曲線積分及曲面積分習(xí)題課件

（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場(chǎng)論初步

一、主要內(nèi)容曲線積分曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計(jì)算三代一定二代一定(與方向有關(guān))與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計(jì)算一代,二換,三投(與側(cè)無(wú)關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))定積分曲線積分重積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系計(jì)算上的聯(lián)系其中理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式梯度通量旋度環(huán)流量散度（三）場(chǎng)論初步二、典型例題思路閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線或用公式對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法解(如下圖)曲面面積的計(jì)算法SDxy曲頂柱體的表面積如圖曲頂柱體，解由對(duì)稱性對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法1.利用高斯公式具有則外側(cè).一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2.通過投影化為二重積分注意的確定!3.向量點(diǎn)積法(化為同一組坐標(biāo)積分）

被積函數(shù)中有抽象函數(shù),故無(wú)法直接計(jì)算.?如直接計(jì)算分析用高斯公式.例Σ是錐面所圍立體的表面計(jì)算設(shè)f(u)是有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算和球面及外側(cè).解由于故由高斯公式=

球例解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系例.計(jì)算曲面積分其中,解:引申:1.本題改為橢球面

時(shí),應(yīng)如何計(jì)算?應(yīng)如何計(jì)算?2.若本題改為不經(jīng)過原點(diǎn)的任意閉曲面的外側(cè)，計(jì)算：其中：引申:1然后用高斯公式.引申:2分兩種情形情形1：不包圍原點(diǎn)的任意閉曲面。情形2：包圍原點(diǎn)的任意閉曲面。問題轉(zhuǎn)化為與引申1類似的情形。例.

設(shè)是曲面解:

取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),

為xoy平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計(jì)算則第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式計(jì)算,得例.計(jì)算曲面積分中是球面解:利用對(duì)稱性用重心公式(曲面關(guān)于xoz面對(duì)稱）例.設(shè)L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時(shí)針方向,計(jì)算解:

記為