【2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】《空間幾何體及其表面積和體積》

第1講空間幾何體及其表面積和體積1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征．2．了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)．-1-基礎(chǔ)自查1．多面體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念名稱(chēng)概念圖形舉例結(jié)構(gòu)特征棱柱由一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱兩個(gè)底面是

的多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相

．側(cè)面都是

．棱錐當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的幾何體叫做棱錐底面是

．側(cè)面是有一個(gè)

的三角形．棱臺(tái)棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，截面和底面之間的部分，叫做棱臺(tái)上、下兩個(gè)底面是

多邊形且對(duì)應(yīng)邊互相

．各側(cè)棱延長(zhǎng)后

.全等平行平行四邊形多邊形公共頂點(diǎn)相似平行交于一點(diǎn)-1-(2)多面體的概念：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做

．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征多面體名稱(chēng)概念圖形表示符號(hào)表示圓柱圓柱是由矩形繞著它的

所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體圓柱OO′圓錐圓錐是由直角三角形繞著它的一條

所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體圓錐OO′邊直角邊-1-圓臺(tái)圓臺(tái)是由直角梯形繞著它的

所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體圓臺(tái)OO′球半圓繞著它的

所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做球球O垂直于底邊的腰直徑-1-3.直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的概念，側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積平面展開(kāi)圖：一些簡(jiǎn)單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開(kāi)而成平面圖形，這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展開(kāi)圖，展開(kāi)圖的面積稱(chēng)為多面體的表面積(或全面積).名稱(chēng)概念展開(kāi)圖舉例及說(shuō)明側(cè)面積公式直棱柱側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫

．底面為正多邊形的直棱柱叫做

.直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形S直棱柱側(cè)＝

.直棱柱正棱柱ch-1-正棱錐正棱臺(tái)-1-4.旋轉(zhuǎn)體的表面積公式

(1)圓柱的側(cè)面積S＝

(其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．

(2)圓錐的側(cè)面積S＝

(其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．

(3)圓臺(tái)的側(cè)面積公式S＝

(其中r′，r為上、下底面半徑，l為母線長(zhǎng))．

(4)球的表面積公式S＝

(其中R為球半徑)．2πrlπrlπ(r＋r′)l4πR2Sh

-1-聯(lián)動(dòng)思考想一想：對(duì)于不規(guī)則的幾何體應(yīng)如何求其體積？答案：對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．雖說(shuō)在某些情況下，割補(bǔ)法優(yōu)于整體法，但是一般情況下，還是應(yīng)該先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體思考．-1-聯(lián)動(dòng)體驗(yàn)1．下列命題中正確的序號(hào)有________．①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；②用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，一定得到一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓錐；③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；④將一直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所得圓錐的母線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)．答案：④-1--1-4．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，則圓臺(tái)的高為_(kāi)_______cm；截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.-1-考向一幾何體的表面積-1--1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1．多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．2．組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．-1-遷移發(fā)散-1--1-考向二幾何體的體積【例2】

三棱錐S－ABC中，一條棱長(zhǎng)為a，其余棱長(zhǎng)均為1，求a為何值時(shí)三棱錐的體積VS－ABC最大，并求最大值．-1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣(1)計(jì)算多面體的體積，基礎(chǔ)仍是多面體中一些主要線段的關(guān)系，要求概念清楚，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系要明確，關(guān)鍵是正確地計(jì)算其底面面積和相應(yīng)的高．(2)在計(jì)算多面體體積時(shí)要注意割補(bǔ)法和等積變換的應(yīng)用．(3)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積關(guān)鍵是計(jì)算半徑和高度．-1-遷移發(fā)散-1-考向三幾何體的表面展開(kāi)圖【例3】

如圖，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P、Q兩點(diǎn)，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點(diǎn)爬到Q點(diǎn)，問(wèn)螞蟻爬過(guò)的最短路徑是多少？-1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1．多面體的展開(kāi)圖：(1)直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形．(2)正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形．(3)正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．2．旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖：(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，矩形的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的母線長(zhǎng)．(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)．(3)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)．-1-遷移發(fā)散3．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝

c，并且a>b>c>0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線路的長(zhǎng)．解：將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有下列三種可能，如下圖所示．-1-課堂總結(jié)感悟提升1．應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用．2．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加．3．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，兩邊為底面周長(zhǎng)和母線；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，弧長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，半徑為母線長(zhǎng)；圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，兩弧長(zhǎng)為兩底面周長(zhǎng)，腰為母線長(zhǎng)．4．常用的幾個(gè)思想方法

(1)還臺(tái)為錐的思想：這是處理臺(tái)體時(shí)常用的思想方法．

(2)割補(bǔ)法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時(shí)常用．