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河北省承德市黃旗中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.當(dāng)x>0,y>0,+=1時(shí),x+y的最小值為(
)A.10 B.12 C.14 D.16參考答案:D【考點(diǎn)】基本不等式.【專題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】解:∵x>0,y>0,+=1,∴x+y=(x+y)=10+=16,當(dāng)且僅當(dāng)y=3x=12時(shí)取等號(hào).∴x+y的最小值為16.故選:D.【點(diǎn)評】本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2.符號(hào)函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(
)A、1 B、2 C、3 D、4參考答案:C3.已知實(shí)數(shù)a=1.70.3,b=0.90.1,c=log25,d=log0.31.8,那么它們的大小關(guān)系是()A.c>a>b>d
B.a(chǎn)>b>c>d C.c>b>a>d
D.c>a>d>b參考答案:A4.已知函數(shù),滿足,,給出下列說法:①函數(shù)為奇函數(shù);②若函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則;③若是函數(shù)的極值點(diǎn),則也是函數(shù)的極值點(diǎn);④若,則函數(shù)在R上有極值.以上說法正確的個(gè)數(shù)是A.4
B.3
C.2
D.1參考答案:B5.若函數(shù)y=x2﹣3x﹣4的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)椋瑒tm的取值范圍是(
)A.(0,4]
B.
C.
D.參考答案:C二次函數(shù)對稱軸為,所以定義域[0,m]包含,所以,,結(jié)合二次函數(shù)對稱性可知,所以m的取值范圍是,故選C考點(diǎn):二次函數(shù)單調(diào)性與最值6.集合,則集合P∩Q的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(
)A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)參考答案:B7.在等差數(shù)列{an}中,a3﹣a2=﹣2,a7=﹣2,則a9=()A.2 B.﹣2 C.﹣4 D.﹣6參考答案:D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】由a3﹣a2=﹣2,即d=﹣2,再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【解答】解:由a3﹣a2=﹣2,即d=﹣2,∴a9=a7+2d=﹣2+2×(﹣2)=﹣6,故選:D.8.復(fù)數(shù)(a﹣i)(1﹣i)(a∈R)的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)a=()A.﹣1 B.0 C.1 D.2參考答案:C【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)部與虛部的定義即可得出.【解答】解:(a﹣i)(1﹣i)=a﹣1+(﹣1﹣a)(a∈R)的實(shí)部與虛部相等,∴a﹣1=﹣1﹣a,解得a=1.故選:C.9.函數(shù)(,且)的圖象恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在角的終邊上,則(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】令對數(shù)的真數(shù)等于1,求得x、y的值,可得定點(diǎn)A的坐標(biāo),再利用任意角的三角函數(shù)的定義求得,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式,求得的值.【詳解】對于函數(shù)且,令,求得,,可得函數(shù)的圖象恒過點(diǎn),且點(diǎn)A在角的終邊上,,則,故選:C.10.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”),則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有()A.18個(gè)B.15個(gè)C.12個(gè)D.9個(gè)參考答案:考點(diǎn):排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題..專題:新定義.分析:先設(shè)滿足題意的“六合數(shù)”為,根據(jù)“六合數(shù)”的含義得a+b+c=4,于是滿足條件的a,b,c可分四種情形,再對每一種情形求出種數(shù),即可得出“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有多少種.解答:解:設(shè)滿足題意的“六合數(shù)”為,則a+b+c=4,于是滿足條件的a,b,c可分以下四種情形:(1)一個(gè)為4,兩個(gè)為0,共有3種;(2)一個(gè)為3,一個(gè)為1,一個(gè)為0,共有A=6種;(3)兩個(gè)為2,一個(gè)為0,共有3種;(4)一個(gè)為2,兩個(gè)為1,共有3種.則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有15種.故選B.點(diǎn)評:本小題主要考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查分類討論思想.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知關(guān)于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.參考答案:.恒成立,即,易得.012.《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定:車輛駕駛員血液酒精濃度在20一80
mg/l00mL(不含80)之間,屬于酒后駕車;血液酒精濃度在80mg/l00mL(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車.據(jù)有關(guān)調(diào)查,在一周內(nèi),某地區(qū)查處酒后駕車和醉酒駕車共300人.如圖是對這300人血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖,則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為(
)
A.50
B.45
C.25
D.15
參考答案:B略13.若,則a的取值范圍是
.參考答案:14.參考答案:x=0或x=略15.經(jīng)過圓x2+2x+y2=0的圓心C,且與直線x+y=0垂直的直線方程是
.參考答案:x﹣y+1=0【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程;兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系.【分析】先求圓心,再求斜率,可求直線方程.【解答】解:易知點(diǎn)C為(﹣1,0),而直線與x+y=0垂直,我們設(shè)待求的直線的方程為y=x+b,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)b的值為b=1,故待求的直線的方程為x﹣y+1=0.故答案為:x﹣y+1=0.【點(diǎn)評】明確直線垂直的判定,會(huì)求圓心坐標(biāo),再求方程,是一般解題思路.16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A1、A2、B1、B2為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn)為M,且則該橢圓的離心率為
.
參考答案:17.若,則的值是
;參考答案:2三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)從正方體的各個(gè)棱面上的12條面對角線中任取兩條,設(shè)為兩條面對角線所成的角(用弧度制表示),如當(dāng)兩條面對角線垂直時(shí),(1)求概率P(=0);(2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望E()。參考答案:(Ⅰ)當(dāng)ξ=0時(shí),即所選的兩條面對角線平行.則P(ξ=0)=.--4分(Ⅱ)ξ=0,;P(ξ=0)==,
P(ξ=)==,
P(ξ=)==;ξ0P
--------------------10分Eξ=. --------------------12分19.(16分)某固定在墻上的廣告金屬支架如圖所示,根據(jù)要求,AB至少長3米,C為AB的中點(diǎn),B到D的距離比CD的長小0.5米,∠BCD=60°(1)若CD=x,BC=y,將支架的總長度表示為y的函數(shù),并寫出函數(shù)的定義域.(注:支架的總長度為圖中線段AB、BD和CD長度之和)(2)如何設(shè)計(jì)AB,CD的長,可使支架總長度最短.參考答案:【考點(diǎn)】:解三角形的實(shí)際應(yīng)用.【專題】:應(yīng)用題;不等式的解法及應(yīng)用.【分析】:(1)△BCD中,CD=x,BC=y,∠BCD=60°,由余弦定理可得x,y的關(guān)系式;(2)設(shè)y﹣1=t(t≥0.5),則原式l=4t++5.5,利用基本不等式求出結(jié)果.解:(1)由CD=x,則BD=x﹣0.5,設(shè)BC=y,則支架的總長度為AC+BC+BD+CD,在△BCD中,由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=(x﹣0.5)2,化簡得y2﹣xy+x﹣0.25=0,即x=
①…(4分)記l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5(﹣0.5<x<0.5或x>1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)(2)由題中條件得2y≥3,即y≥1.5,設(shè)y﹣1=t(t≥0.5)則原式l=4t++5.5
…(10分)∵t≥0.5,∴由基本不等式4t+有且僅當(dāng)4t=,即t=時(shí)成立,∴y=+1,∴x=,∴當(dāng)AB=,CD=時(shí),金屬支架總長度最短.…(16分)【點(diǎn)評】:本題借助三角形的余弦定理建立函數(shù)解析式,考查函數(shù)的最值問題,是中檔題.20.已知向量=(),=(,),,函數(shù),其最小正周期為.(1)求函數(shù)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,S為其面積,若=1,b=l,S△ABC=,求a的值.參考答案:解:(1)增區(qū)間為(2)
略21.(本題滿分12分)汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛);
轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(Ⅰ)求z的值;
(Ⅱ)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(Ⅲ)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.參考答案:(1)設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,n/50=10/(100+300),所以n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400
(3)樣本的平均數(shù)為9,
那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的數(shù)為9.4,
8.6,
9.2,
8.7,
9.3,
9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為0.75
略22.如圖,AB是⊙O的一條切線,切點(diǎn)為B,直線ADE,CFD,CGE都是⊙O的割線,已知AC=AB.(1)求證:FG∥AC;(2)若CG=1,CD=4.求的值.參考答案:【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段;相似三角形的判定.【分析】(1)由切割線定理得AB2=AD?AE,從而AD?AE=AC2,進(jìn)而△ADC∽△ACE,由此能證明FG∥AC.(2)由題意可
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