高中數(shù)學-平面向量的基本定理及坐標表示教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》目標分析知識與技能理解平面向量的基底的意義與作用，學會選擇恰當?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表示為一組基底的線性組合；了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等）。過程與方法通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學生體會數(shù)學定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗定理所蘊含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度價值觀培養(yǎng)學生主動探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學思維的全過程；與物理學科之間的滲透，改善數(shù)學學習信念，提高學生學習數(shù)學的興趣。《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》教材分析平面向量基本定理是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景．其教育價值主要體現(xiàn)在有助于學生體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，感受數(shù)學在解決實際問題中的作用，有助于學生認識數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗、領(lǐng)悟數(shù)學的創(chuàng)造性和普遍聯(lián)系性，有助于學生發(fā)展智力，提高運算、推理能力（1）應(yīng)了解的內(nèi)容：共線向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。應(yīng)理解的內(nèi)容：向量的概念，兩個向量共線的充要條件，平面向量坐標的概念。應(yīng)掌握的內(nèi)容：向量的幾何表示，向量的加法與減法，實數(shù)與向量的積，平面向量的坐標運算，平面向量的數(shù)量積及幾何意義，向量垂直的條件，。（2）注意處理好新舊思維矛盾學習向量運算與學習數(shù)的運算有類似之處：從學習順序上看，都是先定義運算，再研究運算性質(zhì)；從學習內(nèi)容來看，向量運算具有與數(shù)的運算類似的良好性質(zhì)。當引入向量后，運算對象擴充了，不僅僅是數(shù)的運算了，向量運算是建立在新的運算法則上，向量的運算與實數(shù)的運算不盡相同，向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用，它有一套自己的運算法則。但很多學生往往完全照搬數(shù)的運算法則，而不注意向量運算法則的特點，因此常常出錯。在教學中要注意新舊知識之間的矛盾沖突，及時讓學生加以辨別、總結(jié)，利于正確理解向量的實質(zhì)。例如向量的加法與向量模的加法的區(qū)別，向量的數(shù)量積與實數(shù)積的區(qū)別，在坐標表示中兩個向量共線與垂直的充要條件的區(qū)別等等。(3)注意數(shù)學思想方法的滲透在這一章中，從引言開始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學思想方法。例如，從帆船在大海中航行時的位移，滲透數(shù)學建模的思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透平移變換的思想。由于向量具有兩個明顯特點——“形”的特點和“數(shù)”的特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標實際是把點與數(shù)聯(lián)系了起來，進而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題。總之，本節(jié)教材內(nèi)容具有以下幾個方面的特點：向量在數(shù)學中的地位向量是近代數(shù)學中重要的概念，它不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實際問題的重要工具，因此具有很高的教育價值。本節(jié)在教學中的地位平面向量基本定理是向量進行坐標表示，并由此進一步將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標運算的重要基礎(chǔ)；該“定理”以二維向量空間為依托，可以推廣到n維向量空間，是今后引出空間向量用三維坐標表示的基礎(chǔ)。因此本節(jié)知識在本章中起承上啟下的作用。本節(jié)在教學思維方面的培養(yǎng)價值平面向量基本定理蘊含了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表達事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對象的集合），并把對事物的研究轉(zhuǎn)化為對事物基本要素研究的典型范例，這是人們認識事物的一種重要方法。《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》學情分析有利因素學生在前面已經(jīng)掌握了向量的基本概念和基本運算（特別是向量加法平行四邊形法則和向量共線的充要條件）都為學生學習本節(jié)內(nèi)容提供了知識準備；學生在物理學科的學習中已經(jīng)清楚了力的合成和力的分解，同時作圖習慣已經(jīng)養(yǎng)成，這為我們學習向量分解提供了認知準備。不利因素學生對向量加減法及數(shù)乘運算的意義與作用認識不夠，可能增加向量用基底表示時的難度；對于向量加減法及數(shù)乘運算停留在幾何直觀的理解上，缺乏從代數(shù)運算的角度理解向量運算特征的感受，容易將平面向量基本定理的作用僅僅理解為形式上的變換。如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學生是不會從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認識這個定理在今后用向量方法解決問題中的重要作用。2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示【教學目標】知識與技能：(1)理解平面向量的基底的意義與作用，學會選擇恰當?shù)幕?，將簡單圖形中的任一向量表示為一組基底的線性組合；(2)了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等）。過程與方法：(1)通過平面向量基本定理，認識平面向量的“二維”性，并由此進一步體會“某一方向上的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；(2)通過對平面向量基本定理的探究過程，讓學生體會數(shù)學定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗定理所蘊含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度、價值觀：(1)培養(yǎng)學生主動探求知識、合作交流的意識，感受數(shù)學思維的全過程；(2)與物理學科之間的滲透，改善數(shù)學學習信念，提高學生學習數(shù)學的興趣。【教學重點】平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的坐標表示.【教學難點】平面向量基本定理的理解及運用.【教學過程】（一）復(fù)習引入1.向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？平行四邊形法則、三角形法則2.怎樣理解向量的數(shù)乘運算？（1）模：|；（2）方向：時，與方向相同；時，與方向相反；時，.3.平面向量共線定理是什么？非零向量與向量共線等價于存在唯一實數(shù)λ，使.4．在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學理論.（二）學習新知知識點Ⅰ：平面向量基本定理探究1：給定平面內(nèi)任意兩個向量，如何求作向量和？探究2：在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線上分別找一點，使？探究3：在上圖中，設(shè)，，，則向量、分別與，的關(guān)系如何？從而向量與，的關(guān)系如何？探究4：若上述向量，，都為定向量，且，不共線，則實數(shù)是否存在？是否唯一？探究5：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量，表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？若，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.探究6：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么：

①作為基底的這兩個向量是什么位置關(guān)系？②同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？③當基底確定后向量的表示是否唯一？練一練：下面三種說法:①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解:平面內(nèi)向量的基底是不唯一的.在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述：②③正確.選B.知識點Ⅱ：平面向量的正交分解及坐標表示探究1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量和，作，，如圖.為了反映這兩個向量的位置關(guān)系，稱為向量與的夾角.你認為向量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？探究2：如果向量與的夾角是，則稱向量與垂直，記作.互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.探究3：在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)，使得.我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作.其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示.那么的幾何意義如何？探究4：相等向量的坐標必然相等，作向量，則，此時點的坐標是什么？aaiOj練一練：如圖，已知向量是兩個互相垂直的單位向量，向量與的夾角是30°，且，以向量為基底，如何表示向量？思考：如果以圖中的O為坐標原點，以向量的方向分別為平面直角坐標系的軸、軸的正方向，那么向量的坐標是什么？（三）應(yīng)用舉例例1：已知向量(如圖5),求作向量作法:(1)如圖,任取一點O,作,.(2)作OACB.故就是求作的向量.思考：還有其它解法嗎？（因為所以利用向量減法運算的三角形法則也可得到）例2：如圖，寫出向量，，，的坐標.解:由圖可知,=+=,.同理,;;.本題小結(jié):本例要求用基底、表示、、、,其關(guān)鍵是把、、、表示為基底i、j的線性組合.一種方法是把正交分解,看在軸、軸上的分向量的大小.把向量用、表示出來,進而得到向量的坐標.另一種方法是把向量移到坐標原點,則向量終點的坐標就是向量的坐標.同樣的方法,可以得到向量、、的坐標.例3：如圖，在平行四邊形中，，，分別是的中點，點在上，且，以為基底分別表示向量和ABABEDCFM處理方法:教師引導(dǎo)學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.然后讓學生到黑板上板書步驟,并對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學給予提示和鼓勵.解:由所在位置,有=.一題多解：向量還有其它解法嗎？本題小結(jié)：用已知向量表示未知向量：本質(zhì)：利用向量的加法和減法對有關(guān)向量進行分解。方法：結(jié)合圖像，從以下角度入手：（1）要用基向量意識，把有關(guān)向量盡量統(tǒng)一到基向量上來；（2）把要表示的向量標在封閉的圖形中，表示為其它向量的和或差的形式，進而尋找這些向量與基向量的關(guān)系；（3）用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮用加法，否則用減法，如果此向量與一個易求向量共線，可用數(shù)乘。拓展延伸：在上題中若改為設(shè)，，試以為基底分別表示向量和解：由例題的分析可知:，在本變式中由，得：，解得（四）鞏固練習1.已知向量，，其中、不共線，則與的關(guān)系（）A.不共線B.共線C.相等D.無法確定2.已知向量、不共線，實數(shù)、滿足，則的值等于()A.B.C.D.3.已知為的重心,設(shè),,試用、表示向量.4.是兩個不共線的向量,已知,,,若三點共線,試求實數(shù)的值.（五）本課小結(jié)（Ⅰ）知識點：平面向量的基本定理；向量的夾角與垂直的定義；平面向量的正交分解；平面向量的坐標表示.（Ⅱ）數(shù)學思想與方法：待定系數(shù)法、歸納與類比、數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想、方程的思想（六）課后作業(yè)1.必做題：課本102頁第3題2.選做題：課本102頁第4題3.課后探究作業(yè)：請同學們課下小組合作探究下列命題正確與否：對比今天所做的必做題：與是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實數(shù),使得,則.試證明下面的問題：與是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實數(shù),使得，則.（七）板書設(shè)計：課題平面向量基本定理2、向量的夾角3、正交分解4、向量的坐標多媒體課件展示影區(qū)例題3：（1）（2）《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》評測練習1.已知向量，，其中、不共線，則與的關(guān)系（）A.不共線B.共線C.相等D.無法確定2.已知向量、不共線，實數(shù)、滿足，則的值等于()A.B.C.D.3.已知為的重心,設(shè),,試用、表示向量.4.是兩個不共線的向量,已知,,,若三點共線,試求實數(shù)的值.5.證明下列兩個結(jié)論：（1）與是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實數(shù),使得,則.（2）與是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,若存在實數(shù),使得，則.《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》效果分析1.本節(jié)課內(nèi)容是為了研究向量方便而引入的一個新定理——平面向量基本定理.教科書首先通過“思考”:讓學生思考對于平面內(nèi)給定的任意兩個向量進行加減的線性運算時所表示的新向量有什么特點,反過來,對平面內(nèi)的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.2.教師應(yīng)該多提出問題,多讓學生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過解題來總結(jié)方法,引導(dǎo)學生理解“化歸”思想對解題的幫助,也要讓學生善于用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這部分的題.3.如果條件允許,借助多媒體進行教學會有意想不到的效果.整節(jié)課的教學主線應(yīng)以學生練習為主,教師給與引導(dǎo)和提示.充分讓學生經(jīng)歷分析、探究并解決實際問題的過程,這也是學習數(shù)學,領(lǐng)悟思想方法的最好載體.學生這種經(jīng)歷的實踐活動越多,解決實際問題的方法就越恰當而簡捷.《平面向量基本定理、正交分解及坐標表示》觀評記錄吳老師點評：賈老師的教學特點如下：

1、教學設(shè)計好，教學流程清楚，環(huán)節(jié)緊湊、流暢，由易到難，層次分明，知識梳理清晰，既有對集體備課形成的教學案的使用吸收，又有個人的創(chuàng)新、獨到之處，注重了基本數(shù)學方法的培養(yǎng)與基本數(shù)學思想的滲透，讓學生從整體、系統(tǒng)的角度領(lǐng)悟復(fù)習要求，從整體上處理教材內(nèi)容，從系統(tǒng)上把握要求，整個設(shè)計把教學過程變成學生對知識的理解應(yīng)用過程，變成了學生自己探索提升的過程，讓學生的能力得到了提高。2、教學定位非常準。上課能與學生的有效溝通，雖說上這節(jié)講評課時間緊，內(nèi)容和知識點多，上課舍得把時間給學生去交流思考思路、去講解解決問題過程；不僅自己板書示范，還讓學生板書解題過程，老師充分放手讓學生自己動手，動口，老師只引導(dǎo)點撥，使學生主動獲取知識，在潛移默化中領(lǐng)悟知識，使學生完全成為課堂主人，達到知識學習與能力培養(yǎng)的統(tǒng)一，說明她善于啟發(fā)調(diào)動學生學習的主動性，有較強的駕馭課堂的能力。建議：本節(jié)課是概念定理講授課，是否可以把橫向綜合性比較強、能力要求比較抽象的題目放在下節(jié)課，再在本節(jié)定理理解上再深入點、多花點時間呢。付老師：賈老師的課：（1）注重了學生動手操作能力的培養(yǎng)，如動手畫一畫環(huán)節(jié)讓學生畫向量的和得結(jié)論。（2）注重及時總結(jié)梳理知識。（3）注重學生推理能力的培養(yǎng)。（4）注重分層指導(dǎo)和分層作業(yè)。（5）注意學生的板演糾正。劉老師：賈老師的課：（1）注重學生學習興趣的培養(yǎng)。（2）注重好習慣的培養(yǎng)，如做筆記的習慣，回答問題過程嚴謹敘述的習慣，一題多解的習慣。（3）抓住難點和疑點仔細剖析。（4）課堂氣氛輕松愉快，得益于教師語言風趣幽默，體現(xiàn)出老師駕馭課堂的能力很強。（5）所選例題習題有梯度。但應(yīng)注意照顧大多數(shù)學生，特別是中下游學生，練習題的解答中出現(xiàn)的問題。邵老師：本節(jié)課的教學有以下閃光點：教學設(shè)計合理，教學方法以一中模式為載體，變教為探，環(huán)環(huán)相扣，突出數(shù)形結(jié)合思想。教師教學基本功扎實，教態(tài)自然，板書合理，靈活使用多媒體。當然，“金無足赤、人無完人”，本節(jié)課依然存在一些不足：個別問題提的不明確。由于電腦原因，幾何畫板用的不夠自然?！镀矫嫦蛄炕径ɡ怼⒄环纸饧白鴺吮硎尽氛n后反思本堂課屬于概念課，作為數(shù)學的概念課是非常難講的課題，一來你得讓學生在第一時間能清晰的對概念的內(nèi)涵和外延有深的認識，爭取打成思維上的認同，避免