隨機(jī)過(guò)程課后習(xí)題

習(xí)題一

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，即：P(X=A)=pq\左=0,1,2,...。求X的特征

函數(shù)、EX及DX。其中0<p<l,q=l—p是已知參數(shù)。

2.(1)求參數(shù)為(p,b)的「分布的特征函數(shù)，其概率密度函數(shù)為

p[bx

p(x)=k—(p_)X~e~'r>0b>0,p>0

0,x<0

(2)求其期望和方差；

(3)證明對(duì)具有相同的參數(shù)b的「分布，關(guān)于參數(shù)p具有可加性。

3.設(shè)X是一隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是其分布函數(shù)，且是嚴(yán)格單調(diào)的，求以下隨機(jī)變

量的特征函數(shù)。

(1)y=。/(乂)+。,(。。0場(chǎng)是常數(shù))；

(2)Z=lnF(X),并求E(Z?)(k為自然數(shù))。

4.設(shè)X”X2，...,X“相互獨(dú)立，具有相同的幾何分布，試求之的分布。

k=l

5.試證函數(shù)f(t)=()為一特征函數(shù),并求它所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的分布。

6.試證函數(shù)為一特征函數(shù)，并求它所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的分布。

1+r

7.設(shè)X1,X2，...,X,,相互獨(dú)立同服從正態(tài)分布Nia,/),試求n維隨機(jī)向量

一1n

X1,X2，...,X“的分布，并求出其均值向量和協(xié)方差矩陣，再求的概

Y1

率密度函數(shù)。

8.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，目(1)分別具有參數(shù)為(m,p)及(n,p)的二項(xiàng)分布；(2)

分別服從參數(shù)為3，b)<P2⑼的「分布。求X+Y的分布。

9.已知隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為

p(x,y)=14

試求其特征函數(shù)。1°'其他

10.已知四維隨機(jī)向量(又|盟園園服從正態(tài)分布，均值向量為0,協(xié)方差矩

陣為6=(%)4*4,求磯XiNNM)。

11.設(shè)X1,X2和X3相互獨(dú)立，且都服從N(0,l),試求隨機(jī)變量X=X]+X2和

以=X1+X3組成的隨機(jī)向量(丫1.丫2)的特征函數(shù)。

12.設(shè)Xi，X2和X3相互獨(dú)立，目都服從N?/),試求：

(1)隨機(jī)向量(Xi,X2.X3)的特征函數(shù)；

⑵設(shè)S1=X1,S2=Xx+X2,S3=X[+X2+X3,求隨機(jī)向量(Si,S2,S3)的特

征函數(shù)；

(3)1=乂2-X和3=X3-X2組成的隨機(jī)向量(丫1,丫2)的特征函數(shù)。

13.設(shè)(X1,X2,X3)服從三維正太分布N(0,6),其中協(xié)方差矩陣為8=(b]d)3x3,且

222

cTn=cr22=(T33=(y~。試求E[(X]-(T)(X；_(J2)(X；-(T)]0

14.設(shè)X1,X2,…,X”相互獨(dú)立同服從正態(tài)分布Ng,4)0試求

%=exp(4X：)的期望。

/=1

15.設(shè)X、Y是相互獨(dú)立同分布的N(O,1)隨機(jī)變量，討論U=x2+y2和丫=乙的

獨(dú)立性。Y

16.設(shè)X、Y是相互獨(dú)立同服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量，討論U=X+Y

和丫=x.的獨(dú)立性。

X+Y

17.設(shè)二維隨機(jī)變量(XJ)的概率密度函數(shù)分別如下，試求E(XIY=y)。

y,x>O,y>()

(1)

P(x,y)=y

0,其他

A2e~Ax,0<y<x

(2)p(x,y)=<

0,其他

18.設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布,

Y服從參數(shù)為A的指數(shù)分布。求(1)X與X+Y的聯(lián)合概率密度函數(shù);(2)D(XIY=y)。

,一“0〃、

19.設(shè)Xn，n=l,±1,±2,…是一列隨機(jī)變量，且Xn~121，

其中K是正常數(shù)。試求：W不

(1)當(dāng)K>1時(shí)，Xn幾乎肯定收斂于0；

(2)當(dāng)K>2時(shí)，X,,均方收斂于0；

(3)當(dāng)K>3時(shí)，Xn不均方收斂于0。

20.設(shè)X“一^a,%—試證明X“土匕一

習(xí)題二(-\1)

1.設(shè)X(i=1,2,3,…)是獨(dú)立隨機(jī)變量列，且有相同的兩點(diǎn)分布11令

r(o)=0,y(〃)=￡X,,試求：

(1)隨機(jī)過(guò)程(Y(n),n=O,1,2,…｝的一個(gè)樣本函數(shù);

(2)P[Y(l)=k]及P[Y(2)=k]之值；

(3)P[Y(n)=k];

(4)均值函數(shù)；

(5)協(xié)方差函數(shù)。

2.設(shè)XQ)=Acoso/—Bsin。7,其中A、B是相互獨(dú)立且有相同的N(0,cP)分布

的隨機(jī)變量，。是常數(shù)，te(-00,00),試求：

(1)X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)；

(2)X(t)的一維概率密度函數(shù)；

(3)均值函數(shù)和協(xié)/差函數(shù)。

3.設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(f)=￡&cosGj+Z*sin4l),f20。其中耳，迷，…，匕，

k=l

Z1,Z2,…,Z”是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且％,ZrN(0,bJ),攵=1,2,...,〃。

(1)求｛X(t)｝的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；

(2)證明｛X(t)｝是正太過(guò)程。

4.設(shè)｛卬()/20｝是參數(shù)/的wiener過(guò)程，求下列過(guò)程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)：

,1

(1)X(t)=W2(t),t>0；(2)X(r)=/W(-),z>0；

(3)X(t)=c~lW(c2t),t>Qi(4)X(0=W(t)~tW(t),0<t<lo

5.設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為力的Poisson流，每個(gè)顧客購(gòu)買商品的概率

為P，且與其他顧客是否購(gòu)買商品無(wú)關(guān)，若｛丫⑺,720｝是購(gòu)買商品的顧客流，證

明｛K(r),r>0)是強(qiáng)度為4P的Poisson流。

6.在題5中，進(jìn)一步設(shè)｛Z?),f20｝是不購(gòu)買商品的顧客流，試證明｛丫。),720｝

與｛Z(/)J>0)是強(qiáng)度分別為/Ip和A(l-p)的相互獨(dú)立的Poisson流。

7.設(shè)之0｝和｛必⑴,￡20｝分別是強(qiáng)度為4和4的獨(dú)立Poisson流。試證

明：

(1)｛M+N2(t),t>0｝是強(qiáng)度為4+4的Poisson流；

(2)在｛N?)j20｝的任一到達(dá)時(shí)間間隔內(nèi)，｛生⑺120｝恰有k個(gè)時(shí)間發(fā)

生的概率為

pk=--------?(---------)",k=0,1,2,...

8.設(shè)｛N(f),f20｝是Poisson過(guò)程，工，和7；分別是｛N⑺/20｝的第n個(gè)時(shí)間的

到達(dá)時(shí)間和點(diǎn)間距距離。試證明：

(1)E?”)=〃E(7；),〃=1,2,…;

(2)D("J=nD(Tn),n=1,2,…。

9.設(shè)某電報(bào)局接收的電報(bào)數(shù)N(f)組成Poisson流，平均每小時(shí)接到3次電報(bào)，

求：

(1)一上午(8點(diǎn)到12點(diǎn))沒有接到電報(bào)的概率；

(2)下午第一個(gè)電報(bào)的到達(dá)時(shí)間的分布。

10.設(shè)｛乂⑺120｝和20｝分別是強(qiáng)度為4和4的獨(dú)立Poisson過(guò)程，

令X(/)=M?)_N2?),d0,求｛XQ)J20｝的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)。

11.設(shè)｛N(f)/20｝是強(qiáng)度為4的Poisson過(guò)程，T是服從參數(shù)為7的指數(shù)分布的

隨即變量，且與｛NQ)｝獨(dú)立，求［0,T］內(nèi)事件數(shù)N的分布律。

習(xí)題三

1.證明Poisson隨機(jī)變量序列的均方極限是Poisson隨機(jī)變量。

2.設(shè)=是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，均值為因方差為1,定

義工=—證明IimX“=〃。

n”->8

11/=1

3.研究下列隨機(jī)過(guò)程的均方連續(xù)性、均方可導(dǎo)性和均方可積性。

(1)X(t)=At+B,其中A、B是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量，均值為a、

b,方差為S；、sl；

(2)X(t)=At2+Bt+C,其中A、B、C是相互獨(dú)立的二階矩隨機(jī)變量，

均值為a、b、c,方差為S；、S；、S；；

(3)｛N()f20｝是Poisson過(guò)程；

(4)｛?、?20｝是Wiener過(guò)程.

4.試研究上題中過(guò)程的均方可導(dǎo)性，當(dāng)均方可導(dǎo)時(shí)，試求均方導(dǎo)數(shù)過(guò)程的均值

函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。

5.求下列隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)，從而判斷其均方連續(xù)性和均方可微

性。

(1)X(/)=cos(att+0),其中。是常數(shù)，。服從［0,2捫上的均勻分布；

(2)X(t)=tW，，/>0，其中W⑺是參數(shù)為1的Wiener過(guò)程；

(3)X(t)=W2(t),t>Q,其中W⑺是參數(shù)為S?的Wiener過(guò)程。

6.均值函數(shù)為加?)=5sinf、相關(guān)函數(shù)為=3e-°-5(1~s)的隨機(jī)過(guò)程

輸入微分電路，該電路輸出隨機(jī)過(guò)程y(/)=x'(，)，試求y?)的均值函數(shù)、相關(guān)

函數(shù)、X。)與丫(。的互相關(guān)函數(shù)。

7.試求第3題中可積過(guò)程的如下積分：

y(t)=^x(u)du,Z(f)=：rX(“)dw

的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。

8.設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(r)=%3，cos2f,其中V是均值為5、方差為1的隨機(jī)變量,

試求隨機(jī)過(guò)程丫(。=/X(s)ds的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與方差函數(shù)。

9.設(shè)｛WQ)J20｝是參數(shù)為S?的Wiener過(guò)程，求下列隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)和相

關(guān)函數(shù)。

(1)XQ)=，W(s)ds,f20；

(2)XQ)=Cw(s)ds/20；

/

(3)X(t)=r[W(s)-W(t)]ds,t>0o

10.求一階線性隨機(jī)微分方程

(X'(t)+aX(t)=0,t>0/八、

〈(?>0)

[x(0)=x0

的解及解的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)及解的一維概率密度函數(shù)，其中X。是均值為0、

方差為S?的正態(tài)隨機(jī)變量。

11.求一階線性隨機(jī)微分方程的解及解的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)。

(1)〈(?>0)

[Y(a)=Y0

其中X(f)是一已知的二階均方連續(xù)過(guò)程，1；是與X(f)獨(dú)立的均值為m、方差為

S2的隨機(jī)變量。

fr(r)+?y(r)=X(r),r>0

(2)〈(a>0)

U(0)=乂

其中X?)是一已知的均值函數(shù)為mv(r)=sinz、相關(guān)函數(shù)為

Rx(s/)=>0)的二階均方連續(xù)過(guò)程。

習(xí)題四

1.設(shè)隨機(jī)過(guò)程X?)=Acos(切+。)，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密

度函數(shù)為

f%/

<、—exp(----7),x>。/

P(x)=3八2a2。>。)

0,x<0

式中0服從區(qū)間［0,21］上的均勻分布，且A、G)相互獨(dú)立，試研究X是否為平

穩(wěn)過(guò)程。

2.設(shè)X是一平穩(wěn)過(guò)程，且滿足XQ)=XQ+T),稱X為周期平穩(wěn)過(guò)程，T為其

周期，試證X的相關(guān)函數(shù)也是以T為周期的周期函數(shù)。

3.設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的實(shí)平穩(wěn)過(guò)程，試證明Z(f)=X?)+y?)也是平穩(wěn)

過(guò)程。

4.設(shè)｛X(t),-8<f<+oo｝是n階均方可微的平穩(wěn)過(guò)程，證明

(n)

｛X(0,-oo<Z<+oo)是平穩(wěn)過(guò)程，且Rx(,M=(一1)"/?了)⑺。

5.設(shè)｛X(n)｝是一均值為0的平穩(wěn)時(shí)間序列，證明：

(1)Z(“)=AX(7i)+8X(〃―帆)仍是一平穩(wěn)時(shí)間序列；

(2)若數(shù)列｛A(n)｝絕對(duì)收斂，即+8,則Z(〃)=￡AX(〃-2)仍

k=-<x>k=-<x>

是一平穩(wěn)時(shí)間序列；

(3)若｛X(n)｝是一白噪聲，試求Z(〃)=￡&X(〃-左)的相關(guān)函數(shù)及其譜函

2=0

數(shù)。

6.設(shè)X(t)是雷達(dá)在t時(shí)的發(fā)射信號(hào)，遇目標(biāo)返回接收機(jī)的微弱信號(hào)是

aX^-r^a1,G是信號(hào)返回時(shí)間，由于接收到的信號(hào)總是伴有噪聲的，記

噪聲為N(t),于是接收機(jī)接收到的全信號(hào)為：Y(t)=aX(t-Tl)+N(t),若X、Y

是平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程，試求Rxy?)；進(jìn)而，若NQ)的均值為0,且與X。)相

互獨(dú)立，試求尺*丫?)。

7.設(shè)X(/)=sin€)f,其中。是服從區(qū)間［0,24］上的均勻分布的隨機(jī)變量，試證:

(1){Xn,n=0,±1,±2,...}是一平穩(wěn)時(shí)間序列;

(2){X(t),-oo<t<+oo}不是平穩(wěn)過(guò)程。

8.設(shè)｛X(f),—8<f<+oo｝為零均值的正交增量過(guò)程，?XQ)-X(s)「=|一s|,

試證V?)=X⑺-X(r-l)是一平穩(wěn)過(guò)程。

9.設(shè)｛X"),￡20｝是平穩(wěn)過(guò)程，均值加*=0,相關(guān)函數(shù)為之?)，若

-a|r|

(1)Rx(r)=e,fl>0

1-忖，同W1

(2)R?)=

x0,其他

令y?)=(￡x(s)ds,T是固定的證書，分別計(jì)算｛丫⑺,￡20｝的相關(guān)函數(shù)。

10.設(shè)平穩(wěn)過(guò)程｛X(，)"20｝的相關(guān)函數(shù)為陽(yáng)-咖，這里

pa

a2/>0為常數(shù)。

(1)判斷X是否為均方可導(dǎo)，說(shuō)明理由；

(2)計(jì)算園而X'(/+r)｝和￡｛又否乂'0+7)｝。

11.設(shè)寬平穩(wěn)過(guò)程｛y(f),/G(-8,+8)｝的自相關(guān)函數(shù)為&(7)=0第，對(duì)滿足隨機(jī)

微分方程X'。)+X。)=y(z)的寬平穩(wěn)過(guò)程解｛X(r)je(-00,+00))。

(1)求X的均值函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度；

(2)求X與Y的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜密度。

12.設(shè)｛X?)/20｝是均值為0的平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程，且二階均方可導(dǎo)。求證：對(duì)

任意t>0,X。)與X'Q)相互獨(dú)立，但X")與X"⑺不獨(dú)立，并求Hxx"，r+z)。

13.設(shè)｛X"),720｝是均方可導(dǎo)的實(shí)平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為H(r),求其導(dǎo)

數(shù)過(guò)程｛X'("/>0)的一維、二維概率密度函數(shù)。

14.已知平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)

2a

(1)Rx(r)=ae~^cos/r,(a>0)

2aM

(2)Rx(r)=ae~(1+a|T|),(a>0)

uT

(3)Rx(r)=cre^[cosyffr+—sin^|r|j,(a>0)

求譜密度。

15.已知平穩(wěn)過(guò)程(參數(shù)連續(xù))的譜密度

a,|<w|<b

(1)Sx(⑼=

0,其他

2|<w|<

b,a<11la(tz>0)

(2)Sx(a>)=

0,其他

(3)S'3?看常M%為正數(shù))

求相關(guān)函數(shù)和平均功率。

16.設(shè)X、Y是兩平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程，且E[X?)]=或是⑺]=0,RX(T)=RY(T),

Z(f)=X(f)co?y(/+y(f)sin

RXY(T)=-RXY(-T)>試證。(/也是平穩(wěn)過(guò)程。又若

X、Y的譜密度函數(shù)存在，使用X、Y的譜密度及互譜密度表出Z的譜密度。

17.設(shè)X(f)=cos(or+。)，其中。>0為常數(shù)，?是特征函數(shù)為f(t)的實(shí)隨機(jī)變

量，證明X為平穩(wěn)過(guò)程的充要條件為f(l)=f(2)o

18.設(shè)X為平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程，￡[%(/)]=0,R(r)是其相關(guān)函數(shù)，試證

/(/)=sgn[X(r)]是一平穩(wěn)過(guò)程，且其標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)函數(shù)為

⑺2.

0(7)=Ry=—arcsin

Ry(0)Tl砥0)

19.設(shè)｛X(。,-8<f<8｝是一平穩(wěn)過(guò)程，5(。)為其譜密度函數(shù)，試證：對(duì)任意

的h>0,y⑺=X(f+/z)-X(。是平穩(wěn)過(guò)程(即平穩(wěn)過(guò)程具有平穩(wěn)增量)，并求Y

的譜函數(shù)。

20.設(shè)｛X(f),-oo<f<oo｝是均值為0、相關(guān)函數(shù)為品?)的實(shí)正太平穩(wěn)過(guò)程，證

明X2(。也是平穩(wěn)過(guò)程，并求其均值及相關(guān)函數(shù)。

21.設(shè)二階過(guò)程｛X。),-8<f<8｝的均值函數(shù)為E[X(f)]=a+",相關(guān)函數(shù)為

R(s/)=e"I,其中&>/>；1>0都是常數(shù)。證明y?)=XQ+l)-XQ)是一

平穩(wěn)過(guò)程，并求其均值及相關(guān)函數(shù)。

22.設(shè)｛乂“,〃=0,±1,±2,...｝是白噪聲序列，試證明

y(n)=—LX(n)+X(/?-l)+...+X(n-m+l)J

m

是平穩(wěn)時(shí)間序列，并求其相關(guān)函數(shù)及譜密度。

23.設(shè)｛乂(〃),〃=0,±1,±2,...｝為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)稱，具有譜密度S(。)，試證：

對(duì)每個(gè)△>0,｛X(〃A),〃=0,±l,±2,...｝是平穩(wěn)序列，并用S(。)表出

｛X("△),”=0,±1,±2,...｝的譜密度。

24.設(shè)彳、〃是兩個(gè)互相獨(dú)立的實(shí)隨機(jī)變量，EJ=0,OJ=1,〃的分布函數(shù)是

F(x),試證明：Z(f)="刖為平穩(wěn)過(guò)程，且其譜函數(shù)就是尸(①)。

25.設(shè)｛X。),-oo</<+oo｝是均方可導(dǎo)的平穩(wěn)過(guò)程，5(。)是其譜密度，試證

(1)7(0=fe""FX(s)ds,(夕>0,常數(shù))

J-cc

(2)Z(Z)=fe-a?r)sm”0-s)x(s)ds,g>o,一>o均常數(shù))

J-8①

均為平穩(wěn)過(guò)程，并求他們的譜密度。

26.設(shè)Y是均方二次可導(dǎo)的平穩(wěn)過(guò)程，X是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，且滿足：

Y\t)+/3Y'(t)+*(f)=X(?)

使用X的譜函數(shù)表示Y的譜函數(shù)及X與Y的互譜函數(shù)。

27.已知如圖所示的系統(tǒng)，其輸入X為一零均值的平穩(wěn)的正太過(guò)程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)

測(cè)得Z的功率譜密度為

S7(①)=7rS((t))+—；——"-----

z(4+/2)(蘇+1)

(1)試證Y也為平穩(wěn)的，且&?)=R；(0+2&?)；

(2)利用(1)的結(jié)論分別求X和Y的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度。

Y(t)

X(t)o——>(?)2--------上fh(t)=e-tu(t)——*Z(t)

題27圖

28.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)/z?)=U(f)exp(-"),其中夕〉0為常數(shù)，

。⑺為單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的輸入X是自相關(guān)函數(shù)為

Rx(T)=exp[-?|r|],(a>0)的平穩(wěn)過(guò)程。試求：

(1)系統(tǒng)輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)。

(2)輸出的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。

29.設(shè)隨機(jī)過(guò)程XQ)=Acos，+8sin，,-oo</■<+<?,其中A和B是相互獨(dú)立

的零均值隨機(jī)變量，且。(A)=￡>(8)=b2。試研究X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是

否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

30.設(shè)隨機(jī)過(guò)程XQ)=Acos(W+0),—8<f<+oo,其中A、?是相互獨(dú)立的隨

機(jī)變量，且。服從區(qū)間[0,2幻上的均勻分布。試研究X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)

是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

31.設(shè)隨機(jī)過(guò)程乂。)=4(：05(加+。),一8<，<+00,其中A、(D。是相互獨(dú)立

的隨機(jī)變量，其中A的均值為2,方差為4,且?服從區(qū)間[-肛加上的均勻分

布，。服從區(qū)間(-5,5)上的均勻分布。試研究X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)是否具有

各態(tài)歷經(jīng)性。

32.設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的期望為m,自相關(guān)函數(shù)為R(r),協(xié)方差函數(shù)為C，)。

(1)若<+8,試證明X的均值各態(tài)歷經(jīng)；

(2)若C(0)<+8,且當(dāng)同foo時(shí)，。⑺-0,試證明X的均值各態(tài)歷

經(jīng)。

33.設(shè)平穩(wěn)過(guò)程X=｛X(f),-8<f<+8｝的均值%=0,相關(guān)函數(shù)

Hx?)=AeMH(l+a忖)，3>0)，其中A、a是常數(shù)。問(wèn)X的均值是否具有各態(tài)

歷經(jīng)性。

習(xí)題五

1.設(shè)｛。“,〃=1,2,...｝是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，試問(wèn)下列的｛乂",〃=1,2,...｝是

否是馬氏鏈，并說(shuō)明理由：

(1)x?=ui+u2+...+ull；

(2)X“=(。1+。2+…+U“)2。

2.｛乂“,〃=1,2,...｝是隨機(jī)差分方程乂“=夕勺_1+/“的解，其中夕是已知常數(shù),

X0=0,而｛/“,〃=1,2,...｝是獨(dú)立同分布的取可數(shù)值的隨機(jī)變量。試證明

{X“,〃=l,2,...}是馬氏鏈。

3.有兩個(gè)狀態(tài)0和1的馬氏鏈{X,,〃=l,2,...},其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

/、

PooPoi

rp=

〈PioPwJ

試證：

⑴當(dāng)加oo+PnT|<l時(shí)，有

111

]-Poo+(Poo+Pii-I)f1-Poo一(I-Poo)

1-2

2-〃00-P1111—PuPooJ~Poo~Pn1一(1-Pu)1一Pu

l-Pn

2-Poo-Pl1

(2)特別地，當(dāng)〃00=〃]]=〃/=1一〃時(shí)有

(1111、

耳+產(chǎn)幻"

(3)試求概率P{X0=1IX[=1}。

4.有三個(gè)黑球和三個(gè)白球，把這六個(gè)球任意等分給甲、乙兩個(gè)袋中，并把甲袋

中的白球數(shù)定義為該過(guò)程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)：0,123。現(xiàn)每次從甲、乙袋中

各取一球，然后互相交換，即把從甲袋中取出的球放入乙袋，而把從乙袋中取出

的球放入甲袋，經(jīng)過(guò)n次交換過(guò)程的狀態(tài)記為Xno試問(wèn)過(guò)程是否是馬氏鏈？如

果是，試計(jì)算其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

5.設(shè)一個(gè)有三個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

‘Pi10、

尸=°Pi%

0Pi,

其中P+4=l,z=1,2,3-試求首達(dá)概率瑞)和4in),?=1,2,30

6.設(shè)馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣分別表示如下：

"0.600000.4、

00.6000.40

0.10.10.10.10.50.1

p=

00.20.20.40.20

00.2000.80

,0.400000.6,

9.6000.40、

(1/21/200、

00.6000.4

1/31/31/30

00.20.600.2,P=

1/41/41/41/4

0.4000.60

J/41/41/41/4,

、00.2000.8,

(I)試對(duì)s進(jìn)行分類，并說(shuō)明各狀態(tài)的類型；

(2)求平穩(wěn)分布，其平穩(wěn)分布是否唯一？為什么？

(3)求P(X(〃+2)=1IX(〃)=O),P{X(〃+2)=2IX(〃)=0}。

7.試討論齊次馬氏鏈的平穩(wěn)概率的存在性和唯一性問(wèn)題，若存在，如何求出其

所有的平穩(wěn)概率？并舉例說(shuō)明。

8.考慮一個(gè)狀態(tài)為0,1,2,…的馬氏鏈，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

008

Poi=Pi,EP,=1，X勿，＜0°，

i=0i=0

試證明此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s、非周期、正常返的，并求其平穩(wěn)概率。

9.假定今天下雨，則明天仍下雨的概率為。，而如果今天不下雨，則明天下雨

的概率為尸，試求下雨的極限概率。

10.考慮一個(gè)有平穩(wěn)概率多的不可約非周期馬氏鏈，設(shè)其初始分布為石，記

Qi.=P[X.=j\X,=i}

則Q可看作為一個(gè)馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，試證明：

Qf=P{X0=j\Xn=i}

11.設(shè)有兩個(gè)相同部件，工作時(shí)的壽命均服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，儲(chǔ)備時(shí)的壽

命均服從參數(shù)為。的指數(shù)分布。開始時(shí)一個(gè)部件工作，一個(gè)部件儲(chǔ)備，當(dāng)工作部

件失效時(shí)立即進(jìn)行修理，修理時(shí)間服從參數(shù)為〃的指數(shù)分布；當(dāng)一個(gè)部件在修理

時(shí)一，若另一個(gè)也失效，則等待先修理者修理完畢后立即進(jìn)行修理；當(dāng)一個(gè)失效部

件修理完畢時(shí)，若另一個(gè)部件正在工作，則做儲(chǔ)備，否則立即開始工作。試求t

時(shí)有部件工作的概率。

12.設(shè)N(t)是率為4的Poisson過(guò)程，匕是獨(dú)立同分布取整數(shù)值的隨機(jī)變量序列，

令

X（r）=Zy.

7i=l

試證：

（1）X（t）是一馬氏過(guò)程；

（2）求X⑴的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)。

13.設(shè)有兩個(gè)串行微處理器（M1,“2）和兩個(gè)緩沖器（片,與）組成如題13圖所示

的系統(tǒng)。請(qǐng)求到達(dá)Mi后依次經(jīng)過(guò)Mi和加2的處理；每個(gè)周期有一個(gè)請(qǐng)求到達(dá)“I

的概率為p，沒有請(qǐng)求到的概率為；到達(dá)的請(qǐng)求存放在與中B2的容量分別

為N1和N2（包括處理器正在處理的請(qǐng)求）。請(qǐng)求的到達(dá)與在及“2上的處理

時(shí)間相互獨(dú)立。試建立描述上述系統(tǒng)的馬爾可夫鏈模型，其穩(wěn)態(tài)分布是否存在？

如存在，試求出其穩(wěn)態(tài)分布。

請(qǐng)求離去

TB]——B2f

題13圖

14.考慮一出租汽車站，其出租汽車到站和顧客到站分別按率為4?和4的獨(dú)立

泊松分布過(guò)程進(jìn)行（其中乙＜々）。一輛出租車來(lái)到，不管出租車隊(duì)伍多長(zhǎng)都得

等待，而一個(gè)顧客來(lái)到時(shí)僅當(dāng)?shù)却念櫩蛿?shù)不超過(guò)2時(shí)他才等待。假設(shè)時(shí)間足夠

長(zhǎng)后系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，試求等待出租車的平均顧客數(shù)和一個(gè)顧客來(lái)到時(shí)不需要

等待就能坐上出租車的概率。

15.試述離散時(shí)間馬氏鏈與連續(xù)時(shí)間馬氏過(guò)程間的聯(lián)系及其相同點(diǎn)和不同點(diǎn)（從

狀態(tài)分類，極限情況等來(lái)討論）。

16.考慮具有k個(gè)通道的電話交換機(jī)，如果所有k條線都被占用，則一次呼叫來(lái)

到時(shí)就被丟失了，呼叫電話規(guī)律服從比率為4的泊松過(guò)程，呼話的長(zhǎng)短具有平均

值為1/〃的獨(dú)立指數(shù)分布的隨機(jī)變量。試求在系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)時(shí)一次呼叫來(lái)到時(shí)被

丟失的概率。

17.設(shè)X。）為有7個(gè)狀態(tài)的時(shí)齊馬氏過(guò)程，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移強(qiáng)度矩陣Q如下所示，

其中的*號(hào)表示非零值，試說(shuō)明各狀態(tài)的類型和周期。

**0000()、

0**0000

*0*0000

Q=000**00

000**00

00000*0

******7

18.假如在例5.7.1中的兩個(gè)部件不同型，即它們的壽命分布和修理時(shí)間分布都

是不相同的，但都是指數(shù)分布，試研究此時(shí)的系統(tǒng)。

19.設(shè)某金工車間有M臺(tái)車床，由于經(jīng)常需要測(cè)量和調(diào)換刀具等原因，各車床

總是時(shí)而停止，時(shí)而工作。假定在時(shí)刻t時(shí)，一臺(tái)車床正在工作，但在時(shí)刻f+4

時(shí)停止工作的概率為+0(4)；再假定在時(shí)刻t時(shí)，一臺(tái)車窗不工作，而在

時(shí)刻t+2時(shí)這臺(tái)車床在工作的概率為幾加+(9(Ar)；而且各車床的工作情況是相

互獨(dú)立的，如果用N⑺表示時(shí)刻t正在工作的車床數(shù)。

(1)說(shuō)明N⑺是一齊次馬爾可夫過(guò)程；

(2)求出它的平穩(wěn)分布；

(3)特別當(dāng)M=10,4=60,〃=30時(shí)，求出在平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)有一半以上車床

在工作的概率。

20.試證明參數(shù)為幾(>0)的泊松過(guò)程｛Ng>0｝是一個(gè)時(shí)間t連續(xù)狀態(tài)離散的馬

爾可夫過(guò)程。

21.對(duì)M/M/K排隊(duì)系統(tǒng)，記NQ)表示此系統(tǒng)在t時(shí)的隊(duì)長(zhǎng)，要求：

(1)說(shuō)明N⑺是一個(gè)生滅過(guò)程，并寫出其Q矩陣；

(2)列出柯爾莫哥洛夫微分方程，并研究其平穩(wěn)分布的存在性和計(jì)算問(wèn)題。

習(xí)題六

1.在例623中，如果假定報(bào)酬匕不是在第n次更新時(shí)刻7；時(shí)一次性得到，而

是在中連續(xù)地、.點(diǎn)一點(diǎn)地得到的，試證明命題622中的結(jié)論仍成立。

2.試寫出現(xiàn)時(shí)壽命露的分布函數(shù)及其極限。

3.試寫出現(xiàn)時(shí)壽命。和剩余壽命九的聯(lián)合分布函數(shù)及其極限。

4.試對(duì)Poisson過(guò)程而言，求出現(xiàn)時(shí)壽命可和剩余壽命匕的聯(lián)合分布函數(shù)和它

們各自的分布函數(shù)。

5.試舉例說(shuō)明期望總壽命Eg大于期望更新間隔時(shí)間EX,,。

6.試證明以下結(jié)論：

對(duì)常返狀態(tài)i，若在(X,T)中正常返且inf{〃或IPjk>Q,j,keC,}>0,貝iji在

X中正常返且%<oo,V/eG；反過(guò)來(lái)，若i在X中正常返且

sup{%*IPjk>O,j,keC,}<oo,則i在(X,T)中正常返。

7.記XN(，N為包含t的更新間隔長(zhǎng)度，試證明

P{XA,(/)+1>X}>1-F(X)

并對(duì)Poisson過(guò)程計(jì)算P{X,V(,)+1>x}o

8.試證明下式：

￡{m(。+2]m{t-s)d網(wǎng)s)

9.對(duì)一個(gè)更新分布為非格的更新過(guò)程，試證明以下兩式：

,、tEX1

rlimm(t)=9-1

一〃2"一

10.設(shè)有一個(gè)過(guò)程，它有三個(gè)狀態(tài)：1、2、3,其狀態(tài)轉(zhuǎn)移是1—2-3-1的循環(huán)

形式，在狀態(tài)1、2、3處的逗留時(shí)間分別服從分布函數(shù)K、F2工，試求

limP{過(guò)程在時(shí)處于狀態(tài),i}i=l,2,3

以此，試求n個(gè)狀態(tài)的類似問(wèn)題。

11.有一個(gè)計(jì)數(shù)器，粒子的到達(dá)服從間隔分布為F的更新過(guò)程，計(jì)數(shù)器每記錄一

個(gè)粒子后鎖住一段固定時(shí)間L,在此期間，它不能記錄任何到達(dá)的粒子。試求從

鎖住結(jié)束到下一個(gè)粒子到達(dá)的時(shí)間長(zhǎng)度的分布函數(shù)。

12.設(shè)顧客相繼到達(dá)一個(gè)汽車站形成一個(gè)均值為〃的更新過(guò)程，當(dāng)有N個(gè)顧客

時(shí)就發(fā)出一輛汽車。假定汽車站需給逗留在汽車站的每一個(gè)顧客以率4