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文檔簡介
新疆石河子市石河子二中2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.2.?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④3.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高,計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.4.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.5.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.177.已知集合,集合,則().A. B.C. D.8.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.9.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.610.已知向量,,則向量與的夾角為()A. B. C. D.11.在正方體中,點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn),過點(diǎn)作平面使平面,平面若直線平面,則的值為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,則不等式的解集為__________.14.某校高三年級(jí)共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗(yàn)(滿分分),已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分,將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法中正確的是________(填序號(hào)).①;②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為;③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為.15.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級(jí)為12人,則抽取的樣本容量為________人.16.如圖,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點(diǎn),,若線段EF上存在一點(diǎn)M,使得,則____________,____________.(本題第1空2分,第2空3分)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著時(shí)代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計(jì)10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男女合計(jì)附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線,從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn),滿足,記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),求的值.19.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項(xiàng)公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;20.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).21.(12分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).22.(10分)某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表:并通過計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流.(i)求這人中,男生、女生各有多少人?(ii)從參加體會(huì)交流的人中,隨機(jī)選出人發(fā)言,記這人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.臨界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.635
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】∵,∴.故選:【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2、B【解題分析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【題目詳解】,解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點(diǎn),,,,則①和③都錯(cuò)誤;由,得④正確.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.3、C【解題分析】
將圓錐的體積用兩種方式表達(dá),即,解出即可.【題目詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.4、B【解題分析】
由點(diǎn)求得的值,化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù),考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)對稱軸的求法,屬于中檔題.5、B【解題分析】
化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【題目詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】
首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【題目詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】
算出集合A、B及,再求補(bǔ)集即可.【題目詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】
由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn),作出圖象,由圖可得:點(diǎn)(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),k=;結(jié)合圖象即可得解.【題目詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當(dāng)直線y=kx-和y=lnx相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,∴m=.此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力,屬于難題.9、C【解題分析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【題目詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】
求出,進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【題目詳解】解:由題意知,.則所以,則向量與的夾角為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí),通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.11、B【解題分析】
作出圖形,設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、,連接、、,取的中點(diǎn),連接、,連接交于點(diǎn),推導(dǎo)出,由線面平行的性質(zhì)定理可得出,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),同理可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【題目詳解】如下圖所示:設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、,連接、、,取的中點(diǎn),連接、,連接交于點(diǎn),四邊形為正方形,、分別為、的中點(diǎn),則且,四邊形為平行四邊形,且,且,且,則四邊形為平行四邊形,,平面,則存在直線平面,使得,若平面,則平面,又平面,則平面,此時(shí),平面為平面,直線不可能與平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四邊形為平行四邊形,可得,為的中點(diǎn),同理可證為的中點(diǎn),,,因此,.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線段長度比值的計(jì)算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點(diǎn)位置,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.12、D【解題分析】分析:因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時(shí)注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.14、②③【解題分析】
由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為,故②正確;設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說法正確的序號(hào)是②③.15、【解題分析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣的知識(shí),算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
根據(jù)題意,設(shè),則,所以,解得,所以,從而有.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解題分析】
(1)在1000個(gè)樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個(gè),根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識(shí)可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計(jì)算的值,對照臨界值表可得答案.【題目詳解】(1)(萬)(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男100400500女200300500合計(jì)3007001000,所以有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢測的相關(guān)知識(shí)、分層抽樣與古典概念計(jì)算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力,難度較易.18、(Ⅰ)(t為參數(shù)),;(Ⅱ)1.【解題分析】
(Ⅰ)直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程,設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),由題意可得,即ρ=4cosθ,然后化為普通方程;(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中,得到關(guān)于t的一元二次方程,再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值.【題目詳解】(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))即(t為參數(shù)).設(shè)N(ρ,θ),M(ρ1,θ1),(ρ>0,ρ1>0),則,即,即ρ=4cosθ,∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0(x≠0).(Ⅱ)將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中,得,即,t1,t2為方程的兩個(gè)根,∴t1t2=-1,∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程,考查直角坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,訓(xùn)練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.19、(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.(3)【解題分析】
(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(3)分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【題目詳解】(1)由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),,所以,②當(dāng)時(shí),,③當(dāng)時(shí),,所以,④……當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二:猜測:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得故,時(shí),命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.(3)由(2)可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.20、見解析【解題分析】
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),其定義域?yàn)椋瑒t,設(shè),,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得極小值,為,無極大值.(2)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,,設(shè),,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,,所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,因?yàn)?,所以,,又,所以函?shù)在內(nèi)有
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