高中數(shù)學(xué)人教B版三學(xué)案：3．4　概率的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．4概率的應(yīng)用［學(xué)習(xí)目標(biāo)]了解概率在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用,樹立學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］1.概率的應(yīng)用比較廣泛,我們?nèi)粘Ｓ玫奈C(jī)的鍵盤，空格鍵不僅最大，而且放在使用方便的位置,原因是空格的使用頻率最高；在漢字輸入時，當(dāng)輸入拼音“shu”，則提示有以下幾種選擇1。數(shù)，2。書,3.樹，4。屬，5.署…這個顯示順序基本上就是按照拼音為“shu"的漢字出現(xiàn)頻率從大到小排列的．2。在密碼的編制和破譯中，概率論起著重要的作用．3。社會調(diào)查人員希望從人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到對他們所提問題誠實(shí)的回答．但是被采訪者常常不愿意如實(shí)地作出應(yīng)答.1965年StanleyL。Warner發(fā)明了一種應(yīng)用概率知識來消除這種不愿意情緒的方法.要點(diǎn)一概率在破譯密碼中的應(yīng)用例1為了保證信息安全傳輸，有一種稱為密鑰的密碼系統(tǒng)（Private。KeyCryptosystem），其加密、解密原理如下：明文eq\o（→,\s\up14(加密密鑰））密文eq\o(→，\s\up14（解密密鑰)）明文設(shè)加密密鑰為y＝ax＋1,明文“3”通過加密后得到密文“16"，接收方收到密文后，通過解密密鑰解密得到明文“3"．（1）若接收方接到密文為“64”，則解密后的明文是多少?(2）若用數(shù)字1，2,3,…分別表示A,B，C…（字母表中的順序），且在英文常用文章中字母“E”(即5)出現(xiàn)的概率為10。5％，則上述密碼系統(tǒng)中，其對應(yīng)的密文出現(xiàn)的概率是多少？解由題意知，16＝a3＋1,解得a＝2.（1)由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”(2)因?yàn)槊魑呐c密文之間是一一對應(yīng)關(guān)系,所以其對應(yīng)密文出現(xiàn)的概率也是10。5％.規(guī)律方法密碼技術(shù)在軍事、政治、經(jīng)濟(jì)方面有著廣泛的用途．為了使密碼設(shè)計更難破譯，人們發(fā)明了許多反破譯的方法，利用隨機(jī)序列就是一種極為重要的方法，其原理是:利用取值在1到26之間的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)序列，使每個字母出現(xiàn)在密碼中的概率都相等．跟蹤演練1現(xiàn)代社會對破譯密碼的要求越來越高,有一種密碼把英文的明文（真實(shí)文）按字母分解，其中英文的a，b，c,…，z的26個字母（不論大小寫）依次對應(yīng)1，2,3，…,26，這26個自然數(shù)，見表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出下列一個變換公式：x′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（x＋1，2)x∈N，1≤x≤26,x不能被2整除，，\f（x,2)＋13x∈N,1≤x≤26，x能被2整除。）)將明文轉(zhuǎn)換成密文，如8→eq\f(8,2）＋13＝17，即h變成q；5→eq\f（5＋1，2）＝3，即e變成c。(1)按上述規(guī)定，將明文good譯成密文是（）A．love B．eovlC．dhho D．ohhd（2）按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是（)A．lhho B．ohhlC．love D．eovl答案（1)C(2)C解析（1)g→7→eq\f(7＋1，2）＝4→d，o→15→eq\f（15＋1,2)＝8→h，d→4→eq\f(4，2)＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.（2）逆變換公式為x＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x′－1x′∈N，1≤x′≤13，，2x′－26x′∈N,14≤x′≤26，))則s→19→2×19－26＝12→l,h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.要點(diǎn)二社會調(diào)查問題例2深夜，某市某路段發(fā)生一起出租車交通事故．該市有兩家出租車公司,紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司的出租車分別占整個城市出租車的15%和85％.據(jù)現(xiàn)場目擊證人說,事故現(xiàn)場的出租車是紅色的，并對現(xiàn)場目擊證人的辨別能力做了測試,測得他辨認(rèn)的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大嫌疑．你覺得警察這樣的認(rèn)定公平嗎？解設(shè)該市的出租車有1000輛，那么依題意可得如下信息：證人眼中的顏色（正確率80％）真實(shí)顏色實(shí)際數(shù)據(jù)藍(lán)色紅色藍(lán)色(85％)850680170紅色(15％)15030120合計1000710290從表中可以看出，當(dāng)證人說出租車是紅色時，確定它是紅色的概率為eq\f(120,290）≈0.41，而它是藍(lán)色的概率為eq\f（170，290)≈0.59.在實(shí)際數(shù)據(jù)面前，警察僅以目擊證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車公司顯然是不公平的．規(guī)律方法社會調(diào)查人員希望從人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到對他們所提問題誠實(shí)的回答．但是被采訪者常常不愿意如實(shí)地作出應(yīng)答。1965年StanleyL。Warner發(fā)明了一種應(yīng)用概率知識來消除這種不愿意情緒的方法．Warner的隨機(jī)化應(yīng)答方法要求人們隨機(jī)地回答所提兩個問題中的一個，而不必告訴采訪者回答的是哪個問題．兩個問題中有一個是敏感的或者是令人為難的;另一個問題是無關(guān)緊要的．這樣應(yīng)答者將樂意如實(shí)地回答問題，因?yàn)橹挥兴雷约夯卮鸬氖悄膫€問題．跟蹤演練2某地政府準(zhǔn)備對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)村產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,為此政府進(jìn)行了一次民意調(diào)查。100個人接受了調(diào)查，他們被要求在“贊成調(diào)整”“反對調(diào)整"“對這次調(diào)查不發(fā)表看法”中任選一項,調(diào)查結(jié)果如下表:男女合計贊成調(diào)整18927反對調(diào)整122537對這次調(diào)查不發(fā)表看法201636合計5050100隨機(jī)選取一個被調(diào)查者，他對這次調(diào)整表示反對或不發(fā)表看法的概率是多少？解用A表示事件“對這次調(diào)整表示反對”，B表示事件“對這次調(diào)整不發(fā)表看法”，則A和B是互斥事件,并且A∪B就表示事件“對這次調(diào)整表示反對或不發(fā)表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B）＝P(A)＋P（B)＝eq\f(37,100)＋eq\f(36，100)＝0.73。要點(diǎn)三利用概率知識解決實(shí)際生活中的決策問題例3如圖所示，有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A,B.轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份,分別標(biāo)上1，2,3三個數(shù)字;轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份,分別標(biāo)上3,4,5，6四個數(shù)字．有人為甲、乙兩人設(shè)計了一個游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字,將指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字相加，如果和是6，那么甲獲勝,否則乙獲勝．你認(rèn)為這樣的游戲規(guī)則公平嗎？如果公平,請說明理由;如果不公平，怎樣修改規(guī)則才能使游戲公平？解列表如下:BA3456145672567836789由表可知，等可能的結(jié)果有12種，和為6的結(jié)果只有3種．因?yàn)镻（和為6)＝eq\f（3,12)＝eq\f（1，4），即甲、乙獲勝的概率不相等，所以這種游戲規(guī)則不公平．如果將規(guī)則改為“和是6或7，則甲勝，否則乙勝"，那么游戲規(guī)則就是公平的．規(guī)律方法游戲規(guī)則的公平與否應(yīng)看其發(fā)生的概率是否一樣，故計算出其概率觀察即可．跟蹤演練3在生活中,我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情．例如，5張票中有1張獎票，5個人按照順序從中各抽1張以決定誰得到其中的獎票,那么,先抽還是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的結(jié)果）對各個人來說公平嗎？也就是說，各個人抽到獎票的概率相等嗎？解把5張票隨機(jī)地排列在位置1，2,3，4,5上．對于這張獎票來說，由于是隨機(jī)排列,因此它的位置有五種可能，故它排在任一位置上的概率都是eq\f（1,5)，5個人按排定的順序去抽，比如甲排在3號位置上，那么他抽得獎票的概率，即獎票恰好排在3號位置上的概率為eq\f（1,5）.因此，不管先抽還是后抽,在不知前面的人抽出的結(jié)果的前提下，抽到獎票的概率都是eq\f(1,5)。因此，先抽還是后抽(后抽的人不知道先抽的人抽出的結(jié)果）對各個人來說都是公平的，即各個人抽到獎的概率相等．1。從一群游戲的小孩中抽出k人，一人分一個蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲，一會兒后，再從中任取m人,發(fā)現(xiàn)其中有n個小孩曾分過蘋果，估計一共有小孩(）A．（k·eq\f(n,m))人 B．(k·eq\f(m,n))人C．(k＋m－n）人 D.eq\f（1，2）（k＋m－n)人答案B2.據(jù)人口普查統(tǒng)計,育齡婦女生男生女是等可能的，如果允許生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是（）A.eq\f(1，2）B。eq\f(1,3）C。eq\f(1，4)D.eq\f（1,5)答案C解析所含的基本事件總數(shù)為4，分別為（男，男），(男，女），(女，男),（女，女)，∴兩胎均是女孩的概率為eq\f（1，4）。3．在所有的兩位數(shù)10～99中，任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被2或3整除的概率為（）A.eq\f(5,6)B.eq\f（4,5)C。eq\f(2，3）D.eq\f（1，2)答案C解析10~99中有90個兩位數(shù)，這些兩位數(shù)中,偶數(shù)有45個，10～99中有30個能被3整除的數(shù),其中奇數(shù)有30÷2＝15（個)，∴所求的概率為eq\f（45＋15,90)＝eq\f(2,3）.4．甲、乙兩人進(jìn)行下棋比賽，甲獲勝的概率是0。4，兩人下成和棋的概率是0。2，則甲不輸?shù)母怕适?)A．0.2 B．0.4C．0。6 D．0.8答案C解析甲不輸包括兩種情況：甲獲勝和兩人下成和棋，所以甲不輸?shù)母怕蕿?。6。5．有下列三個命題：①A，B是兩個事件，則P（A＋B）＝P(A）＋P(B）；②對立事件一定是互斥事