人教B版-必修三-向量的數量積與三角恒等變換-向量的數量積-向量數量積的概念

《向量數量積的概念》教學設計教學目標（1）通過物理中力做功的實例，理解平面向量數量積的定義；（2）了解平面向量的投影與向量數量積的幾何意義；（3）會計算平面向量的數量積.教學過程向量數量積是繼向量加法，減法，數乘運算后的又一新的重要運算。通過我們以前對運算的學習，我們了解到：運算是由幾個已知量的可能的組合，得到一個新量的過程。運算的學習需要關注以下幾個方面的內容：為什么要定義新的運算？新運算是怎么定義的？新運算有什么作用？這個新運算滿足什么樣的運算律？今天我們主要圍繞前三個問題展開。引入為什么要定義新的運算呢？從數學的角度，我們已經學過了向量的加法，減法，數乘運算。聯系實數的運算，自然而然會思考到：向量有沒有和實數類似的乘法運算呢？而在物理中，我們知道：物體在力的作用下產生了位移，我們就稱力對物體做了功。其中，“力”和“位移”是兩個向量，它們的組合產生了新量——功。這說明現實生活中存在著向量和向量之間的一種有別于向量加法，減法和數乘運算的新運算。因此，數學自身發(fā)展的需要和現實生活的需求使得定義新運算成為一種必然。那么，什么是數量積運算呢？我們從物理中的熟悉情境出發(fā)：如圖所示，小車在力的作用下，位移了米，力的方向與位移的方向的夾角為，則這個力對小車所做的功為多少？力對物體所做的功=兩個向量的模長與這兩個向量夾角的余弦值的乘積就是我們今天要學習的新的運算——數量積。其中，是兩個向量的夾角。我們如何找到兩個向量的夾角呢？二、新課講解兩個向量的夾角給定兩個非零向量與，在平面內任選一點，作，，則稱內的為向量與的夾角，記作.(1)兩個向量的夾角怎么找？1.將兩個向量平移至共起點的位置；2.內的角即是所求.(2)兩個向量的夾角是唯一確定的，并且：；.(3)幾個特殊情況：向量與的夾角為，即=；=；此時向量與共線且方向相同.=；此時向量與共線且方向相反.=；此時稱向量與垂直，記作.小結：向量的夾角決定了兩個向量的位置關系.明確[0,π]明確了兩個向量的夾角的定義，接下來，我們給出向量數量積的準確定義.向量數量積的定義一般地，當與都是非零向量時，稱為向量與的數量積（也稱為內積），記作.即.（1）定義的適用條件是兩個非零向量.規(guī)定：零向量與任何向量的數量積為0.（2）注意數量積的符號表示，運算符號不可省略，不可用×號替代.（3）兩個非零向量的數量積等于這兩個向量的模長與這兩向量夾角的余弦值的乘積.（4）由定義可知，兩個非零向量的數量積是一個數量.這與向量的加法、減法以及數乘向量的結果仍是一個向量不同.（5）的符號由的符號決定，從而也就是由的大小決定.具體情況如下表：的大小圖示語言描述的符號的符號OOAB與共線同向正OO與夾角為銳角正OOA與垂直0與夾角為鈍角負OOA與共線反向負由此可知：①.兩個非零向量的數量積可以是正數，也可以是負數，還可以是零.②.“”是“與夾角為銳角”的必要不充分條件；“”是“與夾角為鈍角”的必要不充分條件；③.“”是“”的充分必要條件；（請自行證明）向量數量積的性質：性質1：（為的簡寫）證明：故（提供了求向量模長的方法）性質2：證明：當且僅當時，等號成立.（重要不等式）性質3：（，）（提供了求兩個向量夾角的方法）CAB例1：如圖，等邊三角形CAB（1）與的數量積；（2）與的數量積.解：（1）小結：根據兩個向量夾角的定義，將兩個向量移至共起點來確定夾角.解題過程，先擺公式，代入，再計算.例2：已知，，，求.解：由得因為所以小結：解題過程，先擺公式，代入，再計算已知三角函數值求角，要記得寫角的范圍；向量夾角的取值范圍是例3：判斷正誤，并說明理由.（只有（5）正確）（1）數乘運算的結果是向量.（2）向量數量積的運算結果是數量.（3）應該再乘以向量夾角余弦的絕對值.（4）若，則與至少有一個為零向量.也可能是兩非零向量垂直.（5）若與是兩個單位向量，則.向量的平方等于其模長的平方.（6）（7）兩向量也可能共線反向，即成平角.（8），小結：充分理解數乘運算，向量數量積運算和數與數的乘法運算之間的區(qū)別與聯系.我們已經從“數”的角度認識了向量數量積的定義，那么從“形”的角度，它又有什么幾何意義呢？向量的投影我們知道，力對物體所做的功=，因此，求力對物體所做的功時，通常選擇對力進行位移方向上的分解.轉化成數學問題，就是將向量投影在另一個向量上.（1）向量在直線上的投影非零向量，過，分別作直線的垂線，垂足分別為,，則稱向量為向量在直線上的投影向量或投影.明確投影是向量；掌握投影的做法；（2）向量在向量上的投影給定平面上的非零向量，設所在的直線為，則在直線上的投影稱為向量在向量上的投影.簡單理解，就是向量在另一個向量上的投影，就是向量在另一個向量所在直線上的投影.在向量上產生的投影向量的長度和方向是怎樣的呢？方向：與共線，可能同向，也可能反向；長度：當與同向，（圖1）當為零向量，（圖2）當與反向，（圖3）（圖3）（圖2）（圖1）（圖3）（圖2）（圖1）發(fā)現：acos<a（3）投影的數量一般地，如果，為非零向量，則稱為向量在向量上投影的數量.數量可以是正數，可以是零，也可以是負數，符號由向量夾角的大小決定.4.向量數量積的幾何意義由可知，向量數量積的幾何意義為：兩個非零向量，的數量積，等于在向量上投影的數量與的模的乘積.特別地，當為單位向量時，，即任意向量與單位向量的數量積，等于這個向量在單位向量上的投影的數量.由向量數量積的幾何意義，還可以得到：向量在向量上的投影數量為.例4:如圖所示，求出以下向量的數量積.；（2）；（3）.解：（1）方法一：由圖可知，，，所以方法二：，（2）因為，所以（3）方法一：由圖可知，，，不是特殊角，但方法二：，小結：求兩個非零向量數量積的問題，可以借助兩個向量數量積的定義求解（方法一）；也可以用兩個非零向量數量積的幾何意義求解（方法二）.（錯誤，解釋如右圖）例5:..解：向量在向量上的投影數量向量在向量上的投影數量小結：向量在向量上的投影數量課后總結:1.兩個向量的夾角：兩個向量移至共起點；向量夾角的取值范圍是兩個向量的夾角準確刻畫了兩個向量的位置關系——五類2.向量在向量上的投影數量：可正可零可負，符號由向量夾角決定.3.向量數量積的幾何意義：兩個