期望-方差公式-方差和期望公式

們兩人獲勝的機(jī)率相等，比賽規(guī)則是先勝三iiiiiii=1i=1iii=1iiiii(1)設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C。(3)E(X+X)=E(X)+E(X)。212紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量一個(gè)重要的數(shù)字特征。但是在一些場(chǎng)合下，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均值是不夠的，還需要知道隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度，這就是iiii越分散.(|xw[x-E(XXkKKiiiiiiiiiiiii=1i=1(1)設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0。CDCXCDX(3)若X與Y獨(dú)立，則方差的公式得一[E(Y)]2一2E(X)E(Y)可推廣為：若X,X，…，X相互獨(dú)立，則12nD[xnX]=xnD(X)iiii=1D[xnCX]=xnC2D(X)iiiii=1i=1五、常見的期望和方差公式的推導(dǎo)過(guò)程(一)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式與運(yùn)算性質(zhì)列舉及證明 i12證明：令n=a+ba,b為常數(shù)n也為隨機(jī)變量PaxbPxi.ii所以n的分布列為npax+b1p12p2……npn……1122nn=a(xp+xp+...xp+...)+b(p+p+...+p+...)1122nn12nEnaEbxEpiii=1iiii=1iiiiii=1i=1i=1Eiiiii=1i=1iiiiiiii=1i=1i=1i=1iiiii=1i=1(二)二項(xiàng)分布公式列舉及證明nkk=0那么在n次實(shí)驗(yàn)中該結(jié)果發(fā)生的次數(shù)飛的概率分布為Cn_1pn_1qn2C2p2qn_2n3C3p3qn_3n1nnCnpnn0C0qnnPnn_1n_1n_1n_1n_1n_1nnnnnnnn_1n_1n_1n_1n_112...nii12...niiiE(X)=E[xnX]=xnE(X)=npiinn_1n_2nn_1n-1n-1n-1n-1n-2nn-1n-2nnn-1n-2ii=2=npqn-1+npxnCi-1pi-1qn-i-npC0qn-1+n(n-1)p2xnCi-2pi-2qn-in-1n-1n-2ii=2X1il0如第i次試驗(yàn)成功如第i次試驗(yàn)失敗iiiiii12ni(三)幾何分布的期望與方差的公式列舉及證明1．定義5：幾何分布(Geometricdistribution)是離散型概率分布。定義6：在第n次伯努利試驗(yàn)，才得到第一次成功的機(jī)率。若P(=k)=qk1p，則(1)E=1，(2)D=1p。pp2求證：(1)幾何分布的期望公式8：E=1，pE=p123……K……PPPPPPP(1P)K1kkkS=故1+2p+3q2+...+kqk1+...=limS=1=1，kk(1q)2p2所以E=1p求證：(2)p(=k)=g(k,p)幾何分布的方差公式9：D=p2=(x)'=(1x)(x)1x(1x)21=1xqqqkqk+(2)為簡(jiǎn)化運(yùn)算，利用性質(zhì)D=E2(E)2來(lái)推導(dǎo)。=[q]'=(1q)2+2(1q)q(1q)2(1q)4因此D