幾何初步知識(shí)教學(xué)要求綜述

幾何初步知識(shí)教學(xué)要求綜述數(shù)學(xué)的內(nèi)容不外乎數(shù)與形兩大部分，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容也不例外。新頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》（下稱“新大綱”）對(duì)幾何初步知識(shí)的教學(xué)作了一些重要的改革，教學(xué)要求更加明確。現(xiàn)就我個(gè)人的體會(huì)，從“歷史的回顧”、“三點(diǎn)重要的改革”以及“具體的教學(xué)要求”三個(gè)方面分別闡述，和廣大老師們共同討論。

一、歷史的回顧

我國(guó)對(duì)幾何學(xué)的研究有著悠久的歷史，翻開(kāi)二千多年前已經(jīng)成書(shū)的《九章算術(shù)》看一看，書(shū)中對(duì)許多平面圖形及其面積的求法已有詳細(xì)的記載。首先，它把一些平面圖形稱之為“田”，如方田（指正方形）、直田（指長(zhǎng)方形）、圭田（指三角形）、斜田（指梯形）。這里充分說(shuō)明人們是在一系列測(cè)田畝、定四時(shí)的農(nóng)業(yè)活動(dòng)中，逐步形成一些幾何形體概念的。同時(shí)，書(shū)中還記載了三角形的面積是“半廣以乘正從”，這里講的“廣”是指矩形，“正從”是指高，意思是把三角形割補(bǔ)成矩形，取其底長(zhǎng)的一半再乘高，便是三角形的面積；再看圓的面積，“半周半徑相乘得積步”，“積步”是當(dāng)時(shí)的面積單位“平方步”，就是說(shuō)圓周的一半與半徑相乘，用今日的圓面積公式表示，即。至于祖沖之的圓周率，更是早于印度半個(gè)世紀(jì)，早于歐洲一千多年。我國(guó)輝煌的幾何學(xué)成就，是我國(guó)寶貴的文化遺產(chǎn)之一。

然而，幾何作為一門(mén)學(xué)科開(kāi)設(shè)，在我國(guó)基礎(chǔ)教育，尤其是小學(xué)教育中，則是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定學(xué)堂章程》（1903年）中，才明確在小學(xué)設(shè)算術(shù)課，其中有一章和幾何有關(guān)，就是“求積”，內(nèi)容是田畝的算。

解放以后，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，幾何初步知識(shí)在小學(xué)算術(shù)中所占的地位也逐步明確。1952年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》規(guī)定的內(nèi)容是：直線、線段、直角、正方形和長(zhǎng)方形（包括面積）、正方體和長(zhǎng)方體（包括體積）。1956年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（修訂草案）》又增加了角、三角形的認(rèn)識(shí)及其面積等內(nèi)容。1963年《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》又增加了以下內(nèi)容：垂線和平行線，圓（包括周長(zhǎng)與面積），平行四邊形和梯形（包括它們的面積），圓柱、圓錐、棱柱、棱錐（包括它們的面積）；同時(shí)還學(xué)習(xí)一些最簡(jiǎn)單的作圖和測(cè)量。1963年的大綱是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)最多的一個(gè)大綱。

經(jīng)過(guò)十年動(dòng)亂后，1978年在調(diào)查研究基礎(chǔ)上，頒布了《全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》，對(duì)1963年規(guī)定的內(nèi)容作了調(diào)整，刪去較難的棱柱、棱錐，增加了扇形?，F(xiàn)行教學(xué)大綱（指1986年由國(guó)家教委正式制訂的《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》）規(guī)定的內(nèi)容與1978年的相同。

綜上所述，我們可以看到小學(xué)幾何初步知識(shí)的內(nèi)容是隨著科技的進(jìn)步和基礎(chǔ)教育的發(fā)展而逐步增加、逐步完善的。因?yàn)閷W(xué)一些幾何知識(shí)是適應(yīng)小學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及將來(lái)參加生產(chǎn)建設(shè)的需要的，這是一個(gè)方面。而另一方面，還可以看到，幾十年來(lái)，我國(guó)小學(xué)幾何初步知識(shí)的教學(xué)仍始終未能完全突破“以求積為中心”的傳統(tǒng)觀念，忽視了空間觀念的培養(yǎng)，而這個(gè)問(wèn)題，則在新大綱中得到了較好的解決。

二、

新大綱中的三點(diǎn)改革

（一）

明確小學(xué)幾何初步知識(shí)的性質(zhì)——直觀幾何（實(shí)驗(yàn)幾何）。

從幾何發(fā)展的歷史中可以看到，人們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)首先根據(jù)生活、生活實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，依靠直覺(jué)觀察、反復(fù)實(shí)驗(yàn)而形成的（這一點(diǎn)在第一個(gè)問(wèn)題中已經(jīng)涉及）。很明確，不是靠后來(lái)人們整理時(shí)所運(yùn)用的邏輯推理而形成的。再看一下，小學(xué)生的思維又正處在由直觀表象思維為主向抽象邏輯思維為主的過(guò)渡階段，他們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)還相當(dāng)于人類早期認(rèn)識(shí)幾何的階段。因此，在小學(xué)階段學(xué)的應(yīng)該屬于直觀幾何，就是要通過(guò)他們自己的拼拼擺擺、折折疊疊、量量畫(huà)畫(huà)等實(shí)際操作，認(rèn)識(shí)圖形的某些特性，積累一定的空間觀念。這樣，可以為今后升入中學(xué)逐步學(xué)習(xí)論證幾何作好準(zhǔn)備。這里我想舉一個(gè)例子說(shuō)明。小學(xué)里學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，總是用“撕角”拼成一個(gè)平角，或是用量角器量出三個(gè)角的度數(shù)，以此說(shuō)明其內(nèi)角和等于180°。這些方法看來(lái)是極為簡(jiǎn)單或者說(shuō)是比較“低級(jí)”的，因?yàn)樗臏?zhǔn)確度是有限的。如果采用邏輯證明，便可使人確信無(wú)疑。如下：

∠1+∠2+∠3=180°

證明：過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線DE，

∠1=∠4

∠2=∠5（內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠4+∠3+∠5=180°

所以∠1+∠2+∠3=180°

但是，像上面這種推理方法，小學(xué)生是不能夠接受的，只是通過(guò)孩子們自己動(dòng)手撕撕、拼拼、量量、畫(huà)畫(huà)，直觀地“證明”或“發(fā)現(xiàn)”它們的關(guān)系，積累比較豐富的感性認(rèn)識(shí)，這樣才有可能為將來(lái)學(xué)習(xí)論證幾何打下良好的基礎(chǔ)。

為此，新大綱一再指出：“通過(guò)直觀學(xué)習(xí)一些幾何初步知識(shí)……”，強(qiáng)調(diào)“幾何初步知識(shí)的教學(xué)，要充分利用和創(chuàng)造各種條件，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)物體、模型的觀察、測(cè)量、拼擺、畫(huà)圖、制作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，掌握形體的基本特征和面積、體積的計(jì)算方法，并注意在實(shí)際中應(yīng)用，以利于培養(yǎng)初步的空間觀念。

（二）突破“以求積為中心”的框子，加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。

前面已經(jīng)提到1963年的大綱是幾何初步知識(shí)學(xué)得最多的，但是即使如此，這一大綱在加強(qiáng)“雙基”的指導(dǎo)思想之下，提出了“以四則計(jì)算為中心”，與其相應(yīng)的幾何初步知識(shí)是“以求積為中心”，因此，對(duì)空間觀念的培養(yǎng)仍是比較忽視。直到新大綱頒發(fā)前，雖然每個(gè)教學(xué)大綱都談到“初步的空間觀念”，但是什么是空間觀念？應(yīng)該怎樣培養(yǎng)？這些問(wèn)題都是含糊不清的。每次畢業(yè)考試中有關(guān)幾何的題目，也都是停留于求面積和體積。

新大綱首先回答了什么是空間觀念？空間觀念是在空間知覺(jué)基礎(chǔ)上形成起來(lái)的，它是形體的大小、形狀及其相互位置關(guān)系在人腦中的表象。新大綱又第一次比較恰當(dāng)而明確地指出了在小學(xué)階段培養(yǎng)初步空間觀念的“標(biāo)高”。這里包括三點(diǎn)要求：一是要求學(xué)生聽(tīng)到某一圖形的名稱，就能在頭腦中正確地再現(xiàn)它的形象；二是能夠獨(dú)立地看懂所畫(huà)出的已學(xué)過(guò)的平面及立體圖形，正確掌握它們的名稱；三是能夠在各種圖形或模型中，正確地找出自己所需要的圖形，恰當(dāng)?shù)匕阉鼈兎诸?。最后，新大綱又指出要充分利用各種條件，讓學(xué)生通過(guò)各種觀察、實(shí)際操作等活動(dòng)，獲取和運(yùn)用幾何初步知識(shí)，并在運(yùn)用過(guò)程中培養(yǎng)初步空間觀念。這樣，既明確了目標(biāo)，又指出了途徑，使初步空間觀念的培養(yǎng)落實(shí)在實(shí)處。

（三）幾何形體的認(rèn)識(shí)從低年級(jí)起合理安排。

這也是新大綱的一大特點(diǎn)。小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)要由淺入深，空間觀念也靠逐步積累。從一年級(jí)起，每一年級(jí)都編排一些幾何初步知識(shí)，這是符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，又有利于數(shù)形結(jié)合的，同時(shí)，算術(shù)與幾何交替學(xué)習(xí)，動(dòng)手又動(dòng)腦，也可更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、具體的教學(xué)要求

新大綱對(duì)幾何初步知識(shí)教學(xué)的具體要求，仔細(xì)分析起來(lái)可分為以下三個(gè)方面：

（一）空間觀念；

（二）求積計(jì)算；

（三）實(shí)際操作技能（指簡(jiǎn)單的測(cè)量、畫(huà)圖等）。

現(xiàn)將各年級(jí)的具體教學(xué)要求列表如下：

要求

空

間

觀

念

求

積

計(jì)

算

實(shí)際操作技能

年級(jí)

一年級(jí)

直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓。（有知識(shí)點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）

直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球。（有知識(shí)點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）

初步認(rèn)識(shí)直線和線段。

會(huì)量線段的長(zhǎng)度（限整厘米）。

二年級(jí)

初步認(rèn)識(shí)角和直角，知道角的各部分名稱。

初步掌握長(zhǎng)方形、正方形的特征，知道周長(zhǎng)的含義。

直觀認(rèn)識(shí)平行四邊形。

會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。

會(huì)用三角板判斷直角和畫(huà)直角。會(huì)在方格紙上畫(huà)長(zhǎng)方形和正方形。

三年級(jí)

知道面積的含義。

認(rèn)識(shí)面積單位（平方米、平方分米、平方厘米，公頃、平方千米）。

初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念。

掌握長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式。

四年級(jí)

認(rèn)識(shí)射線和角（直角、銳角、鈍角）。

知道角的大小。

初步認(rèn)識(shí)垂線和平行線。

掌