng)輸入輸出的分析和綜合問題,其輸入輸出間動態(tài)關系可以唯一地由傳遞函數(shù)所確定。因此,對給定的期望輸出響應,輸入則唯一地確定,不存在輸出能否控制的問題。但對于MIMO系統(tǒng),由于輸入向量和輸出向量是多維的,因此,存在r維的輸入能否控制m維的輸出的能控性問題。2023/6/2522定義4-2

若線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D),對初始時刻t0(t0T,T為系統(tǒng)的時間定義域)和任意初始輸出值y(t0),存在另一有限時刻t1(t1>t0,t1T),可以找到一個輸入控制向量u(t),能在有限時間[t0,t1]內把系統(tǒng)從初始輸出y(t0)控制到原點,即y(t1)=0,則稱系統(tǒng)輸出完全能控,簡稱為系統(tǒng)輸出能控。即,若數(shù)學邏輯關系式y(tǒng)(t0)t1Tu(t)(t1>t0)(t[t0,t1])(y(t1)=0)

為真,則稱系統(tǒng)輸出完全能控。2023/6/2523若系統(tǒng)存在某個初始輸出值y(t0)不滿足上述條件,則稱此系統(tǒng)是輸出不完全能控的,簡稱為輸出不能控。定理4-4

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,B,C,D)輸出完全能控的充要條件為輸出能控性矩陣[CB

CAB…CAn-1B

D]滿秩,即rank[CB

CAB…CAn-1B

D]=m其中m為輸出變量向量的維數(shù)。定理4-4的證明可仿照定理4-1給出。2023/6/2524例4-7

試判斷如下系統(tǒng)的輸出能控性解由輸出能控性的代數(shù)判