人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修4-基本初等函-任意角的三角函數(shù)-三角函數(shù)的定義（全國一等獎(jiǎng)）

任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)示例（二）教學(xué)目標(biāo)：1．根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，歸納出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，并能根據(jù)角的某種函數(shù)值符號(hào)，反饋出可能存在的象限．2．掌握誘導(dǎo)公式一，并能運(yùn)用誘導(dǎo)公式把角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為中角的三角函數(shù)值．教學(xué)重點(diǎn)：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式把角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為中角的三角函數(shù)值．教學(xué)用具：直尺、圓規(guī)、投影儀．教學(xué)過程1．設(shè)置情境設(shè)角均是第二象限角，依三角函數(shù)定義，為了求的四個(gè)三角函數(shù)值，只要分別在終邊上取點(diǎn)、，由比值，，，，及，，，可知，這兩組比值雖然不一定相等，但由于均在第二象限，故同號(hào)，同號(hào)，因而可見，的正弦、余弦、正切、余切值，符號(hào)是對應(yīng)相同時(shí)。那么，當(dāng)分別為一、三、四象限時(shí)，上述性質(zhì)是否仍然成立呢？下面就可討論這一問題．2．探索研究（1）三角函數(shù)值的符號(hào)今后我們還要經(jīng)常用到三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，由于從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離總是正值，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，三角函數(shù)值符號(hào)取決于各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號(hào)，請同學(xué)們分象限思考四個(gè)象限中三角函數(shù)值的符號(hào)．觀察六個(gè)三角函數(shù)，可發(fā)現(xiàn)與，與，與互為倒數(shù)，因此它們的符號(hào)規(guī)律相同．當(dāng)在第一、二象限時(shí)，，，所以為正，而當(dāng)在第三、四象限時(shí)，，，為負(fù)的．同理對于第一、四象限角是正的，而對于第二、三象限的角是負(fù)的．與，當(dāng)在第一、三象限時(shí)，與同號(hào)，所以，，而當(dāng)在第二、四象限時(shí)，與異號(hào)，，．現(xiàn)在我們將以上討論結(jié)果整理成圖1．圖1可以表達(dá)為正弦和余割上正下負(fù)，余弦與正割左負(fù)右正，正切與余切一、三象限為正，二、四象限為負(fù)．同學(xué)們還可以自己用口訣“全正，正，正，正”來記憶．（2）誘導(dǎo)公式一上節(jié)課我們已學(xué)過同終邊的角，例如和都與終邊位置相同．∵∴由三角函數(shù)定義可知它們的三角函數(shù)值相同，即推廣到一般情形，我們可得到誘導(dǎo)公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～360°角的三角函數(shù)值問題．（3）例題分析【例1】確定下列三角函數(shù)值符號(hào)：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）∵是第四象限角，∴【例2】求證角為第三象限角的充分必要條件是，．證明：必要性：當(dāng)為第三象限角時(shí)，，；充分性：∵成立，∴角的終邊可能位于第三或第四象限，也可以位于軸的非正半軸上；又∵成立，∴角的終邊可能位于第一或第三象限，因?yàn)橐瑫r(shí)成立，所以角的終邊只可能位于第三象限，于是角為第三象限角．【例3】求下列三角函數(shù)值：（1）；（2）；（3）．解：（1）（2）（3）【例4】如果在第二象限，則的值是什么符號(hào)？解：∵在第二象限，∴∴，∴【例5】若是第二象限的角，且，問是第幾象限角？解：∵是第二角限的角，∴∴∴終邊在第一或第三象限角，又∵∴故是第三象限的角．【例6】求值：解：原式3．反饋練習(xí)（1）已知是第三象限角且，則（）A．B．C．D．（2）下列各式為正號(hào)的是（）A．B．C．D．（3）若有意義，則是（）A．第一象限角B．第四象限角C．第一或第四象限角D．第一或第四或軸正半軸（4）已知的終邊過點(diǎn)，且，，則的取值范圍是_____________．（5）函數(shù)的值域是_____________．參考答案：（1）B；（2）C；（3）C；（4）；（5）4．本課小結(jié)（1）確定三角函數(shù)定義域時(shí)，主要應(yīng)抓住三角函數(shù)定義中，比值的分母不得為零這一制約條件，當(dāng)終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)中，必有一分量為0，故相應(yīng)有一比值無意義．（2）時(shí)，，無意義，這兩個(gè)函數(shù)定義域?yàn)檎n時(shí)作業(yè)：1．確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．求值（1）（2）參考答案：1．（1）＜0（2）＜0（3）＜0（4）＞0（5）＜0（6）＜0（2）解