第1章離散時間信號與系統(tǒng)

1信號處理基礎(chǔ)主講張?zhí)祢U博士Email:zhangtq@/可通過Email答疑Address:重慶郵電學(xué)院通信與信息工程學(xué)院信號處理教研中心（逸夫樓4樓）Tel1343619341221.D.G.Manolakis,V.K.Ingle,S.T.Kogon,StatisticalandAdaptiveSignalProcessing,TheMcGraw-HillCompanies,Inc.,2000.2.J.G.Proakis,C.M.Rader,etal.AlgorithmsforStatisticalSignalProcessing,PrenticeHall,2002.3.姚天任，孫洪，現(xiàn)代數(shù)字信號處理，華中科技大學(xué)出版社，1999年11月。4.張賢達(dá)著，現(xiàn)代信號處理，清華大學(xué)出版社，2002年10月。5.何子述，夏威等編著，現(xiàn)代數(shù)字信號處理及其應(yīng)用，清華大學(xué)出版社，2009年5月。（參考教材）6.吳正國，尹為民等編著,高等數(shù)字信號處理，機(jī)械工業(yè)出版社，2009年4月。7.張賢達(dá)編著，現(xiàn)代信號處理習(xí)題與解答，清華大學(xué)出版社，2003年6月。8.何子述，夏威等編著，現(xiàn)代數(shù)字信號處理及其應(yīng)用習(xí)題解答，清華大學(xué)出版社，2011年6月。參考書目：33數(shù)字信號處理（DigitalSignalProcessing）：用數(shù)字計算機(jī)或其它專用數(shù)字設(shè)備，以數(shù)值計算的方式對離散時間信號進(jìn)行分析、處理。傳統(tǒng)數(shù)字信號處理(ClassicDigitalSignalProcessing):

主要針對線性時不變離散時間系統(tǒng)，用卷積、離散時間傅里葉變換、z變換等理論對確定信號進(jìn)行處理?，F(xiàn)代數(shù)字信號處理(AdvancedDigitalSignalProcessing):

在傳統(tǒng)數(shù)字信號處理理論基礎(chǔ)之上，基于概率統(tǒng)計的思想，用數(shù)理統(tǒng)計、優(yōu)化估計、線性代數(shù)和矩陣計算等理論進(jìn)行研究，處理的信號通常是離散時間隨機(jī)過程，且系統(tǒng)可能是時變、非線性的。前言44數(shù)字信號處理理論（theory）：

根據(jù)從工程實(shí)際中抽象出的信號模型和系統(tǒng)模型，用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行嚴(yán)格證明得到的定理等結(jié)論。數(shù)字信號處理算法(algorithm)：

為高速或高效實(shí)現(xiàn)某種數(shù)字信號處理理論，所采用的計算方法或計算技巧。例：DFT是理論；FFT是實(shí)現(xiàn)DFT的計算技巧，屬算法。前言－數(shù)字信號處理理論與算法5非實(shí)時實(shí)現(xiàn)（notreal-timeimplementation）：

用高級計算機(jī)語言，在通用計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的信號處理理論和算法；通常是對信號事后分析與仿真；如對采集的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行特征分析，參數(shù)提取與估計等。實(shí)時實(shí)現(xiàn)（real-timeimplementation）：

用數(shù)字信號處理器或?qū)Ｓ脭?shù)字器件對信號進(jìn)行實(shí)時處理，如：DSPprocessor(TI,AD)；FPGA/CPLD；專用器件；或通用計算機(jī)等。前言－數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)66本課程特點(diǎn)：1、注重基本概念和基本理論；2、注重理論算法與具體的工程應(yīng)用相結(jié)合；3、適當(dāng)介紹近年來發(fā)展的新理論新方法；4、對信號的時域處理理論重點(diǎn)介紹，空域處理理論集中介紹。前言7基礎(chǔ)知識現(xiàn)代譜估計；高階譜估計；循環(huán)譜估計；維納濾波；自適應(yīng)濾波；卡爾曼濾波；其他信號處理方法介紹。前言－本課程主要內(nèi)容8信號處理基礎(chǔ)的課程要求“信號處理基礎(chǔ)”是信息與通信工程各專業(yè)的一門理論型和實(shí)踐性都很強(qiáng)的專業(yè)基礎(chǔ)課，它能很好地體現(xiàn)專業(yè)技術(shù)素養(yǎng)和動手能力。該課的許多概念和基本理論往往要通過練習(xí)題、上機(jī)仿真來消化、鞏固、加深和拓寬。因此，該門課程的基本要求是：讀懂課本、熟讀課本、理解原理、適當(dāng)上機(jī)仿真驗(yàn)證。目前采取的課程形式：理論課習(xí)題：解答題；仿真題；考試：開卷考試期末成績：平時作業(yè)+期末考試成績。9

第1章離散時間信號與系統(tǒng)10主要內(nèi)容

1.離散時間信號的傅立葉分析

2.離散時間信號的z變換

3.LTI離散時間系統(tǒng)的性能描述

4.離散時間系統(tǒng)的格型結(jié)構(gòu)

5.窄帶信號的正交解調(diào)

6.多相濾波與信道化處理111.1離散時間信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)1.1.1離散時間信號的定義與分類1.離散時間信號的定義

信號可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。

離散時間信號是指信號值僅在某些離散時刻有定義，而在其他時間無定義的信號。

離散時間信號可以通過對一個連續(xù)時間信號在時間上采樣獲得。121213132.離散時間信號的分類根據(jù)不同的信號特征可獲得多種信號分類方法。確定信號與隨機(jī)信號實(shí)信號與復(fù)信號離散時間周期信號與非周期信號能量信號與功率信號14141.1.2離散時間信號的差分和累加1.前向差分和后向差分一階前向差分一階后向差分階前向差分階后向差分15152.累加對信號，其累加信號定義為累加和差分互為逆運(yùn)算。離散時間單位沖激信號定義為1616離散時間單位階躍信號定義為單位沖激信號單位階躍信號累加差分171.1.3離散時間系統(tǒng)定義及LTI特性

離散時間系統(tǒng)是用于處理、傳輸離散時間信號的物理裝置，在數(shù)學(xué)上可表示為輸入信號與輸出信號之間的一種映射關(guān)系。17輸入信號輸出信號18齊次性

若輸入信號的響應(yīng)為

，輸入

的響應(yīng)為

，且滿足

。可加性

若輸入信號

的響應(yīng)為

，輸入

的響應(yīng)為

，輸入

的響應(yīng)為

，且滿足

。18同時滿足齊次性和可加性的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)！19

線性系統(tǒng)

若

，

，

和

是常數(shù)，且

，對于線性系統(tǒng)有

時不變系統(tǒng)

若，，對時不變系統(tǒng)有19疊加原理同時滿足線性和時不變性的系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)！201.1.4LTI離散時間系統(tǒng)響應(yīng)——卷積和對于LTI離散時間系統(tǒng)，輸入信號與輸出信號的映射關(guān)系可以用一個線性常系數(shù)差分方程及一組初始條件來描述

初始條件為，均為常數(shù)，通常取。

21當(dāng)系統(tǒng)只有輸入信號，初始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為零，初始狀態(tài)不為零時，系統(tǒng)的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是指當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位沖激信號時的零狀態(tài)響應(yīng)，通常用符號表示。22

對沖激響應(yīng)為

的LTI系統(tǒng)，任一輸入信號

，可用單位沖激信號

表示為系統(tǒng)對

的零狀態(tài)響應(yīng)可表示為22線性時不變性卷積和231.1.5離散時間信號相關(guān)函數(shù)及卷積表示對于能量信號

和，它們的互相關(guān)函數(shù)定義為

對于功率信號和，它們的互相關(guān)函數(shù)定義為23取共軛24當(dāng)

，上述定義的互相關(guān)函數(shù)變成自相關(guān)函數(shù)。

根據(jù)卷積的定義，能量信號的相關(guān)函數(shù)可表示為24和的互相關(guān)函數(shù)就是與的共軛對稱信號的卷積！251.2離散時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析1.2.1復(fù)指數(shù)信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)復(fù)指數(shù)信號

通過沖激響應(yīng)為的LTI離散時間系統(tǒng)，系統(tǒng)響應(yīng)為25特征值特征函數(shù)26如果可以表示為復(fù)指數(shù)信號的線性組合，即信號通過沖激響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)的輸出信號為系統(tǒng)的線性特性如何將離散時間信號表示為復(fù)指數(shù)信號的線性組合形式？

271.2.2離散時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換周期為的離散時間信號，其傅里葉級數(shù)表示為

傅氏級數(shù)：傅氏系數(shù)：傅里葉變換傅氏變換：傅氏逆變換：281.2.3傅里葉變換的性質(zhì)線性若，，那么

時移與頻移特性

若，那么29共軛對稱性若，那么對于實(shí)序列，它的傅氏變換為共軛對稱的，即

時域展寬特性信號時間上展寬倍的信號可表示為30若，那么特別地，有

頻域微分特性若，那么31時域卷積特性若，，那么時域相乘特性若，，那么周期卷積32帕斯瓦爾定理

若，那么信號在時域與頻域的能量相同?。盒盘柕哪芰孔V。：信號在頻帶內(nèi)的能量。331.2.4離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)與理想濾波器1、離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義對于輸入為、輸出為的LTI離散時間系統(tǒng)，可用如下線性常系數(shù)差分方程進(jìn)行描述

傅里葉變換34

LTI離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為表示為模和相位的形式有幅頻特性相頻特性352、離散時間理想濾波器

通過合理設(shè)計系統(tǒng)頻率響應(yīng)，可以達(dá)到改變輸入信號頻譜以獲得期望信號頻譜的目的，這一過程稱為濾波。實(shí)現(xiàn)濾波的系統(tǒng)稱為濾波器。離散時間理想低通濾波器

離散時間理想高通濾波器離散時間理想帶通濾波器36

離散時間理想低通濾波器理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為截止角頻率37

相應(yīng)的系統(tǒng)沖激響應(yīng)為時：38

離散時間理想高通濾波器理想高通濾波器的頻率響應(yīng)為39

相應(yīng)的沖激響應(yīng)為

時：40

離散時間理想帶通濾波器理想帶通濾波器的頻率響應(yīng)為中心頻率：41相應(yīng)的沖激響應(yīng)為

時：421.2.5離散時間信號的DFT和FFT目的：對離散時間信號的傅氏變換進(jìn)行離散化，使計算機(jī)能在頻域?qū)π盘柼幚怼?、離散傅里葉變換

考慮一個持續(xù)長度為的離散時間信號

由該信號構(gòu)造周期信號，設(shè)周期。43構(gòu)造44信號的傅里葉變換為周期信號的傅里葉級數(shù)系數(shù)為是以為間隔對采樣并除以常數(shù)的結(jié)果！

45定義為當(dāng)時，，因此離散傅里葉變換離散傅里葉逆變換462、FFT的概念

快速傅里葉變換是DFT的一種高效計算方法。

記，對于一個長度為的序列，有經(jīng)分析，DFT計算需要次復(fù)數(shù)相乘和次復(fù)數(shù)相加。

DFT：DFT計算中的乘法次數(shù)和加法次數(shù)，都是和成正比！

47具有如下特性：對稱性：周期性：可約性：48快速傅里葉變換的基本思想

利用上述特性，一方面可以將DFT計算中一些項(xiàng)進(jìn)行合并；另一方面還可以將長序列的DFT分解為短序列的DFT?？焖俑道锶~變換的運(yùn)算量對于長度為的DFT計算，采用FFT方法需次復(fù)數(shù)相乘和次復(fù)數(shù)相加。

FFT中的乘法次數(shù)和加法次數(shù)，都是和成正比！

49

DFT與FFT運(yùn)算量比較計算機(jī)上乘法運(yùn)算所需時間遠(yuǎn)多于加法運(yùn)算所需時間，可以將兩種算法所需的乘法次數(shù)之比，看成兩者計算量之比例如，當(dāng)時，采用FFT需要5120次的復(fù)乘，大約為DFT所需復(fù)乘次數(shù)1048576的0.488%。

501.3離散時間信號的z變換1.3.1z變換的概念對任一離散時間信號，定義信號為選擇適當(dāng)?shù)恼龑?shí)數(shù)，可使絕對可加，它的傅里葉變換存在，表示為的z變換：51根據(jù)離散時間傅里葉逆變換，信號可表示為逆z變換：52

與其z變換的關(guān)系可表示為如下形式為保證z變換收斂，應(yīng)當(dāng)選擇以滿足由于，將使收斂的z的取值范圍（或的取值范圍）稱為z變換的收斂域。注意：當(dāng)收斂域包含單位圓時531.3.2z變換的性質(zhì)線性若有下列z變換對成立那么54

時移特性

若信號的z變換為則對于整數(shù)有通常收斂域仍為，但由于因子的引入，收斂域可能會發(fā)生變化。55

z域尺度變換已知離散信號的z變換為若為一復(fù)數(shù)，那么有的收斂域在z平面出現(xiàn)尺度伸縮。56共軛特性

若信號的z變換為那么，其共軛信號的z變換為收斂域保持不變。57

時域展寬特性信號時間上展寬倍的信號可表示為若信號的z變換為那么58

時域反轉(zhuǎn)特性若信號的z變換為那么

z域微分特性若信號的z變換為那么59時域卷積特性

若有下列z變換對成立那么中可能會發(fā)生零極點(diǎn)相互抵消的情況，從而使收斂域比交集大。

60

初值和終值定理若為一右邊序列，即當(dāng)時，。其z變換為那么當(dāng)時，。

若的收斂域包含單位圓，則611.3.3離散時間系統(tǒng)的z域描述——系統(tǒng)函數(shù)對于輸入為、輸出為的LTI離散時間系統(tǒng)，可用如下線性常系數(shù)差分方程進(jìn)行描述

z變換62定義LTI離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)中，通常，系統(tǒng)函數(shù)可進(jìn)一步寫成63系統(tǒng)的零點(diǎn)：方程的根。

系統(tǒng)的極點(diǎn)：方程的根。

將非零零點(diǎn)記為，極點(diǎn)記為，則系統(tǒng)函數(shù)可寫為除常數(shù)因子以外，系統(tǒng)函數(shù)由系統(tǒng)的零極點(diǎn)完全確定！64

當(dāng)系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓時，有極點(diǎn)向量：零點(diǎn)向量：除常數(shù)因子以外，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由零極點(diǎn)完全確定，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性則由極點(diǎn)向量和零點(diǎn)向量的長度和方向決定！65例1.1已知系統(tǒng)極點(diǎn)為，，無非零的零點(diǎn)，定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解：系統(tǒng)的幅頻特性為（假設(shè)常數(shù)因子為1）令，。當(dāng)時，這兩個向量長度分別最短。當(dāng)時，兩向量同時取最大長度。

66

向量，長度隨變化

系統(tǒng)幅頻特性曲線671.3.4離散時間系統(tǒng)的方框圖和信號流圖表示系統(tǒng)的方框圖實(shí)現(xiàn)，是指用一些基本的功能部件，經(jīng)過合適的相互連接，以實(shí)現(xiàn)差分方程或系統(tǒng)函數(shù)描述的系統(tǒng)功能。基本實(shí)現(xiàn)部件加法器乘法器延時器68

對于由所描述的系統(tǒng)，有N階系統(tǒng)的直接型方框圖69當(dāng)時，系統(tǒng)函數(shù)為該系統(tǒng)除外，沒有任何極點(diǎn)，因此，這類系統(tǒng)稱為全零點(diǎn)系統(tǒng)或橫向?yàn)V波器。另外，該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)長度有限，因此，這類系統(tǒng)也稱為有限沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)。逆z變換70類似地，當(dāng)時，系統(tǒng)函數(shù)為FIR系統(tǒng)的直接型方框圖71此系統(tǒng)除外，無任何零點(diǎn)，因此，這類系統(tǒng)稱為全極點(diǎn)系統(tǒng)。利用待定系數(shù)法，系統(tǒng)函數(shù)還可表示為

逆z變換該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)不會是有限長，因此，這類系統(tǒng)稱為無限沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)。72全極點(diǎn)IIR系統(tǒng)的直接型方框圖系統(tǒng)方框圖為描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)提供了方便，但是，由于圖中加法器和延時器方框的存在，使方框圖顯得不夠緊湊。73為了使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖表示更緊湊，可將系統(tǒng)表示為信號流圖的形式。直接實(shí)現(xiàn)形式的信號流圖741.4LTI離散時間系統(tǒng)性能描述1.4.1系統(tǒng)的記憶性如果系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)僅與該時刻的輸入有關(guān)，而與其它時刻的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為非記憶系統(tǒng)（或系統(tǒng)無記憶性），否則稱為記憶系統(tǒng)。系統(tǒng)的記憶性有時也被稱為動態(tài)特性。該特性強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的響應(yīng)是否僅與當(dāng)前時刻的輸入有關(guān)。

75對于無記憶LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)沖激響應(yīng)為其中，為一常數(shù)。由于系統(tǒng)頻率響應(yīng)是沖激響應(yīng)的傅氏變換、系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)沖激響應(yīng)的z變換，因此，無記憶LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)分別為

761.4.2系統(tǒng)的因果性如果系統(tǒng)任意時刻的響應(yīng)與以后的輸入無關(guān)，則該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)（或系統(tǒng)具有因果性），否則為非因果系統(tǒng)。該特性強(qiáng)調(diào)的是，系統(tǒng)的響應(yīng)是否與未來的輸入有關(guān)。對于因果LTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)沖激響應(yīng)滿足77系統(tǒng)沖激響應(yīng)是一個右邊信號，因此，因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域?yàn)榫嘣c(diǎn)最遠(yuǎn)的極點(diǎn)所在圓的圓外z平面。同理，若系統(tǒng)是逆因果的，那么，其系統(tǒng)函數(shù)收斂域位于最接近原點(diǎn)的極點(diǎn)所在圓的圓內(nèi)z平面。781.4.3系統(tǒng)的可逆性設(shè)信號、通過系統(tǒng)的響應(yīng)分別為、，如果，一定有成立，則稱系統(tǒng)具有可逆性，或稱為可逆系統(tǒng)。對于可逆系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的響應(yīng)已知，則可通過一個逆映射，求出原來的輸入信號。這個逆映射便是原系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。79若LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，其逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，則

時域卷積特性逆系統(tǒng)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)滿足

逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)滿足

801.4.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性和最小相位系統(tǒng)如果任意信號滿足

且通過系統(tǒng)的響應(yīng)滿足

其中、均為有界常數(shù)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。如果“有界的輸入產(chǎn)生有界的響應(yīng)”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的！81一個LTI離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是對有理系統(tǒng)函數(shù)的LTI離散時間系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓。如果一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，這個系統(tǒng)就稱為最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的逆系統(tǒng)也是因果和穩(wěn)定的。

821.4.5線性相位系統(tǒng)與系統(tǒng)的群時延1、非線性相位系統(tǒng)的概念LTI離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可用幅頻特性和相頻特性表示為如果

其中是常數(shù)，則稱該LTI離散時間系統(tǒng)是線性相位系統(tǒng)，否則稱為非線性相位系統(tǒng)。83設(shè)系統(tǒng)輸入信號的傅里葉變換為，則系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉變換可表示為線性相位非線性相位84非線性相位系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)，是輸入信號的不同頻率成份通過系統(tǒng)后，具有不同的延時，這種現(xiàn)象常稱為信號的色散。2、群時延的概念LTI離散時間系統(tǒng)的群時延定義為

群時延是頻率的函數(shù)，反映了LTI離散時間系統(tǒng)相位隨頻率的變化率！85

對于線性相位系統(tǒng)，群時延為可見，線性相位系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號具有相同的群時延，即系統(tǒng)響應(yīng)的相位按頻率線性變化。對于相頻特性為的非線性相位系統(tǒng)，群時延為頻率的函數(shù)86一個階的全零點(diǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為：階系統(tǒng)的第個系數(shù)。的直接實(shí)現(xiàn)形式有共個參數(shù)，需要個延時器和次乘法。1.5離散時間系統(tǒng)的格形結(jié)構(gòu)1.5.1全零點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)87：反射系數(shù)。的格型結(jié)構(gòu)中也有個參數(shù)，需要個延時器和次乘法。全零點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)

88基本單元：全零點(diǎn)濾波器格型結(jié)構(gòu)的基本單元

89由bi(M)求取ki過程：

90分別令，遞推可發(fā)現(xiàn)

代入式(1)，有

另外根據(jù)式(1)和(2)易得9192算法1.1（求解全零點(diǎn)系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)各系數(shù)的方法）

步驟1

給定系統(tǒng)函數(shù)后，即被確定，于是

步驟2

根據(jù)已求得的和，利用式(4)可求出的系數(shù)，于是

步驟3

重復(fù)步驟2即可得其余的和系數(shù)。931.5.2全極點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)全零點(diǎn)濾波器的格型基本單元中，輸入、輸出關(guān)系式也可改寫為全零點(diǎn)濾波器格型結(jié)構(gòu)的基本單元的逆形式

94考慮由個上述基本單元的級聯(lián)其中，全極點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)

95當(dāng)時，z變換96當(dāng)時，97依次類推，不難得到為以為輸入、為輸出的階IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，為以為輸入、為輸出的階FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，且因此級聯(lián)后獲得全極點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)

98將全零點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)和全極點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)進(jìn)行級聯(lián)，發(fā)現(xiàn)級聯(lián)系統(tǒng)的輸入和輸出均為，可見因此，在已知IIR系統(tǒng)函數(shù)后，令，利用算法1.1即可解得反射系數(shù)，從而得到全極點(diǎn)濾波器的格型結(jié)構(gòu)。兩系統(tǒng)為互逆系統(tǒng)！991.6連續(xù)時間信號的離散化及其頻譜關(guān)系為一連續(xù)時間帶限信號，為獲得離散時間信號，首先對其進(jìn)行采樣，獲得

：采樣周期。定義離散時間信號為100

(a)連續(xù)時間信號的波形(b)連續(xù)時間信號的頻譜

(c)采樣后信號的波形(d)采樣后信號的頻譜101可見與有如下關(guān)系上述過程，在工程上，可用一個稱為A/D轉(zhuǎn)換器的專用集成電路實(shí)現(xiàn)。102(e)離散時間信號的波形(f)離散時間信號的頻譜

(e)(f)103假設(shè)連續(xù)時間信號的最高角頻率為，那么根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣周期應(yīng)滿足由于于是當(dāng)時，有因此，離散時間信號的角頻率總是小于的。1041.7離散時間實(shí)信號的復(fù)數(shù)表示1.7.1離散時間解析信號（預(yù)包絡(luò)）根據(jù)傅里葉變換的共軛對稱性可知，實(shí)信號的頻譜滿足可見，中任何一個邊帶（或）都包含了原信號的全部信息，也就是說，在頻率上對的描述有一半是多余的，造成了頻帶資源的浪費(fèi)。105定義單邊頻譜信號的DTFT為

它與具有同樣的信息，但與相比，對它進(jìn)行處理大大節(jié)省了頻譜資源。取的離散時間傅里葉逆變換，得到相應(yīng)的時域信號，通常它是一個復(fù)數(shù)信號，將其稱為的解析信號或預(yù)包絡(luò)。1061.7.2離散時間希爾伯特變換

根據(jù)的定義，它可表示為其中為頻域階躍信號

進(jìn)行傅里葉逆變換后，可得107根據(jù)時域卷積特性，解析信號可表示為因此定義信號的希爾伯特變換為108因此解析信號可表示為除了在時域內(nèi)計算希爾伯特變換，也可以在頻域內(nèi)求解，由于所以的頻譜為109于是解析信號的頻譜為利用希爾伯特變換，由實(shí)信號獲得解析信號的LTI系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下1101.7.3離散時間窄帶信號的復(fù)數(shù)表示（復(fù)包絡(luò)）設(shè)離散時間實(shí)信號為它可進(jìn)一步表示為其中，設(shè)其為帶限信號。將信號頻譜的實(shí)部記為，虛部記為

。111由傅氏變換的頻移特性，可獲得信號的頻譜。(a)復(fù)信號的頻譜(b)復(fù)信號的頻譜112由可得實(shí)信號的頻譜113由信號頻譜圖易見：信號帶寬：載波角頻率如果信號載波角頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信號帶寬，即，則稱信號是中心頻率為的離散時間窄帶信號。114由解析信號定義及頻譜關(guān)系可知：信號正好是窄帶信號的解析信號。復(fù)信號稱為窄帶信號的復(fù)包絡(luò)，或是基帶信號、零中頻信號，對窄帶信號其預(yù)包絡(luò)等于它的復(fù)包絡(luò)乘上復(fù)載波。

115進(jìn)一步將復(fù)包絡(luò)表示為直角坐標(biāo)形式，有令那么同相分量，I分量正交分量，Q分量1161.8窄帶信號的正交解調(diào)與數(shù)字基帶信號

：一個實(shí)的連續(xù)時間窄帶信號LO：本振LPF：低通濾波器模擬正交解調(diào)與采集電路原理框圖1.8.1模擬正交解調(diào)與采集電路原理117信號可表示為即載波角頻率信息完全包括在同相和正交分量中，正交解調(diào)正是要獲得這兩個分量！與本振信號相乘后，有：118通過低通濾波器濾除高頻分量后即可提取同相和正交分量。最后，經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換，便獲得了窄帶信號的離散時間基帶信號的同相和正交分量：且其中為窄帶信號的復(fù)包絡(luò)。1191.8.2數(shù)字正交解調(diào)與采集電路原理模擬正交解調(diào)中，離散時間基帶信號是通過對模擬基帶信號進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換得到的，其中，需要產(chǎn)生兩個正交的模擬本振信號和，當(dāng)這兩個本振信號不正交時，就會使獲得的基帶信號失真。隨著近年來FPGA等數(shù)字器件的發(fā)展，在現(xiàn)代數(shù)字接收機(jī)中大量采用數(shù)字正交解調(diào)的方法。

120數(shù)字正交解調(diào)時，模數(shù)轉(zhuǎn)換直接在射頻處完成，有數(shù)字正交解調(diào)與采集電路原理框圖數(shù)字控制振蕩器121數(shù)字控制振蕩器產(chǎn)生數(shù)字正交本振信號，數(shù)字窄帶信號與其相乘后，可得：通過數(shù)字低通濾波器后獲得離散時間基帶信號：且122數(shù)字正交解調(diào)法的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：兩個正交本振序列的形成和相乘都是數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果，所以正交性是完全可以得到保證的。缺點(diǎn)：直接在射頻（或中頻）進(jìn)行采樣數(shù)字化，對A/D采樣的速率要求比較高。在采樣速率很高的情況下，會導(dǎo)致后續(xù)數(shù)字低通濾波器階數(shù)的提高，實(shí)現(xiàn)起來較困難。（解決方法：基于帶通采樣和多相濾波的數(shù)字正交解調(diào)）1231.8.3基帶信號的隨機(jī)相位與載波同步由于傳輸信道或是其他一些原因造成本地載波與信號載波之間存在頻差和相差，會導(dǎo)致在理想的同相分量和正交分量中引入