2022屆安徽省滁州市鳳陽縣臨淮中學(xué)高三下學(xué)期四模文科數(shù)學(xué)試題及答案解析

鳳陽縣臨淮中學(xué)2022年高三第四次模擬檢測試卷文科數(shù)學(xué)試題第I卷選擇題（共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知集合，為虛數(shù)單位，，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.運行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出的數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為，從集合中任取一個元素，則函數(shù)，是增函數(shù)的概率為（）A. B. C. D.4.設(shè)實數(shù)，滿足約束條件,則的取值范圍是A. B. C. D.5.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，反映了中華民族對生命、健康和疾病的認(rèn)識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系．是中華民族的瑰寶．某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含最x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物單位）之間滿足y＝15x﹣2x2．檢測這種藥品一個批次的6個樣本，得到成分甲的含量的平均值為5克．標(biāo)準(zhǔn)差為克．則估計這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為（）A.14藥物單位 B.15.5藥物單位C.15藥物單位 D.16藥物單位6.設(shè)雙曲線的右焦點為，過作垂直于軸的直線交于，兩點，若以線段為直徑的圓與的漸近線相切，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.7.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.38.在中，，，，一只小螞蟻從的內(nèi)切圓的圓心處開始隨機(jī)爬行，當(dāng)螞蟻（在三角形內(nèi)部）與各邊距離不低于1個單位時其行動是安全的，則這只小螞蟻在內(nèi)任意行動時安全的概率是（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)（，）部分如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式為A. B.C. D.10.已知三棱錐的頂點均在球的球面上，且，，若是點在平面內(nèi)的正投影，且，則球的表面積為（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)與函數(shù)關(guān)于對稱，若，則（）A. B.1 C.2 D.412.已知函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，擲鐵餅者雙手之間的距離約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者的肩寬約為___________.(精確到)14.已知，，則的最小值是______.15.已知函數(shù)滿足：①定義域為；②對任意，有；③當(dāng)時，.則___________.16.在中，角、、所對的邊分別為、、，若為銳角三角形，且滿足，則的取值范圍是________.三、解答題(本大題共6小題，共70分.其中22、23為選考題.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角；（2）若，，點D在邊AC上，且，求BD的長.18.已知甲、乙兩地生產(chǎn)同一種瓷器，現(xiàn)從兩地的瓷器中隨機(jī)抽取了一共300件統(tǒng)計質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖的兩個統(tǒng)計圖，其中甲地瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間和的頻數(shù)相等.（1）求直方圖中的值，并估計甲地瓷器質(zhì)量指標(biāo)值的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值作代表）（2）規(guī)定該種瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值不低于125為特等品，且已知樣本中甲地的特等品比乙地的特等品多10個，結(jié)合乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計圖完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩地的瓷器質(zhì)量有差異？物等品非特等品合計甲地乙地合計附：，其中.0.100050.0250.012.7063.8415.024663519.如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點為線段的中點，且，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.已知是焦距為的橢圓的右頂點，點，直線交橢圓于點，為線段的中點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若，求直線的斜率.21.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）若，求證：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點；（2）若在其定義域上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，，點，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸為正半軸為極軸的建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）過坐標(biāo)原點O任作直線l與曲線C交于E、F兩點，求的值．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23.已知，的最小值為.（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式.答案解析一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知集合，為虛數(shù)單位，，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的計算公式可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】，又集合，．故選A．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的計算公式、元素與集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式，利用充分條件，必要條件的定義即得.【詳解】解不等式，得，解不等式，得，故由可推出，由推不出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.運行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出的數(shù)據(jù)構(gòu)成的集合為，從集合中任取一個元素，則函數(shù)，是增函數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)程序框圖計算出所有輸出的y值，確定集合A,再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，選出所有符合條件的的值，用符合條件的事件個數(shù)除以基本事件的總數(shù)，即可求解．【詳解】由程序框圖可知，其中基本事件的總數(shù)為5，設(shè)集合中滿足“函數(shù)，是增函數(shù)”為事件，當(dāng)函數(shù)，是增函數(shù)時，，事件包含基本事件的個數(shù)為3，則.故選.【點睛】本題考查程序框圖的運行和概率的計算，是基礎(chǔ)題．4.設(shè)實數(shù)，滿足約束條件,則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=|x|﹣y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，即可得出z的取值范圍．詳解：作出實數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．設(shè)z=F（x，y）=|x|﹣y，將直線l：z=|x|﹣y進(jìn)行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，當(dāng)x≥0時，直線為圖形中的紅色線，可得當(dāng)l經(jīng)過B與O點時，取得最值z∈[0，]，當(dāng)x＜0時，直線是圖形中藍(lán)色直線，經(jīng)過A或B時取得最值，z∈[﹣，3]綜上所述，z∈[﹣，3]．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查線性規(guī)劃，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查學(xué)生分類討論思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是對x分x≥0和x＜0討論，通過分類轉(zhuǎn)化成常見的線性規(guī)劃問題.5.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，反映了中華民族對生命、健康和疾病的認(rèn)識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系．是中華民族的瑰寶．某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含最x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物單位）之間滿足y＝15x﹣2x2．檢測這種藥品一個批次的6個樣本，得到成分甲的含量的平均值為5克．標(biāo)準(zhǔn)差為克．則估計這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為（）A.14藥物單位 B.15.5藥物單位C.15藥物單位 D.16藥物單位【答案】C【解析】【分析】設(shè)6個樣本中藥物成份甲的含量分別為，根據(jù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差列出方程，再代入平均數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】設(shè)6個樣本中藥物成份甲的含量分別為，因為成分甲的含量的平均值為5克，所以，標(biāo)準(zhǔn)差為克，所以，可得，又由，所以，所以這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.故選：C.【點睛】本題主要考查了統(tǒng)計知識的應(yīng)用，其中解答中熟記平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.6.設(shè)雙曲線的右焦點為，過作垂直于軸的直線交于，兩點，若以線段為直徑的圓與的漸近線相切，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，直線AB的方程為，代入，求得交點坐標(biāo)，得到以線段為直徑的圓的圓心和半徑，再根據(jù)雙曲線的漸近線與圓相切求解.【詳解】根據(jù)題意，直線AB方程為，代入，得，所以以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，雙曲線的漸近線方程為，因為漸近線與圓相切，所以，化簡得，所以，故選：C【點睛】本題主要考查雙曲線的方程，漸近線和離心率，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則.其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【詳解】①中，由條件可得或相交，故①不正確；②中，由條件可得或，故②不正確；③中，由條件可得或，故③不正確．綜上真命題的個數(shù)是0．選A．8.在中，，，，一只小螞蟻從的內(nèi)切圓的圓心處開始隨機(jī)爬行，當(dāng)螞蟻（在三角形內(nèi)部）與各邊距離不低于1個單位時其行動是安全的，則這只小螞蟻在內(nèi)任意行動時安全的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出小螞蟻在內(nèi)安全的幾何圖形的面積，再利用幾何概型計算作答.【詳解】的內(nèi)切圓O與邊分別切于點，連接，如圖，因，即有，圓O半徑，即，分別取的中點，連，則，點O到三邊的距離分別等于，，，均為1，顯然，依題意，小螞蟻在內(nèi)（不含邊界）爬行是安全的，其概率為.故選：A9.已知函數(shù)（，）的部分如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)圖像確定A，T,,,再根據(jù)平移得函數(shù)的解析式【詳解】由圖得,因為時，所以，因此，選D.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求.10.已知三棱錐的頂點均在球的球面上，且，，若是點在平面內(nèi)的正投影，且，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，且為的中點，可求出高，并且球心在上，根據(jù)勾股定理可得半徑，求出其表面積．【詳解】因為，平面，、、平面，，，，，，即是的外心，即是斜邊的中點，則球心在上，由勾股定理可得，得，設(shè)球的半徑為，則，所以．所以球的表面積為，故選：C．【點睛】本題考查四面體的外接球，以及外接球的表面積，解答的關(guān)鍵在于找出球心的位置，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．11.已知函數(shù)與函數(shù)關(guān)于對稱，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)與函數(shù)關(guān)于對稱，設(shè)，則有，根據(jù)圖象的對稱性得到在函數(shù)的圖象上，代入聯(lián)立化簡求解即可.【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)關(guān)于對稱，設(shè)，則，則在函數(shù)的圖象上，代入得：，②①得，所以，所以，又因為，解得，將代入①式，得到，得到，故選：C.【點睛】方法點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，解題方法如下：（1）設(shè)出函數(shù)值，找到圖象上的點；（2）根據(jù)對稱性，得到點關(guān)于直線的對稱點在另一函數(shù)圖象上；（3）根據(jù)點在曲線上的條件是點的坐標(biāo)滿足曲線方程；（4）聯(lián)立方程組求得結(jié)果.12.已知函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)時，，構(gòu)造，得到，從而在上是增函數(shù)，再根據(jù)，得到是偶函數(shù)，得到在上是減函數(shù)，，然后將，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性的定義求解.【詳解】設(shè)，因為當(dāng)時，，所以，所以在上是增函數(shù)，又因為，所以，所以是偶函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以，因為，所以，即，所以，兩邊化簡得，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，擲鐵餅者雙手之間的距離約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者的肩寬約為___________.(精確到)【答案】【解析】【分析】由求出圓弧所對圓心角的大小，再由弧長公式即可求得.【詳解】如圖，，，△AOB中，過O作OM⊥AB于M，則M是弦AB中點，，，，則，“弓”所在的弧長，所以其肩寬.故答案為：14.已知，，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件得出點滿足的條件，然后由向量的模長公式求的最小值.【詳解】設(shè)，則由，則即點在以為焦點，長軸為的橢圓上所以滿足則，且故當(dāng)時，有最小值故答案為：15.已知函數(shù)滿足：①定義域為；②對任意，有；③當(dāng)時，.則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)可將轉(zhuǎn)化為，即可解出．【詳解】∵，∴f(2022)＝f(2020＋2)＝2f(2020)＝2f(2018＋2)＝22f(2018)＝…，即有．故答案為：.16.在中，角、、所對的邊分別為、、，若為銳角三角形，且滿足，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理得到，再根據(jù)正弦定理和兩角和差的正弦公式得到，根據(jù)三角形為銳角三角形，求得，以及的取值范圍，再利用商的關(guān)系、兩角差的正弦公式化簡所求式子，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得所求式子的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以，所以，即，，即，因為三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，且，所以.所以=.由于，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題(本大題共6小題，共70分.其中22、23為選考題.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角；（2）若，，點D在邊AC上，且，求BD的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理邊化角公式得到，再化簡得，從而得到.（2）首先設(shè)，，則，再利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴.（2）設(shè)，，則在中，.在中：①在中：②①+②×2：，綜上.18.已知甲、乙兩地生產(chǎn)同一種瓷器，現(xiàn)從兩地的瓷器中隨機(jī)抽取了一共300件統(tǒng)計質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖的兩個統(tǒng)計圖，其中甲地瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間和的頻數(shù)相等.（1）求直方圖中的值，并估計甲地瓷器質(zhì)量指標(biāo)值的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值作代表）（2）規(guī)定該種瓷器的質(zhì)量指標(biāo)值不低于125為特等品，且已知樣本中甲地的特等品比乙地的特等品多10個，結(jié)合乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計圖完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩地的瓷器質(zhì)量有差異？物等品非特等品合計甲地乙地合計附：，其中.0.100.050.0250.012.7063.8415.0246.635【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率直方圖和各組數(shù)據(jù)的頻率和為1列出方程，可求得，再運用各組數(shù)據(jù)中的區(qū)間的中點值乘以該組的頻率之和可估計出甲地瓷器質(zhì)量指標(biāo)值的平均值；(2)根據(jù)樣本中甲地的特等品比乙地的特等品多10個，求得從甲地的瓷器中隨機(jī)抽取的產(chǎn)品數(shù)和從乙地的瓷器中隨機(jī)抽取的產(chǎn)品數(shù)，再根據(jù)甲地瓷器質(zhì)量頻率分布直方圖和乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計圖完成的列聯(lián)表，計算出，對照表格中的數(shù)據(jù)可得結(jié)論.【詳解】(1)由頻率直方圖得：，解得，估計甲地瓷器質(zhì)量指標(biāo)值的平均值為：；(2)設(shè)從甲地的瓷器中隨機(jī)抽取了件產(chǎn)品，則從乙地的瓷器中隨機(jī)抽取了件產(chǎn)品，∵樣本中甲地的特等品比乙地的特等品多10個，∴，解得，∴根據(jù)甲地瓷器質(zhì)量頻率分布直方圖和乙地瓷器質(zhì)量扇形統(tǒng)計圖完成的列聯(lián)表如下表所示：物等品非特等品合計甲地40160200乙地3070100合計70230300∴，∴沒有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩地的瓷器質(zhì)量有差異.【點睛】本題考查完善頻率直方圖中的數(shù)據(jù)，根據(jù)頻率直方圖計算出樣本的平均值，根據(jù)頻率直方圖和扇形統(tǒng)計圖完成列聯(lián)表，運算進(jìn)行獨立性檢驗，關(guān)鍵在于領(lǐng)悟概率統(tǒng)計的原理，熟練記憶運算要點，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點為線段的中點，且，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依題意可得、，即可得到平面，即平面，再根面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點，分別以直線，，為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】（1）證明：在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，所以，所以.又平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，即平面.又平面，則平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，分別以直線，，為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，，所以，所以，，，所以，.設(shè)為平面的一個法向量，由，得，解得，取，則.因為是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以.【點睛】本題考查面面垂直的證明，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力及計算能力，屬于中檔題.20.已知是焦距為的橢圓的右頂點，點，直線交橢圓于點，為線段的中點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若，求直線的斜率.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)求出的中點代入橢圓方程化簡求解,再利用橢圓中的基本量求解即可.(2)根據(jù)可得,聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理,根據(jù)化簡求得斜率即可.【詳解】(1)由題意得,焦距,故.又為線段的中點,故在橢圓上.故.又.

故(2)設(shè),于是,因為,故,故,即.故.即,①聯(lián)立消去整理得由.解得.所以,代入①有,即.滿足.故即直線的斜率為【點睛】本題主要考查了根據(jù)點與直線的位置關(guān)系求解橢圓方程的方法,同時也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程利用韋達(dá)定理求解橫坐標(biāo)比例的問題,屬于難題