自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法

自然數(shù)之?dāng)?shù)學(xué)歸納法第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日0.數(shù)學(xué)歸納法的背景數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的方法之一.它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支里都有廣泛應(yīng)用.該法的實(shí)質(zhì)在于:將一個(gè)無(wú)法(或很難)窮盡驗(yàn)證的命題轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)普通命題:“p(1)真”和“若p(k)真,則p(k+1)真”,從而達(dá)到證明的目的.數(shù)學(xué)歸納法早期叫逐次歸納法(始見(jiàn)于英國(guó)數(shù)學(xué)家摩根)或完全歸納法(始見(jiàn)于德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金).但后來(lái)人們更喜歡用數(shù)學(xué)歸納法的名稱.因?yàn)樗荏w現(xiàn)論證的嚴(yán)格性和科學(xué)性,又不與邏輯學(xué)中的“歸納法”混淆.數(shù)學(xué)史上最早使用數(shù)學(xué)歸納法的人首推法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡,但他并未確立方法的理論依據(jù).直到意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾建立了自然數(shù)的理論,才標(biāo)志著數(shù)學(xué)歸納法邏輯基礎(chǔ)的奠定.摩根(Morgan,1806-1871)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家,所著的《代數(shù)學(xué)》是我國(guó)第一本代數(shù)學(xué)譯本.負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題:摩根不承認(rèn)負(fù)數(shù).1831年,摩根在他的《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中仍堅(jiān)持認(rèn)為負(fù)數(shù)是荒謬的.四色猜想:四色猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.1852年,剛從倫敦大學(xué)畢業(yè)的弗南西斯·葛斯里在對(duì)英國(guó)地圖著色時(shí)發(fā)現(xiàn),對(duì)無(wú)論多么復(fù)雜的地圖,只需用四種顏色就足夠?qū)⑾噜彽膮^(qū)域分開(kāi).這個(gè)千萬(wàn)人屢見(jiàn)不鮮的有趣事實(shí)引起了他的注意,他感到這種現(xiàn)象決非偶然,可能隱藏著深刻的科學(xué)道理.他把他的想法告訴了他的哥哥弗德雷克.弗德雷克是著名數(shù)學(xué)家摩根的學(xué)生,他對(duì)這個(gè)問(wèn)題極感興趣,于是便設(shè)法證明.可是,盡管他絞盡腦汁,仍百思不得其解,于是他以“四色定理”為名,請(qǐng)他的老師摩根證明.

摩根也無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題,于是德·摩根寫信請(qǐng)著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓幫助解答,這位智慧超群的人也被這個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題弄得一籌莫展,他冥思苦想了13年,直至逝世仍毫無(wú)結(jié)果.在1876年,當(dāng)時(shí)很有名望的數(shù)學(xué)家凱萊在數(shù)學(xué)年會(huì)上把這個(gè)問(wèn)題歸納為“四色猜想”提出,并征求問(wèn)題的解答.于是“四色猜想”開(kāi)始引人注目.1976年,美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上,用了1200個(gè)小時(shí),作了100億判斷,終于完成了四色定理的證明.四色猜想的計(jì)算機(jī)證明,轟動(dòng)了世界.它不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題,而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn).不過(guò)也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就,他們還在尋找一種簡(jiǎn)捷明快的書面證明方法.戴德金(Dedekind,1831—1916),最偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家、理論家和教育家,近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū).由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年,德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).戴德金分割:假設(shè)給定某種方法,把所有的有理數(shù)分為兩個(gè)集合，A和B，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素,任何一種分類方法稱為有理數(shù)的一個(gè)分割.對(duì)于任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立:

1.A有一個(gè)最大元素a,B沒(méi)有最小元素(例如A是所有≤1的有理數(shù).B是所有>1的有理數(shù)).2.B有一個(gè)最小元素b,A沒(méi)有最大元素(例如A是所有<1的有理數(shù).B是所有≥1的有理數(shù)).3.A沒(méi)有最大元素,B也沒(méi)有最小元素(例如A是所有負(fù)的有理數(shù),零和平方小于2的正有理數(shù),B是所有平方大于2的正有理數(shù)).顯然A和B的并集是所有的有理數(shù),因?yàn)槠椒降扔?的數(shù)不是有理數(shù).注:A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在于A和B兩個(gè)集合中,與A和B的并集是所有的有理數(shù)矛盾.第3種情況,戴德金稱這個(gè)分割為定義了一個(gè)無(wú)理數(shù),或者簡(jiǎn)單的說(shuō)這個(gè)分割是一個(gè)無(wú)理數(shù).前面2種情況中,分割是有理數(shù).第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日皮亞諾公理其中的第5條公理又叫做歸納公理,它是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù).

第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日最小數(shù)定理自然數(shù)的任何非空集合A必有一個(gè)最小數(shù),即這個(gè)數(shù)小于集合A中所有其他的數(shù).證明:由于A不是空集,其中必含有一個(gè)自然數(shù).我們?cè)贏中任取一個(gè)數(shù)m,因?yàn)閺?到m共有m個(gè)自然數(shù),所以在A中不大于m的數(shù)最多只有m個(gè).顯然在這有限個(gè)數(shù)中存在著最小的數(shù),我們用l來(lái)代表它.那么,l就是A中最小的數(shù).事實(shí)上,l對(duì)于A中不大于m的數(shù)來(lái)說(shuō),它是最小的;而A中其余的數(shù)都比m大,因而更比l大,所以l就是A中最小的數(shù).第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日1.數(shù)學(xué)歸納法的基本形式第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日2.數(shù)學(xué)歸納法的證題技巧第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日三個(gè)著名的無(wú)理數(shù)第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日0.無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生第一次數(shù)學(xué)危機(jī)初等無(wú)理數(shù)復(fù)合無(wú)理數(shù)代數(shù)數(shù)和e的出現(xiàn)現(xiàn)在無(wú)理數(shù)定義“有理數(shù)”中的“有理”一詞,英文是Rational.這個(gè)詞本來(lái)有兩個(gè)含義,其一是“比”,其二是“合理”.照數(shù)學(xué)上的原義,分?jǐn)?shù)可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比,整數(shù)也可以看作是這個(gè)整數(shù)與1的比,把“有理數(shù)”叫做“比數(shù)”應(yīng)該是很貼切的.由于無(wú)理數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比,因此可以把“無(wú)理數(shù)”叫做“非比數(shù)”.可是,日本學(xué)者在十九世紀(jì)翻譯西方的數(shù)學(xué)書時(shí),把這個(gè)詞譯成了“有理數(shù)”.后來(lái),在中日文化交流中,中國(guó)又從日本引進(jìn)了“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”這兩個(gè)詞,長(zhǎng)期應(yīng)用到現(xiàn)在,沒(méi)法改,也沒(méi)必要改了.

第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日1.公元263年,我國(guó)三國(guó)時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)利用圓內(nèi)接正多邊形的面積接近于圓的面積的方法來(lái)計(jì)算圓周率.當(dāng)時(shí)劉徽算到內(nèi)接正3072邊形的面積,并求出≈3.1416.為紀(jì)念他,后人將之稱為徽率.公元460年,我國(guó)南朝數(shù)學(xué)家祖沖之,采用劉徽割圓術(shù)方法,一直算到圓內(nèi)接正12288多邊形的面積,并求出≈3.1415926.

1593年,荷蘭數(shù)學(xué)家羅梅,也采用劉徽割圓術(shù)方法,計(jì)算到圓內(nèi)接正230多邊形的面積,并求得的準(zhǔn)確值到小數(shù)點(diǎn)后第15位.

1946年,曼切斯頓大學(xué)的費(fèi)林生把計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后808位.后來(lái),由于計(jì)算機(jī)的問(wèn)世,才使得小數(shù)點(diǎn)后808位成了人工計(jì)算值的最高紀(jì)錄.目前最新結(jié)果是,日本東京的金田正康已將計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后133554000位.

1777年,法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐宣布了一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn):不需要用復(fù)雜的計(jì)算,只要你有足夠的耐心,就能從一個(gè)投針的游戲中得出的近似值.第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日2.e

在今天的銀行業(yè)里,e是對(duì)銀行家最有幫助的一個(gè)數(shù).人們可能會(huì)問(wèn),像e這樣的數(shù)是怎樣又以何種方式與銀行業(yè)發(fā)生關(guān)系呢?要知道后者是專門跟“元”和“分”打交道的!假如沒(méi)有e的發(fā)現(xiàn),銀行家要計(jì)算今天的利息就要花費(fèi)大量的時(shí)間,無(wú)論是逐日逐日地算復(fù)利,還是持續(xù)地算復(fù)利都無(wú)法避免.所幸的是,e的出現(xiàn)助了一臂之力.

第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日和e

這兩個(gè)數(shù)的背景是很不一樣的.與幾何相聯(lián)系;e與某種數(shù)量增減相聯(lián)系,例如上述存款本息的增長(zhǎng)以及生物繁殖等,亦可說(shuō),e是與分析相聯(lián)系的.

e與的來(lái)源和背景不同,表現(xiàn)形式也不同,它們的小數(shù)表示也如此不同:=3.14159265358979323846…e=2.71828182845904523536…盡管如此,人們卻在探尋人類最初碰到的這兩個(gè)具有極其特殊地位的超越數(shù)之間有什么聯(lián)系.首先人們看到一些現(xiàn)象:e與這兩數(shù)的上述表示式中,第13位數(shù)同是9,第17位數(shù)同是2,第18位同是3,第21位同是6,第34位又同是2.人們甚至猜測(cè)每隔10位數(shù)就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)數(shù)相同.還有人猜測(cè)在的數(shù)字中必有e的前n位數(shù)字,在e的數(shù)字中必有的前n位數(shù)字.[見(jiàn)張楚廷.數(shù)學(xué)文化.北京:高等教育出版社,2000.]第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日3.

古希臘人已知道黃金比率.黃金比率在希臘的建筑物中起著非常重要的作用.很多藝術(shù)家相信,在所有的矩形中,長(zhǎng)寬之比為的矩形的比例“最令人滿意”,所以這個(gè)數(shù)在各種美學(xué)理論中起到了主要作用.令人驚奇的是,一些植物的葉片排列也顯示出黃金比率.它有很多有趣的數(shù)學(xué)特性.

第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日超然數(shù)證明e與是超然數(shù)并非易事,相對(duì)來(lái)說(shuō)e容易一點(diǎn),對(duì)于的超然性的證明則更難.1873年法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特證明e是一個(gè)超然數(shù),九年后德國(guó)的林德曼證明也是一個(gè)超然數(shù).這種證明徹底地解決了“化圓為方”這一古老的問(wèn)題.這可以說(shuō)是人類最初具體認(rèn)識(shí)到的兩個(gè)超然數(shù),雖然很久很久以前就知道有這樣兩個(gè)數(shù)(當(dāng)初也并不是用符號(hào)e和來(lái)表示的),但知道它們的超然性才不過(guò)一二百年的歷史,這一認(rèn)識(shí)是重要的歷史跨越.第二十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日幾何三大難題尺規(guī)作圖解法

古希臘人說(shuō)的直尺,指的是沒(méi)有刻度的直尺.他們?cè)诖罅康漠媹D經(jīng)歷中感覺(jué)到,似乎只用直尺、圓規(guī)這兩種作圖工具就能畫出各種滿足