福建省建甌市二中2024屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

福建省建甌市二中2024屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左焦點為，，為雙曲線的左、右頂點，漸近線上的一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．點在圓上，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.3．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.4．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實數(shù)λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或115．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.6．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.7．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊8．一質(zhì)點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質(zhì)點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.219．下圖稱為弦圖，是我國古代三國時期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立D.如果，那么10．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.11．曲線在點處的切線過點，則實數(shù)（）A. B.0C.1 D.212．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標(biāo)為___________.14．已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.用以上知識解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.15．已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________16．已知正方體的棱長為6，E為棱的中點，F(xiàn)為棱上的點，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓過點且動圓內(nèi)切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對角線的交點，E為PD的中點，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.20．（12分）記數(shù)列的前n項和為，已知點在函數(shù)的圖像上（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前9項和21．（12分）已知等差數(shù)列的公差，前3項和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若①求△面積的范圍，②證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由雙曲線的漸近線方程和兩點的距離公式，求得點的坐標(biāo)和，在中，利用余弦定理，求得的關(guān)系式，再由離心率公式，計算即可求解.【題目詳解】由題意，雙曲線，可得，設(shè)在漸近線上，且點在第一象限內(nèi)，由，解得，即點，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【題目點撥】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.2、B【解題分析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.3、B【解題分析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【題目詳解】設(shè)正方體棱長為，由得，正方體對角線長，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B4、A【解題分析】根據(jù)直線平移的規(guī)律，由直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位得到平移后直線的方程，然后因為此直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為，直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位后所得的直線方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因為該直線與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線的距離d==r=，化簡得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點：直線與圓的位置關(guān)系5、D【解題分析】求導(dǎo)后代入即可.【題目詳解】，.故選：D.6、C【解題分析】當(dāng)時可得，可得答案.【題目詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C7、C【解題分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【題目詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)的計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.8、B【解題分析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【題目詳解】由題意，該質(zhì)點在時的瞬時速度為.故選：B9、C【解題分析】設(shè)圖中直角三角形邊長分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【題目詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以對任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C10、C【解題分析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【題目詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C11、A【解題分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為，進(jìn)而得.【題目詳解】解：因為，，，所以，切線方程為，因為切線過點，所以，解得故選：A12、C【解題分析】根據(jù)題意，求出每個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【題目詳解】對A，，為奇函數(shù)；對B，，為奇函數(shù)；對C，，為偶函數(shù)；對D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【題目詳解】由題意知，，則焦點坐標(biāo)為.故答案為：14、【解題分析】由題意分別求出這三個平面的法向量，設(shè)直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【題目詳解】由，解得，即直線與平面的交點坐標(biāo)為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設(shè)直線的方向向量為，則，即取，設(shè)直線與平面所成角則故答案為：15、【解題分析】根據(jù)零點定義，分離出，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的值域來確定的取值范圍【題目詳解】根據(jù)零點定義，則所以令則，令解得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時取得最小值，最小值為所以由零點的條件為所以，即的取值范圍為【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點的意義，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題16、18【解題分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運算求解.【題目詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標(biāo)公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【題目詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【題目點撥】本題考查直線與橢圓的問題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)求得，.18、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解題分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)同分分解因式，討論其正負(fù)即可判斷g(x)的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，又，設(shè)所求切線的斜率為，則，則切線的方程為：，化簡即得切線的方程為：.【小問2詳解】，其定義域為，，∵，∴ax＋1＞0，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，.的增區(qū)間為，減區(qū)間為.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點，又E是PD的中點，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問2詳解】如圖，以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個法向量為=(-1，1，-1)，∴設(shè)直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.20、（1）（2）【解題分析】（1）利用的關(guān)系可求.（2）利用裂項相消法可求數(shù)列的前9項和【小問1詳解】由題意知當(dāng)時，；當(dāng)時，，適合上式所以【小問2詳解】則21、（1）（2）【解題分析】（1）由，且成等比數(shù)列列式求解出和，然后寫出；（2）由，用錯位相減法求和即可.【題目詳解】（1）∵，∴①又∵成等比數(shù)列，∴，②∵，由①②解得：，，∴（2）∵，，∴兩式相減，得∴【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列基本量的計算，錯位相減法求和，屬于中檔題.22、（1）；（2）①；②證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的