2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-22年真題)專題18三角恒等變換

專題18三角恒等變換

【考點(diǎn)預(yù)測】

知識點(diǎn)一.兩角和與差的正余弦與正切

①sin(a±')=sinacosf3±cosasin[3；

@cos(a±/?)=cosacos+sin(2siny?；

③tan(a±￡)=tana士頡尸；

1+tanatan0

知識點(diǎn)二.二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

③須2a=與華；

1-tan-a

知識點(diǎn)三：降次(幕)公式

sinacos?=—sin2?;sin-?=------------;cosa=------------;知識點(diǎn)四：半角公式

.a,1-cosaa,1+cosaasina1-cosa

sin—=±.；cos—=±J——;tan—=----------=-----------.

2V22Y221+cosasina知識點(diǎn)五.輔助角公式

<7sin?+bcosa=^a2+h2sin(a+(p)(其中sin0=-y————,cos0=—ra—,tan^=—).

yla2+h2yla2+h2?

【方法技巧與總結(jié)】

1.兩角和與差正切公式變形

tana±tan/3=tan(a±4)(1干tanatan尸)；

八，tana+tanZ7tan?-tanZ?,

tana?tan/?=1-----------------=----------------1.

tan(a+0)tan(a-(3)

2.降募公式與升寨公式

.21-cos2a1+cos2a.1.

sina=------------；cos-2a=-------------；sincrcosdz=—sin2a；

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；1+sin2a=(sina+cosa)2；l-sin2a=(sin?-cosa)2.

3.其他常用變式

._2sinacosa2tana_cos2-sin2a1-tan2aasincr1-coscr

sin2a=—---------7-=--------z-；cos2a=—z----------z—=--------z-;tan-=-----------=—:-------

sina+cosa1+tanasina+cosal+tana21+cosasina

3.拆分角問題：(l)a=2~；a=(a邛)_0?、?a=/3-(j3-a)；③a=g[(a+/7)+(a-0]；

④夕=51(a+Q)_(a_/7)];⑤?+a='_(?_a).

注意特殊的角也看成已知角，如￡=工-（工-a）.

44

【題型歸納目錄】

題型一：兩角和與差公式的證明

題型二：給式求值

題型三：給值求值

題型四：給值求角

題型五：正切恒等式及求非特殊角

【典例例題】

題型一：兩角和與差公式的證明

例1.（2022?山西省長治市第二中學(xué)校高一期末）（1）試證明差角的余弦公式C<a"：

cos（a-分）=cosacos>0+sinasin（5；

（2）利用公式推導(dǎo)：

①和角的余弦公式Ca+m，正弦公式先+夕）,正切公式兀,m；

②倍角公式片口，C<2"），工2a）.

【答案】（1）證明見解析；（2）①答案見解析；②答案見解析

【解析】

【分析】

在單位圓里面證明Ge,然后根據(jù)誘導(dǎo)公式即可證明Ga+m和Sy.，利用正弦余弦和正切的關(guān)系即可證明

Za+m；用正弦余弦正切的和角公式即可證明對應(yīng)的二倍角公式.

【詳解】

（1）不妨令ah2k乃+0,keZ.

設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交「點(diǎn)A（l,0）,以x軸非負(fù)半軸為始邊作角a,6,a-7?,它們的終邊分別與單位

圓相交于點(diǎn)6(cosa,sina),4(cos夕,sin/?),尸(cos(a-,sin(a-.

連接AJAP.若把扇形04P繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)/角，則點(diǎn)A,P分別與點(diǎn)A，6重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，"

與重合，從而，AP=A]P],：.AP=AlPl.

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得：

[cos(a-一if+sin2(a-力)=(cosa-cos/+(sina-sin^)2,

化簡得：cos(a-尸)=cosacosy?+sinasin/7.

當(dāng)a=2Z;r+/?(Z￡Z)時，上式仍然成立.

,對于任意角a、B有：cos(a-p)=cosacos尸+sinasin￡.

⑵①公式C(a+m的推導(dǎo)：

cos(2+尸)=cos[a-(-/7)]=cosacos(—/?)+sinasin(-/?)=cosacos/?-sinasiny?.

公式S3間的推導(dǎo):

sin(a+。)=cosIa+P~—=cosasin尸+sinacos/?

正切公式％+0的推導(dǎo):

sin(a+/)_sinacos夕+cosasin尸tana+tan/

tan(a+/)=②公式電團(tuán)的推導(dǎo):

cos(a+/7)cosacos/3-sincifsin/71-tanatan/?

山①知，sin2a=sin(a+tz)=cosasina+sinacosa=2sin(zcosa.

公式C(2“)的推導(dǎo):

由①知，cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos2a-sin2a.

公式%a)的推導(dǎo):

tana+tana_2tancr

山①知，tan2a=tan(a+a)

1-tana-tana1-tan2a

例2.(2022.云南?昭通市第一中學(xué)高三開學(xué)考試(文))已知以下四個式子的值都等于同一個常數(shù)

sin226+cos234->/3sin26cos34；

sin2394-cos221-百sin39cos21°；

sin2(-52°)+cos21120->/3sin(-52jcos112；

sin230+cos230-6sin30」cos30.

(1)試從上述四個式子中選擇一個，求出這個常數(shù).

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴選第四個式子，5⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

⑴選第四個式子，由sin30。=1,cos30。=且即可求三角函數(shù)式的值；

22

(2)由題意，設(shè)一個角為a,另一個角為60。-。，應(yīng)用兩角差的余弦公式展開三角函數(shù)，由同角正余弦的平

方和關(guān)系化簡求值

【詳解】

(1)由第四個式子：sin230+cos230->/3sin30cos30-

4444

(2)證明：sin26?+cos2(60-tz)-73sincrcos(60

fiG.-gsina—coscr+^-sincr

a+—costed---sina

22122

=sin2a+』cos2a+—sinacosa+—sin2tz--sinacostz--sin2a=T【點(diǎn)睛】

424224

本題考查了三角函數(shù)，利用特殊角的函數(shù)值求三角函數(shù)式的值，應(yīng)用兩角差余弦公式展開三角函數(shù)式及同

角的正余弦平方和關(guān)系化簡求值，屬于簡單題

例3.(2022.陜西省商丹高新學(xué)校模擬預(yù)測(理))如圖帶有坐標(biāo)系的單位圓。中，設(shè)NAQr=a,ZBOx=j3,

AAOB=a-/3,

【答案】(1)證明見解析；(2)—.

65

【解析】

(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可證明；

(2)根據(jù)角的范圍分別求出正弦和余弦值，利用兩角和的余弦公式計(jì)算得出答案.

【詳解】

(1)由題意知：|西|=|而|=1,且宓與麗的夾角為a-A，

所以O(shè)AOB=Ixlxcos(a-P)=cos(a-[}},

又ON=(cosa,sina),OB=(cos/7,sin/3),

所以O(shè)A-OB=cosacos/+sinasin[i,

故cos(a-(3)=cosacos/7+sinasin/7.

/八(兀、口，5.512

(2)兀J且tana=一立，則sina=w，cosa=一耳；

則一夕￡(一1'°)，又&￡仁,兀)，.,.a_/?w(O,乃)，cos(a-/?)=-1,sin(a-^)=|?

1245363,

cosp=cos[a-(a-/)]=cosacos(a-/)+sinasin(a一夕)=一二x+石亍花【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角和與差的余弦公式,

屬于中檔題.

例4.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，考慮點(diǎn)A(l,0),片(cosa,sina),多(cos6,一sin令),

P(cos(a+￡),sin(a+￡)),從這個圖出發(fā).

(1)推導(dǎo)公式：cos(a+/7)=cosacos-sinasin；

(2)利用(1)的結(jié)果證明：cosacosj3=[cos(a+/?)+cos(a-J3)],并計(jì)算sin37.5°-cos37.5°的值.

【答案】(1)推導(dǎo)見解析；(2)證明見解析，)十二

8

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)圖象可知|而「=|匾『，再展開化簡，得到兩角和的余弦公式：(2)首先令月=-求cos(e-〃)，

再代入所證明的公式；首先根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡為sin37.5-cos37.5。=gsin75。=gcosl5。，再根

據(jù)兩角差的余弦公式化簡.

【詳解】

(I)因?yàn)?}(cosa,sina),7^(cos人一sin0),P(cos(a+/7),sin(a+/?)),

根據(jù)圖象，可得麗匕麗:即|而而『，

即(cos(a+1)-I)2+sin?(a+/7)=(cos/?-cosa)?+(sinf3+sina)2.

即cos(a+6)=cos[}cosa-sinPsina.

(2)山(1)可得cos(a+/?)=cos/?cosa-sin/?sina,①

cos(a-p)-cosPcosa+sin/?sina(2)

山①+②可得：2cos[icosa=cos(a+0+cos(a-[i)

所以cosPcosa=；[cos(a+4)+cos(a-夕)],所以sin37.5°cos37.5=gsin75=；cos15°cos(45-30)

=^-(cos45cos30+sin45°sin30)=+&【點(diǎn)睛】

乙乙14乙乙乙/O

本題考查兩角和差余弦公式的證明，以及利用三角恒等變換求值，重點(diǎn)考查邏輯推理證明，公式的靈活應(yīng)

用，屬于基礎(chǔ)題型.

【方法技巧與總結(jié)】

推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)

量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路.

題型二：給式求值

例5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知sina=2^,cos(a-〃)=巫，且0<a<芋，0<尸〈芬，則sin"

7v7544

(\

\)

A9屈R1而「屈nVio

35353535

【答案】A

【解析】

易知sin^=sin(a-(a—0)，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cosa和sin(a-0,分別在

sin(a-0=孚和-孚兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得疝尸，結(jié)合月的范圍可確定最終結(jié)果.

【詳解】

.2瓜夜口八3乃八TVr——5

,/sina=—^―<——目0<a<——,/.()<?<—,cosa=vl-sin-a=—.

72447

又,..sin(a一夕)=土-cos?(a一夕)=±.

當(dāng)sin(a一1)=—時，

sin/?=sin(a-(a-￡))=sinacos(a-/7)—cosasin(a-/7)—,

...o<￡<?,.?.sin￡>0,...sin夕=一等不合題意，舍去；當(dāng)sin(a-夕)=一，，同理可求得sin0=需,

符合題意.

綜匕所述：sinP=———.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

易錯點(diǎn)睛：本題中求解cosa時，易忽略sine的值所確定的a的更小的范圍，從而誤認(rèn)為cosa的取值也有

兩種不同的可能性，造成求解錯誤.

例6.（2020.四川?樂山外國語學(xué)校高三期中（文））已知sin[15。-■!）=tan210。，則sin（60。+a）的值為（）

2

ABCD.

-I-4-t3

【答案】A

【解析】

\6

2a

根據(jù)題意得到sin（15。-葭）=乎進(jìn)而得到cos-=-

5°279

sin（60。+a）=sin[90°-（30°-?）]=cos（30°-a）.

【詳解】

?/sinl15°-1-j=tan210°,

sin15°-^?卜tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=^,

則COS2115°-￡=l-sin2l150-1-6

9

cos（30°-a）=

223

.?.sin（60°+a）=sin[90°-（300-a）]

=cos（30°-a）=^,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

77771\7

例7.（2。2。?全國?高三專題練習(xí)）若8s丁2幻=盛,則sin（x+?的值為（）人]B.

8

c-士;D-4

【答案】c

【解析】

【分析】

利用倍角公式以及誘導(dǎo)公式，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.

【詳解】

71冗、兀7

?/cos(----2x)=cos[2(--x)]=2cos2(--x)-1=——,

cos(----x)=i-,

64

sin(尤+g=cos《一(x+g]=cos￡-x)=±；,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三角恒等變換解決給值求值問題，屬基礎(chǔ)題.

(多選題)例8.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)sin(夕+工)+sin〃=3里，則sin(p；)=()

623

A.gB.：C.--D.-3

2222

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用三角恒等變換化簡已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得

【詳解】

依題意sin(￡+—)+sin/?="+1>

62

.(Q冗冗、.乃乃、V3+1

sin(/?--+-)+sm^--+-=——，

J乙\JDJ乙

cos(A-?)+｝山("一口+*cos(尸-1)='

1.(吟6+2兀、6+1

^sin/R3--+—-cos(/?--)=——)

sin(￡-g卜(G+2)cos(p-令=6+1,②乂尸兀)+,代入

研嶗卜8十一升1,

2

(6+1)-sin]/}_%

+=1?

>/3+2

化簡得(8+4代卜抽2,_幻_(26+2)

=0,

兩邊除以石+2,4而2(萬一￡|+(2-26kin(〃—一6=0,

2sin(萬一qj+l2sin("一一百=0,

3

n兀

323

故選：AC

34

例9.(2022.全國.模擬預(yù)測(文))已知a,/?e嗚,852夕二m，cos(a+y0)=—,則cosa=

【答案］"叵

25

【解析】

【分析】

由a/i鼾,cos(a+〃)=j即可求得sin(c+〃)，用二倍角公式即可求得sin"和cos6,用拼湊角

思想可表示出a=(a+p)-p,用三角恒等變換公式求解即可.

【詳解】

1,B.a,btS,,所以sin(a+/?)=:.又因?yàn)閏os26=l-2sir尸=],解得sin￡=@,

因?yàn)閏os(cr+￡)=P_

林2535

________?R

則cosP=-sin2/}=—^―,

故cosa=cos[(a+￡)-/7]=cos(a+〃)cos￡+sin(a+/?)sin分=±x+-x—="石

555525

故答案為：嚕

例10.(2022?上海靜安?模擬預(yù)測)已知sina+工,則sin2。的值為..【答案】y##0.5

【解析】

【分析】

由倍角公式以及誘導(dǎo)公式求解即可.

【詳解】

2Ic31A71T](71T.

,/cos21a+—j=l-2sin|a+—=l-2x—=——cos2a+—=cos一+2。=-sin2asin2a=；故答案

444242

為：3

例11.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）若"4時，〃e）=sin26—cos2。取得最大值，則sin

【答案】叵

10

【解析】

【分析】

首先利用二倍角公式和輔助角公式，化簡，再代入求值.

【詳解】

/⑻=sin26-g(1+cos2。)=cos2=si的,（2。一夕）-；（其

sin2^--cos2^--sin20--^4T

5

227

中coss=^^，sin*=4),

當(dāng)〃。)取最大值時，24-夕=1，24=夕+]

sin24=sin(0+四]=cose=拽，cos24=cosf9+三]=-sin<p=—叵

故答案為：叵

10

【方法技巧與總結(jié)】

給式求值：給出某些式子的值，求其他式子的值.解此類問題，一般應(yīng)先將所給式子變形，將其轉(zhuǎn)化成

所求函數(shù)式能使用的條件，或?qū)⑺蠛瘮?shù)式變形為可使用條件的形式.

題型三：給值求值

oza、Jtan——

例12.(2022?福建省福州第一中學(xué)三模)若sina=—1,且“e加三，則------看=()

5I71+tan—

2

A.-B.—C.2D.—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】

八.aa八a

2sincos2tan

,.A.aa_2_2__2a

由sina=2sin]cos—=,可解得tan即可求解

2ca20a,

sirr+costan2-+1

222

【詳解】

a

2sin-cos—2tan-

?、?aa33

sina=2sin—cos—=——,故222

—a>aoa1S'

225sin--+cos~—tan—+1

222

,a

1—tan—

可解得tan?=或tan^二-3,又ae卜”），故ta吟a=-3故------1=-2

2ia

1+tan—

2

故選：D

7t

例13.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知sin--X=7，貝"os2嶗=()

4

D?孚

AL.-----

-44

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得呵工-看的值，再根據(jù)cos[2x—1J=l-2sin2

求解即可.

【詳解】

因?yàn)閟in仁7)=-sin,所以sin(x-_1

941

cos(2x-?)=cos[2(1]=l-2sin2(7

兀、X三

X------（故選：B.例14.（2022?湖北?模擬預(yù)測）

16,6,8

\7t7t\f71

已知ael-y,—I,且以外。一1=—,則cos2a=()

4

7B.士平

c-iD-T

【答案】D

【解析】

【分析】

71=1?即可解得a的值，cos即可求解

由已知a的取值范圍，求出的取值范圍，再結(jié)合cosa——2a

4

【詳解】

3d乃汽匚口、［3冗n7i

因?yàn)橐会堋??！瘁?，所以—?lt;a~~

22444

又cos(a_?)=g,所以所以《=一5

718

所以cos2a=coscos—=——

62

故選：D

例15.(2022.全國.模擬預(yù)測)已知sin'+ajq,則cos(2a一,卜()

A,"B.-爭C.矩D.一逑

252555

【答案】B

【解析】

【分析】

利用誘導(dǎo)公式化簡，然后利用二倍角公式即得.

【詳解】

因?yàn)閟in(?+a)-cos(*-a)=cos(a-?)=",

所以cos(2a_q)=cos2(a_7)=2cos2(a_^1_l=2xG)-1=~~-

故選：B.

例16.(2022?黑龍江?哈師大附中三模(文))已知sin(45o+a)=《，45°<?<135°,則cos2a=()

247

B.C.-D.

252525

【答案】B

【解析】【分析】

首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos(45o+a)，再利用:倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;

【詳解】

3

解：因?yàn)?5°vovl35。，所以9()。<二+45。<18()。，又sin(450+a)=g,

所以cos（45。+a）=-J1-sin?（45。+a）=-]

324

所以sin2（45。+a）=2sin（450+a）cos（450+a）=2x-x

25

2424

H[Jsin（90°+2?）=--,所以cos2a=—石

故選：B

例17.（2022?廣東茂名?模擬預(yù)測）己知sin"看71）=；,則cos（8+"71］=（

)

63

A.4D.B

B.——C-

22

【答案】B

【解析】

【分析】

利用題目條件結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得出答案.

【詳解】

7171故選：

cos0+-=cos^--+-=-sin］，一看-gB.

362

jr3乃4/.

（多選題）例18.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）已知一4a4兀，兀&。4――,sin2a——,cos（tz+。）=----,

42510

則()

V10

A.cosa=-------B.sina-cosa=—

105

3冗D.cosacos夕=一#

C.

【答案】BC

【解析】

4

先根據(jù)sin2a=g,判斷角a的范圍，再根據(jù)cos2a求cosa；

根據(jù)平方關(guān)系，判斷sina—cosa的值；利用公式cos（尸-a）=cos［（a+/7）-2a］求值，并根據(jù)角的范圍判斷

角夕一。的值；利用公式cos（/?+a）和cos（￡-a）,聯(lián)合求cosacos/?.

【詳解】

jr7T

①因?yàn)槟?，所?工24〈2萬，

4TC冗71

又sin2a=w>0,故有—<2a<7r,

42

3冬故A錯誤;

解出cos2a=—二=2cos2a-1=>cos2a=—=>cosa=

55

②(sina-cosaf=l-sin2a=(,

/冗

由①知:—4<,a<-，所以sina>cosa,

42

所以sina-cosa=正故8正確;

5

③由①知：fvawg,而乃孝，所以苧4。+642萬，

4224

又cos(6z+夕)=<0，所以Ka+/,

解得sin(a+,)=_~~，

印、?g、「/小?！克膔31/7夜14&

所以cos(尸_a)=cos[(a+/)_2a]=_-j^x(_wJ+[-Jx-=-

TF7T

又因?yàn)镾寧4a+尸4苓，-7r<-2a<-^,

TT

所以7—4，有"—a=故C正確；

44

廠正正

④山cos(a+J3)=-=>cosacosyff-sinasinp=---,

山③知，cos(/?-a)=cosacos/+sinasin/=一,

兩式聯(lián)立得：cosacos4=-嚕，故。錯誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】

4

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)暗：本題的關(guān)鍵是三角函數(shù)恒等變形的靈活應(yīng)用，尤其是確定角的范圍，根據(jù)三角函數(shù)值sin2a=g,

確定542a4萬，目.cos（a+0=-*<O,進(jìn)一步確定與4a+夕4與，這些都是確定函數(shù)值的正負(fù)，以

及角的大小的依據(jù).

【方法技巧與總結(jié)】

給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角

相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用己知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)

論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系,

并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式.

題型四：給值求角

例19.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知m<a<M，4國哈sina-^+4si哈8s導(dǎo)。網(wǎng)限=收

63

貝IJ”____

【答案】］

【解析】

【分析】

由誘導(dǎo)公式、輔助角公式、倍角公式得出sin（a-￡）=sin*,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合?<a<三得出a.

【詳解】

5/3-tan71-6cos"-sin三

由題知氐in_______151515即

A.717T

4sin7r4sincos

151515

3.2萬2萬

2sin——cos——

,B|J2sin(——11

2sina----+——iV-即

I36.L7t

2sin2"sin——

1515

.[71\ITT.(7T2TT\.WK411乃…「TC1\7V…e、i_

sma----=cos—=sin-----------=sin-------,則a-----=-----+2Avru攵a-----F------=4+2%4,ZeZ.因?yàn)?/p>

I6)15U15J30630630

7T27rr\萬冗乃11乃...z,?87r

~<a<~^所以。<a-丁<彳，所以。-T=V，解得a=77?

636263015

故答案為：

例20.（2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知sin（?-a卜-日,sin（弓+〃卜*,且

a年）匹（吟｝求a”的值為.

【答案】:TT##:1兀【解析】

44

【分析】

注意到a-〃="-（?-a+,利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意尸范圍的確定.

,注意到

+,+不妨記

一小，于是

71子3萬+尸，Ssin(?-^)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx,而工￡(一手0卜inx=

x=：4_a，y4

cosx=2叵（負(fù)值舍去），又ye（包/],siny=典，則cosy=-亞（正值舍去），于是計(jì)算可得:

514）1010

sin（a-sin（x+y）=sinxcosy+sinycosx=>而a-￡e（0,,）,于是

故答案為：

71

/\sina-sin——

例21.（2022?河北石家莊?一模）已知角。［。仁），tan-^=--------------貝!ja=.

'）coscr+cos一

12

7T

【答案】V

4

【解析】

【分析】

兀

sina-sin—（、

化簡tan唳=----------+即可得到sin《=sina*,再根據(jù)a的范圍，即可求出結(jié)果.

cosa+cos—1）

12

【詳解】

兀7T7T

sina-sinsin—sina-sin

TC12

tan—=---------------12=12

12兀兀71

cosa+coscos——cosa+cos—

121212

.It（兀、7C（..兀）兀.兀7171Tl71

sin—Icosa+cos—=cos—sinsin—sin—cosa+sin—cos——=cos—sina-cos—sm—

12J12112；121212121212

.7171兀.兀71.71

sin—cos—4-cos—sin—=cos—sincr-sin—cosa

121212121212

，sin*n（"部.小唱,兀兀5兀］

a-----GmJ

12

兀71...TlTI71

—=a----,則。=—I—=—.

6121264

故答案為：

7C

例22.（2022?上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）若ae（O,不），且cos2a=sin~~a,則。的值為.

【答案】:或工

【解析】

【分析】

根據(jù)二倍角的余弦公式和兩角差的正弦公式可得(cosa+sina)(cosa-sinez)=—(cosa-sina),分類討論

當(dāng)cosa-sina=0、cosa-sinaw0時的情況，結(jié)合a￡(0,冗)和輔助角公式計(jì)算即可.

【詳解】

由題意知，

cosla=sing-a)則cos2a-sin2a-(cosa-sina),

正

即(cosa+sina)(cosa-sina)=——(cosa—sina),

2

當(dāng)cosa-sina=0時，cosa=sina,即tancr=1,

由?！?0,乃)，得a=工；

4

當(dāng)cosa-sinawO時，cosa+sina=—,

2

所以>/2sin(a+—)=,即sin(a-\—)=—,

4242

山?！?0,左)，得a+￡c(f，m)，所以二+￡=￥，得a==.

4444612

故答案為：g或二例23.(2022?全國?高三專題練習(xí))若sin2a=^^,sin(/?-a)="◎,且aw-,

412