數(shù)學(xué)思維與觀察能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維與觀察能力的培養(yǎng)

【內(nèi)容提要】：培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)，因此在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，就是有意識地對引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行事物的數(shù)和形的特點感知活動，通過對符號、字母、數(shù)字或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點進(jìn)行的察看，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)會從數(shù)學(xué)思維的角度去觀察周圍的世界，養(yǎng)成留心觀察周圍事物的習(xí)慣，使學(xué)生學(xué)會觀察，善于觀察，使學(xué)生終生受益，以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)在學(xué)生全面素質(zhì)教育的重要作用。

關(guān)鍵詞：素質(zhì)教育數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)觀察能力

教育部頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中提出了“學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等教學(xué)活動”，“要給學(xué)生一雙能用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的觀察是人們對事物或問題的特征通過視覺獲取信息，運用思維辨認(rèn)其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué)規(guī)律和性質(zhì)的方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，就是把觀察作為認(rèn)識的基礎(chǔ)，作為思想的觸覺，對學(xué)生注意能力、觀察能力、記憶能力、運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力、抽象概括能力、遷移能力、分析與解決問題能力等多種能力綜合培養(yǎng)，具備比較完整的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以提高學(xué)生在現(xiàn)實生活中認(rèn)知問題，解決問題的能力，進(jìn)而提高學(xué)生探究認(rèn)知事物發(fā)展規(guī)律的能力，使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識來源于生活，服務(wù)于生活，達(dá)到學(xué)以致用，學(xué)用相長的素質(zhì)教育目的，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。

結(jié)合我們多年來的教學(xué)實踐，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生觀察力從以下幾個方面入手。

一、注重激起學(xué)生探求知識、學(xué)習(xí)觀察的興趣和欲望

我國古代大教育家說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，良好的觀察興趣和欲望，不僅使學(xué)生獲得知識，而且還能使學(xué)生在充滿興趣的學(xué)習(xí)活動中往往伴著積極愉快的情緒，從而把注意力長時間指向集中于學(xué)習(xí)活動，傾注全部的熱情和力量克服學(xué)習(xí)過程中的種種困難，充分調(diào)動積極性。所以，教師在課前、課上、課后就要多創(chuàng)造條件給學(xué)生觀察的機會，激發(fā)學(xué)生求知欲望，使學(xué)生對學(xué)習(xí)具有濃厚的興趣。如在教學(xué)《幾何》第一冊“兩點之間線段最短”的公理時，提出這樣的問題：從上海到廣州，可以乘火車，路程約1811公里；也可以坐輪船，航程1690公里；還可以乘坐飛機，行程1200公里，為什么坐飛機路程最短？因為陸路或水路交通受地形、水情的限制，路線彎彎曲曲，而飛機在空中飛行，所受條件限制較少，一般情況下是沿直線前進(jìn)的，所以坐飛機的路程最短。絲瓜、牽?；ǖ那o細(xì)弱而蔓長，為采取陽光，它們攀附在近似于圓柱體的樹干上，如果把圓柱體的側(cè)面展開就得到一個長方形，而莖蔓纏繞的軌跡則是這長方形的對角線。由此可知，“在連結(jié)的兩點的線中，線段最短”這個真理滲透在大千世界，不僅為人類所承認(rèn)，就連一般的動植物也要遵循，使他們感到數(shù)學(xué)“真神奇”。油然而生的好奇心又使學(xué)生對觀察具有濃厚的興趣，促進(jìn)他們進(jìn)一步觀察，尋求新的知識，從而使學(xué)生的觀察由無意觀察逐步向有意觀察過渡，培養(yǎng)了觀察的持久性。

二、注重培養(yǎng)學(xué)生正確的思維觀察模式、方法

思維通常是從觀察教學(xué)對象開始，結(jié)合運用其他方式才能獲得關(guān)于客觀事物的本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識。數(shù)學(xué)觀察，無論是圖形的識別、數(shù)據(jù)之間關(guān)系的把握，還是基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、綜合分析能力的提高都離不開認(rèn)真、仔細(xì)的觀察。觀察、發(fā)現(xiàn)是學(xué)會數(shù)學(xué)思維的過程中必需的、第一位的方法。而正確的觀察方法，對學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)具有重要的推動作用。因此，在教學(xué)中，要針對學(xué)生在心理缺乏觀察事物所必須具備的基本素質(zhì)，在掌握知識經(jīng)驗的水平上缺乏觀察的能力和數(shù)學(xué)教學(xué)的特點，可以考慮利用多媒體教學(xué)或啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用眼睛觀察、欣賞同類型題的變化，保證觀察的正確性。

1、引導(dǎo)學(xué)生用“聯(lián)系”的哲學(xué)觀點觀察部分與整體的關(guān)系

數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)理間的關(guān)系，還與其他學(xué)科具有緊密的知識聯(lián)系。我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察時，要注重把政治教學(xué)中有關(guān)哲學(xué)思辯的思想和方法在“不知不覺”中引導(dǎo)和發(fā)散學(xué)生思維模式。比如，整體與部分的關(guān)系中，要引導(dǎo)學(xué)生在觀察的整體的同時，還應(yīng)觀察其部分的特點，從整體看部分，從部分中把握整體，這樣，才能抓住解決問題的關(guān)鍵，使解題簡化。

例：計算1＋2＋3＋…＋100

許多學(xué)生一看到題就將數(shù)一個一個累加，當(dāng)然能夠算出結(jié)果，但比較麻煩。此時可以啟發(fā)學(xué)生去觀察思維，會發(fā)現(xiàn)它們隱含的規(guī)律，1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……如此類推一共有50個101，兩者相乘，輕而易舉地解決了問題。

2、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)散性觀察思維，尋求多樣解題途徑

發(fā)散性觀察思維，就是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在多樣性的數(shù)量、數(shù)理關(guān)系中發(fā)現(xiàn)數(shù)量、數(shù)理演變的規(guī)律，達(dá)到舉一反三、觸類旁通。比如，有些數(shù)學(xué)題，教師可以對例題進(jìn)行有目的、多角度的演變，調(diào)換命題的題設(shè)和結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過一題多變的觀察和思考，在解題過程中開闊思路,尋求多種方法解決問題，使學(xué)生認(rèn)識到“辦法總比問題多”。這就是我們數(shù)學(xué)教育在學(xué)生全面素質(zhì)教育中的一個重要命題，可以讓學(xué)生體會到：可以在人生觀、世界觀方面同樣具有教育的意義和優(yōu)勢。

例1.已知一個多邊形的每個內(nèi)角都等于1350，求這個多邊形的邊數(shù)。

解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)·180=135o·n，解之得n=8，∴這個多邊數(shù)是8

變式1已知一個多邊形內(nèi)角和是10800，求這個多邊形的邊數(shù)。

變式2已知一個多邊形的邊數(shù)是8，求這個多邊形的內(nèi)角和。以上兩變式的解法都用原例同一關(guān)系式，解法略。

變式3已知一個正多邊形的外角是450,求這個正多邊形內(nèi)角和。

解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，而它的每個外角都等于450，則n·450=3600∴n=8

變式4已知多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為11800，求此多邊形的邊數(shù)。

解：設(shè)這個多邊形為n邊形，且這個外角為x度，則00＜x＜1800，依題意得

(n-2)·1800+x=11800,即(n-2)1800=11800-x

由于左邊是1800的整數(shù)倍，故11800-x也必是1800的整數(shù)倍。即11800-x=n·1800(n為自然數(shù))，故x必是11800÷1800的余數(shù)11800÷1800=8……1000

∴x=1000，由(n-2)1800=11800-1000，得n=8

以上變式從不同角度調(diào)換例題的題設(shè)和結(jié)論，解法不盡相同，但是它們都依據(jù)了多邊形內(nèi)角和公式和外角和公式，這樣教學(xué)，為學(xué)生從不同角度去觀察問題，思考問題,用不同方法解決問題提供了豐富的材料，使學(xué)生的知識在更廣闊的領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行循環(huán)，觀察的靈活性得以培養(yǎng)和訓(xùn)練，在突破學(xué)生定向性思維模式上具有一定的意義。

3、引導(dǎo)學(xué)生寓觀察分析中學(xué)會探索數(shù)理和事物發(fā)展的規(guī)律

客觀事物是復(fù)雜的，人們難以對客觀事物全部、清晰地認(rèn)知，只是有選擇地以少數(shù)事物作為感知對象，在知識發(fā)現(xiàn)的過程中，需要對事物進(jìn)行表面的和深入的，整體的和部分的，順向的和逆向的多方面的觀察，尋求規(guī)律。比如，有這樣一道題

觀察下面式子，根據(jù)你得到的規(guī)律回答。

=_______=__________=_______

則(2n個1，n個2)的值是_________

在從具體事例概括出定義的觀察時，要注意尋找它們共同的本質(zhì)屬性，在從特殊現(xiàn)象過渡到一般結(jié)論時，要觀察特殊與一般的區(qū)別和聯(lián)系等。通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運用觀察分析數(shù)字、數(shù)理間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)“事物演變”的規(guī)律，于是，這一道看似復(fù)雜的題通過觀察、比較、分析，探索題目的隱性規(guī)律，便很容易地得到了答案是n個3。

因此，我們在觀察時，應(yīng)能根據(jù)觀察的目的，抓住對象組成特點，尋求對象的內(nèi)在規(guī)律，確定某種觀察程序，保證能在復(fù)雜的問題中全面反映事物的某種屬性。例如：在圖中，AB∥DC，AD∥BC，EF∥AD，寫出圖中相等的內(nèi)錯角。

ABE

DCF

由于學(xué)生初學(xué)幾何，學(xué)生在觀察時不一定按順序進(jìn)行觀察，從而不能得出完整答案。為了觀察的全面性，教師可以告訴學(xué)生應(yīng)根據(jù)已知條件和要求，結(jié)合圖形，按部就班，由AB∥DC，AB、DC分別被直線BD、EF、AC所截，從而找出相等的內(nèi)錯角；由EF∥AD，EF、AD被DO、AO所截；由AD∥BC，AD、BC被BD、AC所截，∵AD∥BC，EF∥AD，∴EF∥BC，EF、BC被BO、CO所截；這樣我們就很容易全面地找到相等的內(nèi)錯角。

另外，觀察不要滿足了解事物的全貌，還應(yīng)把握事物的特征。通過觀察發(fā)現(xiàn)事物的隱含條件，根據(jù)事物的特征，歸納、概括出事物的發(fā)展變化規(guī)律。

三、注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維觀察品質(zhì)和能力

數(shù)學(xué)思維觀察是哲學(xué)思維方法的運用，我們在教學(xué)實踐中要善于站在哲學(xué)的高度，用矛盾的觀點、運動的觀點啟發(fā)學(xué)生做每一道數(shù)學(xué)題，分析每一件事物，重視對學(xué)生觀察的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生樹立良好的觀察品質(zhì)，有目的地、全面地、精確地、深刻地、有序地觀察數(shù)理、空間、結(jié)構(gòu)等，發(fā)展學(xué)生的觀察力，在此基礎(chǔ)上，使學(xué)生逐步概括，發(fā)現(xiàn)知識規(guī)律，從而學(xué)會科學(xué)地思維，開發(fā)學(xué)生智力。

1、注重在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀察的目標(biāo)定向能力

培養(yǎng)目標(biāo)定向能力，就是引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)觀察當(dāng)成是掌握知識，獲得數(shù)學(xué)思維能力的方式。由于學(xué)生對觀察材料缺乏全部感知的能力，總是有選擇地以少數(shù)事物作為知覺的對象。在教學(xué)過程中，對觀察對象敘述的語言要準(zhǔn)確，提出觀察任務(wù)時目標(biāo)要明確，分析時要緊緊圍繞確定的觀察目的。例如，計算①(2x+1)(2x-1)②(5y-x)(-5y-x)③(3x+2y-1)(3x-2y+1)可提出如下觀察要求：1、每道題的兩個多項式有何特征？2能否轉(zhuǎn)化為平方差公式？通過提問，讓學(xué)生有目的、分層次地觀察，積極主動地感知觀察對象，實現(xiàn)觀察目的。在概念教學(xué)中，要展示實物，盡可能地讓學(xué)生觀察，抽取其本質(zhì)屬性。如學(xué)習(xí)數(shù)軸時，可先拿出溫度計讓學(xué)生觀察：一支橫放的溫度計，0刻度線表示0℃，以0刻度線為起點，向右一個單位刻度表示+1℃，向右兩個單位刻度表示+2℃，向左一個單位刻度表示－1℃，向左兩個單位刻度表示－2℃。這就是說，可以用直線上的點來表示有理數(shù)。接下來，一邊在黑板上慢慢地畫出數(shù)軸，一邊要求學(xué)生觀察畫圖動作，說明數(shù)軸的特征，從而得出數(shù)軸的概念。又如學(xué)習(xí)相反數(shù)和絕對值時，先把下列各數(shù)：2和－2；和－在數(shù)軸上表示出來，讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)：表示相反數(shù)的兩個點分別在原點的兩側(cè)，并且到原點的距離相等；一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離。學(xué)生通過主動觀察、比較、分析，可以得出相反數(shù)和絕對值的概念。

通過這樣的概念使學(xué)生感知活動按預(yù)定的方向和目標(biāo)進(jìn)行，使他們從被動接受知識而進(jìn)行觀察轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥?、自覺地、有意識地觀察，培養(yǎng)了觀察的目的性。

2、注重在運算法則教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的數(shù)理概括能力

培養(yǎng)數(shù)理概括能力，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察數(shù)理間邏輯規(guī)律，運用數(shù)學(xué)的方法推理理論，培養(yǎng)學(xué)生的一定抽象能力和比較縝密概括能力。例如，以貼近學(xué)生的生活實際和興趣，針對初一的有理數(shù)加法的七種情形，可以設(shè)計具體的生活情境：如將被加數(shù)表示成某人從A地出發(fā)，第一次向東或向西走的距離，加數(shù)表示成第二次向東或向西走的距離，則他現(xiàn)在A地什么方向的多少距離，就對應(yīng)著一個“和”。讓學(xué)生自己觀察、判斷，把具體的兩數(shù)和分成七種情況：正數(shù)+正數(shù)，負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)，正數(shù)+負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)+正數(shù)，正數(shù)+零，負(fù)數(shù)+零，零+零。再讓學(xué)生通過觀察、歸納、比較，進(jìn)一步抽象概括為三種情形：同號兩數(shù)相加，異號兩數(shù)相加，一個數(shù)與零相加。

通過上述實例的觀察、抽象、推廣，展現(xiàn)了運算法則的概括過程，從而培養(yǎng)了觀察的概括性。

3、注重在分析問題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的差異分辨能力

培養(yǎng)差異分辨能力，就是要求學(xué)生學(xué)習(xí)運用特殊化和一般化和觀察認(rèn)識方法，既能把數(shù)學(xué)問題從原來的范圍縮小到一個較小范圍或個別情形進(jìn)行考察研究，又學(xué)會將觀察對象從原來范圍擴展到更大范圍進(jìn)行考察和研究，做到了解事物的全貌的同時，更能精確把握事物的特征，對不同事物既能發(fā)現(xiàn)它們的相似點，又能辨別它們的細(xì)微差別。要充分利用各種教學(xué)手段，如列表比較、對比觀察等，利用現(xiàn)代教學(xué)手段，通過形象直觀、富有動感的圖片、畫面，啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)觀察對象的特征，揭示觀察對象的本質(zhì)。對問題的觀察要仔細(xì)、要深刻、要全面、要精確。做到既不重復(fù)，也不遺漏。這樣做不但有利于對概念的掌握，而且還使學(xué)生對事物的觀察越來越精確。

例如：初三幾何中，傳授圓和圓的位置關(guān)系時，自做兩個半徑不等的圓，類比直線和圓的位置關(guān)系，從位置上看，找交點；從數(shù)量上看找圓心和直線的距離。將大圓固定，移動小圓，自遠(yuǎn)而近，先是沒有交點→有一個交點→有二個交點→有一個交點→沒有交點；根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，可得圓與圓相離、相切、相交，而由數(shù)量關(guān)系（即兩圓心與兩圓的半徑和差關(guān)系看，相離時dR+r、dR-r，相切時d=Rr，相交時R-rdR+r；結(jié)合實例，學(xué)生頭腦中即可像放電影一樣掠過圓與圓之間可能出現(xiàn)的形狀，類比直線和圓的位置關(guān)系，得出圓與圓的位置關(guān)系：外離、內(nèi)含、外切、內(nèi)切、相交。

在教學(xué)中，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，對學(xué)生進(jìn)行長期的有目的的訓(xùn)練，提高對觀察作用的認(rèn)識和興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。

4注重在在解決問題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的辯證聯(lián)系能力

培養(yǎng)辯證聯(lián)系能力，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用哲學(xué)思維中聯(lián)系的、全面的、發(fā)展的、運動的觀點去觀察問題、解決問題，要求通過觀察反映事物的全貌以及事物的組成部分和相互聯(lián)系，在較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的圖形中全面反映事物的某種屬性，指出在某種特定的情況下感知對象所能發(fā)生的各種可能性。

例如：已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為30cm、5cm，且⊙o1與⊙o2相切，那么這兩圓的圓心距為多少？(兩圓相切，有內(nèi)切與外切的兩種可能)在觀察中，由于學(xué)生缺乏對事物之間內(nèi)在聯(lián)系的全面理解，導(dǎo)致感知的對象不能反映各種可能的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。在教學(xué)過程中，要幫助學(xué)生把握事物的基本屬性，在初步觀察的基礎(chǔ)上，分析觀察對象內(nèi)在的規(guī)律性，鼓勵學(xué)生依照一定的程序，深入觀察。同時，要及時對觀察的結(jié)果提出自己的觀點，與學(xué)生相互討論，對學(xué)生觀察中出現(xiàn)的遺漏，要分析原因，加以補救，使觀察結(jié)論全面、完整。

5、注重在在思維訓(xùn)練中培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察的深廣滲透能力

培養(yǎng)深廣滲透能力，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運用歸納與演繹的方法，綜合與分析的方法，一方面要求學(xué)生能夠洞察對象本質(zhì)以及揭示對象間的相互關(guān)系，能夠抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，對問題進(jìn)行深入細(xì)致的分析；另一方面又要求學(xué)生思路開闊，能夠從多方面、多角度地分析問題和解決問題，提高學(xué)生的思維能力。這是反映數(shù)學(xué)觀察活動的抽象程度和邏輯水平的重要體現(xiàn)，它反映數(shù)學(xué)思維活動的廣度和深度。因此，觀察必須始終與思維訓(xùn)練緊密結(jié)合，尤其要重視對觀察對象隱含條件的發(fā)掘，通過觀察能力的培養(yǎng)，逐步使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考意識抽象概括化、思考對象形式化、思考過程邏輯化、思考結(jié)果應(yīng)用化。

例如：若a2b30，化簡-2ab|-a5(-b7)|

對此題進(jìn)行觀察要仔細(xì)，抓住題目的特點，根據(jù)已知條件應(yīng)先去掉絕對值符號，觀察絕對值里面的是負(fù)數(shù)、零、還是